2023-2024学年广东省广州市华南师大附属番禺学校七年级（下）月考数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市华南师大附属番禺学校七年级（下）月考数学试卷（3 月份）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．）
1．（3 分）下面四个图形中， Ð1 与Ð2 是对顶角的是( )

A． B．
C． D．
2．（3 分）如图， AB / /CD ， ÐA = 70° ，则Ð1 的度数是( )

A．130° B．110° C．100° D． 70°
3．（3 分） 1 的算术平方根为( )
4

第 9页（共 24页）

A. 1
16
B. ± 1
2
C. 1
2
D. - 1
2

4．（3 分）下列命题中，是假命题的是( )

A．直角的补角是直角 B．内错角相等，两直线平行

C．一条直线有且只有一条垂线 D．垂线段最短
5．（3 分）已知 x = 4 ， y = -2 与 x = -2 ， y = -5 都是方程 y = kx + b 的解，则 k 与b 的值分别为( )

A． k = 1 ， b = 4 2

B． k = 1 ， b = -4 2

C． k = - 1 ， b = 4 2

D． k = - 1 ， b = -4 2

6．（3 分）下列说法正确的是( )

A. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a / /c

B. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a ^ b ， b ^ c ，则 a ^ c
C. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b ^ c ，则 a / /c
D. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a ^ c

7．（3 分）某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了 200 元钱购买甲、乙两种奖品共 30 件，其中甲种奖品每件 8 元，乙种奖品每件 6 元．若设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，则所列方程正确的是

( )

í6x + 8 y = 200
A． ìx + y = 30
î

íx + y = 200
C． ì6x + 8 y = 30
î

B． ìx + y = 30
í
î8x + 6 y = 200

íx + y = 200
D． ì8x + 6 y = 30
î

8．（3 分）如图， l1 / /l2 ，将一副直角三角板作如下摆成，图中点 A 、 B 、C 在同一直线上，则Ð1 的度数

为( )

A． 80° B． 85° C． 75° D． 70°
9．（3 分）如图，将周长为12cm 的DABC 沿边 BC 向右移动5cm ，得到△ A¢B¢C¢ ，则四边形 AA¢C¢B 的周长是( )cm ．

A．17 B．19 C．22 D．24

10．（3 分）如图，四边形 ABCD 中， AB / /CD ， AD / / BC ， ÐABC 的平分线交 AD 于点 E ， ÐDCE 的平分线交 BE 于点 F ，下列结论：① Ð1 = Ð2 ；② ÐF = Ð1 + Ð3 ；③ CE ^ BF ；④若CE ^ BF ，则Ð4 = 2Ð3 ．其中正确的结论有( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

16
11．（3 分） 的平方根是 ．

12．（3 分）如图，计划把池中的水引到C 处，可过点C 作CD ^ AB ，垂足为点 D ，然后沿CD 挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是 ．

13．（3 分）把命题“邻补角互补”改写成“如果 ，那么 ”的形式 ．

14．（3 分）已知甲、乙两数之和是 42，甲数的 3 倍等于乙数的 4 倍，求甲、乙两数．设甲数为 x ，乙数为
y ，由题意可得方程组 ．

15．（3 分）已知关于 x ， y 的方程3x - 2 y = 2k + 1 和 y - 2x = 4 的公共解满足 x - y = 3 ，则 k = ．
16．（3 分）如图，把直角梯形 ABCD 沿 AD 方向平移到梯形 EFGH 的位置， HG = 24cm ， MG = 8cm ，
MC = 6cm ，则阴影部分的面积是 cm2 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明或演算步骤．）

í2x + y = 16
17．（4 分）解方程组： ìx + y = 10
î

18．（4 分）如图， ÐAOB 内部有一点 P ，过点 P 画 PC / /OB 交OA 于点C ，画 PD ^ OA 交OA 于点 D ．

19．（6 分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一

套．现在有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？

20．（6 分）如图，直线 AB ， CD 相交于点O ，过点O 作OE ^ AB ，且OF 平分ÐAOD ．
（1） 求证： ÐCOF = ÐBOF ；
（2） 若ÐBOD = 24° ．求ÐEOF 的度数．

20．（8 分）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔 2min 相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6min 相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？（用一元一次方程解）

22．（10 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm ，将DABC 经过一次平移后得到△ A¢B¢C¢ ，图中标出了点 B 的对应点 B¢ 、利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1） 画出平移后的△ A¢B¢C¢ ；
（2） 连接 AA¢ ， BB¢ ，则这两条线段之间的关系是 ；
（3） 求三角形 A¢B¢C¢ 的面积．

23．（10 分）如图，已知 AD / / BC ， E 、 F 分别在 DC 、 AB 的延长线上， ÐDCB = ÐDAB ．
（1） 求证： DC / / AB ；
（2） 若ÐDAE = ÐDEA ，求证： AE 平分ÐDAB ；
（3） 在（2）的条件下，若 AE ^ EF ， ÐDAB = 60° ，求ÐF 的度数．

