浙教版初二数学第三讲全等三角形的相关模型.doc

第三讲 全等三角形的相关模型

【要点梳理】
要点一：手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的
顶点为公共顶点
结论：（1）△ ≌△ （2）∠α+∠180°
（3）平分∠
变形：

要点二：角平分线模型
特点：由角平分线构成了的两个三角形。
结论：（1）△≌△ （2）
变形：

要点三：半角模型
特点：
结论：（1） （2）△的周长=2
（3）、分别平分∠和∠
变形：

要点四：等腰直角三角形模型
1.在斜边上任取一点的旋转全等
操作过程：
（1）将△逆时针旋转90°，使△≌△，
从而推出△为等腰直角三角形。
（2）过点C作⊥，连导出上述结论
2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等
操作过程：连.
（1）使（或），导出△≌△
（2）使∠∠180°，导出△≌△
3.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

要点五：双垂直模型
特点：图形中包含两条垂线，且有一组边或角相等。
结论：若,则
变形：

∠1=∠2，则 ∠1=∠2， ∠∠，则，⊥
要点六：三垂直模型
特点：图形中包含三条垂线，且有一组边。
结论：（1）△≌△ （2）
变形：

要点七：全等三角形问题中常见的辅助线的作法
1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。
2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段和原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形。
3.遇到角平分线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线；（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线和角的两边相交，形成一对全等三角形；（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。以上利用的思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形。
4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5.截长法和补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段和特定线段相等，或是将某条线段延长，是之和特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6.已知某线段的垂直平分线，可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，形成一对全等三角形。
7.在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

【典型例题】
例1（手拉手模型）：如图，点C 为线段 上一点，△、△ 是等边三角形，请你证明：。
（1） （2）∠∠ （3）△为等边三角形 （4）∥
（5） （6）平分∠ （7） （8）

例2（角平分线模型）：如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：平分∠。

举一反三：
1、如图，在四边形中，>，，平分，求证∠∠180°

2、如图，在△中，∠3∠C，是∠的平分线，⊥于F。求证：

3、△中，∠60°，∠40°，平分∠交于P，平分∠交于Q，求证：。

例3（半角模型）：在正方形中，若M、N分别在边、上移动，且满足 ，求证：①∠45°；②△的周长=2；③、分别平分∠和∠

举一反三：
1、 在正方形中，已知∠45°，若M、N分别在边、 的延长线上移动：①试探究线段、 、之间的数量关系；②求证：.

2、在四边形中，∠∠180°，，若E、F分别在边、且上，满足.
求证：

例4（等腰直角三角形模型）： 等腰直角△中，∠90°，点M、N在斜边上滑动，且∠45°，试探究、、之间的数量关系。

举一反三：
1、两个全等的含30°、60°角的三角板和三角板，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接，取的中点M，连接、，试判断△的形状，并证明你的结论。

2.如图，在等腰直角△中，，∠ =90°，P为△内部一点，满足，。求证：15°

例5(双垂线模型)：如右图，△中，∠ =45°，4，H是高和的
交点，则线段的长度为 。
举一反三：
1、如图14-1，在△中，边在直线L上，⊥,且。△的边也在直线L上，边和重合，且.(1)猜想并写出和所满足的数量关系和位置关系；（2）将△沿直线L向左平移至图14-2的位置时，交于点Q，连接、，则和满足什么样的数量关系和位置关系，请猜想并证明；（3）将△沿直线L向左平移至图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接、，你认为（2）中所猜想的和的数量关系和位置关系还成立吗？

例6（三垂线模型）：如图所示，在△中，，∠ =90°，D为中点，⊥于E，交于F，连接.求证：∠∠.

举一反三：
1、 如图所示，在△中，，，⊥于E，交于F，连接.
求证：①∠∠； ②

2、如图所示，在△中，，，⊥于E，交于F，连接，并分别延长 和交于点P.求证：①； ②＝

【巩固练习】
1、 如图，在四边形中，∠∠180°，，，求证：平分.

2、如图＞，∠A的平分线和的垂直平分线相交于D，自D作⊥，⊥，垂足分别为E，F．求证：．

3、如图所示，在△中，边的垂直平分线交△的外角平分线于点D，F为垂足，⊥于E，并且>。求证：－。

4、如图，D、E、F分别是△的三边上的点，，且△的面积和△的面积相等，求证：平分∠。

5、如图，Δ是等腰直角三角形，∠90°，平分∠交于点D， 垂直于，交的延长线于点E。求证：2。

6、如图，在△中，∠的角平分线交于D，且, 作⊥的延长线和M，求证：

7、如图，在△中，∠90°，是∠的角平分线，且⊥，过点E作⊥交于点F，猜想：线段和之间的关系，并证明 。

8、如图， 、C E分别是△的外角平分线，过点A作⊥⊥, 垂足分别是D、E，连接.求证：
（1）∥，且
（2）若、分别是△的内角平分线（如图2），其他条件不变，则线段和△三边又有怎样的数量关系？
（3）若为△的内角平分线，为△的外角平分线（如图3），则线段和△三边又有怎样的数量关系？

9、如图，在△中，是的外角平分线，P是上异于点A的任意一点，试比较
和的大小，并说明理由。

10.如图，△ 中，，∠ =90°，O为中点，若M、N分别在线段、上移动，且在移动中保持. （1）判断△的形状，并证明你的结论. (2)当M、N分别在线段、上移动时，四边形的面积如何变化？

11. 在正方形中，3 ，5 ，4 ，求∠∠?

13. 如图，在△中，，∠ =2∠，P为△内部一点，满足，。求证： ∠2 =2∠1

14.如图，在四边形中，∠∠90°，，若 E、F分别在边、上的点，且 求证： .

15. 如图∥，△和△ 是等腰直角三角形，∠∠90°，2，5，求四边形的面积。