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《参数方程》练习题
一、 选择题：
1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（ C ）
A． B． C． D．
2．参数方程为表示的曲线是（ D ）
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条射线
3．直线与圆交于两点，则的中点坐标为（ D ）
A． B． C． D．
4．把方程化为以参数的参数方程是（ D ）
A． B． C． D．
5．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ C ）
A． B． C． D．
6.直线 (t为参数)的倾斜角是 ( )
A.200 B.700 C.1100 D.1600
二、填空题：
7．曲线的参数方程是，则它的普通方程为_____
8．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
9．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_________
10．直线与圆相切，则_____或__________。
11.设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.
三、解答题：
12．已知点是圆上的动点，
（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）设圆的参数方程为，
（2）
13.分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：
（1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数；
1．解：（1）当时，，即；
当时，
而，即
（2）当时，，，即；
当时，，，即；
当时，得，即
得
即。
14．已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。
（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积。
解：（1）直线的参数方程为，即
（2）把直线代入得
，则点到两点的距离之积为
15.过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最大值及相应的的值。
解：设直线为，代入曲线并整理得
,则
所以当时，即，的最大值为，此时。
16.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A在直线上。
（Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.
【解析】（Ⅰ）由点在直线上，可得
所以直线的方程可化为
从而直线的直角坐标方程为
（Ⅱ）由已知得圆的直角坐标方程为
所以圆心为，半径
以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交
17.在直角坐标系中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
解：（１）把极坐标下的点化为直角坐标得：又点Ｐ的坐标满足直线方程，所以点Ｐ在直线上。
（２） 因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为，从而点Ｑ到直线的距离为
　，因此当时，去到最小值，且最小值为。
18.在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为（t为参数）。在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，
求|PA|+|PB|。
【解析】（Ⅰ）由得即
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|==。
19.已知直线C1（t为参数），C2（为参数），
（Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
(23)解：
（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。
（Ⅱ）的普通方程为。
A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：
,P点轨迹的普通方程为。
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。
22.已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，
且依逆时针次序排列，点的极坐标为
（1）求点的直角坐标；
（2）设为上任意一点，求的取值范围。
【解析】（1）点的极坐标为
点的直角坐标为
（2）设；则
21.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆，直线的极坐标方程分别为
求与的交点的极坐标；设为的圆心，为与的交点连线的中点，已知直线的参数方程为求的值。
【解析】由得，
圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程分别为
由解得
所以圆，直线的交点直角坐标为
再由，将交点的直角坐标化为极坐标所以与的交点的极坐标
由知，点，的直角坐标为
故直线的直角坐标方程为 ①
由于直线的参数方程为
消去参数 ②
对照①②可得解得
22. 已知曲线C1的参数方程为 （为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
【解析】将消去参数，化为普通方程,
即：.
将代入得
（Ⅱ）的普通方程为.
由，解得或.
所以与交点的极坐标分别为，
23.已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为t=α
与=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.
（1）求M的轨迹的参数方程.
（2）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解析】（1）依题意有因此
M的轨迹的参数方程为
（2）M点到坐标原点的距离
.当时，，故M的轨迹过坐标原点.
24.已知曲线：（为参数），是上的动点，点满足,点的轨迹为曲线
(Ⅰ)求的方程
(Ⅱ)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
【解析】（I）设,则由条件知.由于点在上，所以
即
从而的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为.
所以.
25.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数）。在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：与，各有一个交点。当时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合。
（1）分别说明，是什么曲线，并求出与的值；
(2)设当时，与，的交点分别为，当时，与，的交点为，求四边形的面积。
解：（1）是圆，是椭圆。当，射线与，的交点的直角坐标分别是
，这两个交点间的距离为2，，当时，射线与，的交点的直角坐标分别是，
（2） ，的普通方程分别是，当时，射线与，的交点的横坐标分别是，当时，射线与，的两个
交点分别与关于轴对称，所以四边形是梯形，
故
26.已知直线，为参数，为的倾斜角，且与曲线 为参数相交于A、B两点，点的坐标为
（1）求的周长；
（2）若点恰为线段的三等分点，求的面积。
解：（1）将曲线C消去可得：，直线过曲线C的左焦点，
由椭圆的定义可知为
（2）可设直线的方程为，若点为线段的三等分点，不妨设
，，则
联立，消去得：
则，消去得：
此时
所以
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