24．（12 分）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：

甲种货车/ 辆
乙种货车/ 辆
总量（吨)
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
（1） 甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？

（2） 该公司又新购买 45 吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？

（3） 在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为 300 元，乙种货车每辆租金为 200 元，选择哪种租车方案最省钱？

25．（12 分）已知直线 EF 与直线 AB ，CD 分别交于点 E 、F 两点，ÐAEF 和ÐCFE 的角平分线交于点 P ，且ÐAEP + ÐCFP = 90°

（1） 如图 1，求证： AB / /CD ；
（2） 如图 2， ÐPEF 和ÐPFM 的角平分线交于点Q ，求ÐQ 的度数；

（3） 如图 3，若ÐAEP : ÐCFP = 2 :1 ，延长线段 EP 得射线 EP1 ，延长线段 FP 得 FP2 ，射线 EP1 绕点 E 以每秒15° 的速度逆时针旋转360° 后停止，射线 FP2 绕点 F 以每秒3° 的速度顺时针旋转180° 后停止．设它们同时转动t 秒，问？ t 为多少时，射线 EP1 / / FP2 ．

2023-2024 学年广东省广州市华南师大附属番禺学校七年级（下）月考数学试卷（3 月份）
参考答案与试题解析

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
B
A
B
C
C
C

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下面四个图形中， Ð1 与Ð2 是对顶角的是( )

A. B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义即可得出答案．

【解答】解：由对顶角的定义可知 B 选项中的Ð1 与Ð2 是对顶角． 故选： B ．
【点评】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义即可得出答案．
2．（3 分）如图， AB / /CD ， ÐA = 70° ，则Ð1 的度数是( )

A．130° B．110° C．100° D． 70°
【分析】由 AB / /CD 就可以得出Ð2 = ÐA ，根据Ð1 + Ð2 = 180° 可以求出Ð1 的度数．
【解答】解：Q AB / /CD ，
\Ð2 = ÐA ．
QÐA = 70° ，

\Ð2 = 70° ．
QÐ1 + Ð2 = 180° ，
\Ð2 = 110° ． 故选： B ．

【点评】本提主要考查了平行线的性质的运用，邻补角的性质的运用，解答时运用平行线的性质求解是关 键．
3．（3 分） 1 的算术平方根为( )
4

第 24页（共 24页）

A. 1
16
B. ± 1
2
C. 1
2
D. - 1
2

【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解： 1 的算术平方根为 1 ．
4 2
故选： C ．

【点评】本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．

4．（3 分）下列命题中，是假命题的是( )

A．直角的补角是直角 B．内错角相等，两直线平行

C．一条直线有且只有一条垂线 D．垂线段最短

【分析】根据补角的概念、平行线的判定、垂直的定义、垂线段最短判断即可．

【解答】解： A 、直角的补角是直角，是真命题，不符合题意；

B 、内错角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；

C 、一条直线有无数条垂线，故本选项说法是假命题，符合题意；

D 、垂线段最短，是真命题，不符合题意； 故选： C ．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3 分）已知 x = 4 ， y = -2 与 x = -2 ， y = -5 都是方程 y = kx + b 的解，则 k 与b 的值分别为( )

A． k = 1 ， b = 4 2

B． k = 1 ， b = -4 2

C． k = - 1 ， b = 4 2

D． k = - 1 ， b = -4 2

【分析】把 x 与 y 的两对值代入方程计算，即可求出 k 与b 的值；
【解答】解：把 x = 4 ， y = -2 与 x = -2 ， y = -5 代入方程得：

ì4k + b = -2
î
í-2k + b = -5 ，

í
ìk = 1
解得： ï 2 ；
ïîb = -4
故选： B ．

【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．（3 分）下列说法正确的是( )

A. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a / /c

B. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a ^ b ， b ^ c ，则 a ^ c
C. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b ^ c ，则 a / /c
D. 在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a ^ c

【分析】根据平行线的判定来做题．

【解答】解： A 、在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a / /c ，\符合题意；
B 、在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a ^ b ， b ^ c ，则 a / /c ，\不符合题意； C 、在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b ^ c ，则 a ^ c ，\不符合题意； D 、在同一平面内， a ， b ， c 是直线，且 a / /b ， b / /c ，则 a / /c ，\不符合题意； 故选： A ．
【点评】本题考查平行线的判定与性质、平行公理及推论，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定 理的综合运用．
7．（3 分）某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学，花了 200 元钱购买甲、乙两种奖品共 30 件，其中甲种奖品每件 8 元，乙种奖品每件 6 元．若设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，则所列方程正确的是

( )

í6x + 8 y = 200
A． ìx + y = 30
î

íx + y = 200
C． ì6x + 8 y = 30
î

B． ìx + y = 30
í
î8x + 6 y = 200

íx + y = 200
D． ì8x + 6 y = 30
î

【分析】设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，根据花了 200 元钱购买甲乙两种奖品共 30 件，列方程组．

【解答】解：设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，

ìx + y = 30
由题意得， í ．
î8x + 6 y = 200

故选： B ．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系，列方程组．
8．（3 分）如图， l1 / /l2 ，将一副直角三角板作如下摆成，图中点 A 、 B 、C 在同一直线上，则Ð1 的度数为( )

A． 80° B． 85° C． 75° D． 70°

【分析】过点C 作CM / /l1 ，则l1 / /l2 / /CM ，根据平行线的性质可得Ð1 + ÐECM = 180° ， Ð2 = ÐACM ， 再根据三角板的特点求解即可．
【解答】解：如图，过点C 作CM / /l1 ，

Q l1 / /l2 ，

\l1 / /l2 / /CM ，

\Ð1 + ÐECM = 180° ， Ð2 = ÐACM ，
QÐ2 = 180° - 45° = 135° ，
\ÐACM = 135° ，
\ÐECM = 135° - 30° = 105° ，
\Ð1 = 180° - 105° = 75° ， 故选： C ．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等”及作 平行线是解题的关键．
9．（3 分）如图，将周长为12cm 的DABC 沿边 BC 向右移动5cm ，得到△ A¢B¢C¢ ，则四边形 AA¢C¢B 的周长是( )cm ．

A．17 B．19 C．22 D．24

【分析】根据平移的性质得到 AA¢ = CC = 5cm ，A¢C = AC ，再由三角形周长公式得到 AB + BC + AC = 12cm ， 则四边形 AA¢C¢B 的周长是 AB + BC + CC¢ + A¢C + AA¢ = AB + BC + AC + CC¢ + AA¢ = 22cm ．
【解答】解：由平移的性质可得 AA¢ = CC = 5cm ， A¢C = AC ，
QDABC 的周长为12cm ，
\ AB + BC + AC = 12cm ，
\四边形 AA¢C¢B 的周长是：
AB + BC + CC¢ + A¢C + AA¢ = AB + BC + AC + CC¢ + AA¢ = 12 + 5 + 5 = 22cm ， 故选： C ．
【点评】本题主要考查了平移的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．

10．（3 分）如图，四边形 ABCD 中， AB / /CD ， AD / / BC ， ÐABC 的平分线交 AD 于点 E ， ÐDCE 的平分线交 BE 于点 F ，下列结论：① Ð1 = Ð2 ；② ÐF = Ð1 + Ð3 ；③ CE ^ BF ；④若CE ^ BF ，则Ð4 = 2Ð3 ．其中正确的结论有( )
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④

【分析】先证明Ð2 = ÐFBC ，Ð1 = ÐFBC ，可判断①，由ÐABC + ÐBCD = 180° ，ÐFBC + ÐF + ÐFCB = 180°
可判断②，由CE ^ BF 可得ÐECB = 1 ÐDCB ，可判断③，再结合平行线的性质证明Ð4 = ÐECB 可判断④，
2
从而可得答案．
【解答】解：Q AD / / BC ，

\Ð2 = ÐFBC ，
QÐABC 的平分线交 AD 于点 E ，
\Ð1 = ÐFBC ，
\Ð1 = Ð2 ，故①符合题意；

Q AB / /CD ，
\ÐABC + ÐBCD = 180° ，
\Ð1 + ÐFBC + ÐFCB + Ð3 = 180° ，
QÐFBC + ÐF + ÐFCB = 180° ，
\ÐF = Ð1 + Ð3 ，故②符合题意；
QÐABC + ÐBCD = 180° ，
\ 1 ÐABC + 1 ÐBCD = 90° ，
2 2
若CE ^ BF ，
\ÐEBC + ÐECB = 90° ，而ÐEBC = 1 ÐABC ，
2
\ ÐECB = 1 ÐDCB ，与题干条件不符，故③不符合题意；
2
由③可得：当CE ^ BF ，
\ ÐECB = 1 ÐDCB = ÐECD ，
2
Q CF 平分ÐDCE ，
\ Ð3 = ÐECF = 1 ÐDCE ，
2
\ÐECB = 2Ð3 ，

Q AD / / BC ，
\Ð4 = ÐECB ，
\Ð4 = 2Ð3 ，故④符合题意； 故选： C ．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知 识解决问题是关键．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

16
11．（3 分）
的平方根是 ±2 ．

【分析】根据算术平方根、平方根的定义解答即可．

16
【解答】解：
= 4 ，4 的平方根是±2 ，即
的平方根是±2 ，

16
故答案为： ±2 ．
【点评】本题考查了算术平方根、平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．

12．（3 分）如图，计划把池中的水引到C 处，可过点C 作CD ^ AB ，垂足为点 D ，然后沿CD 挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是 垂线段最短 ．

【分析】由垂线的性质：垂线段最短，即可得到答案．

【解答】解：把池中的水引到C 处，可过点C 作CD ^ AB ，垂足为点 D ，然后沿CD 挖渠，可使所挖的渠道最短，这种设计的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．

【点评】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的性质：垂线段最短．

13．（3 分）把命题“邻补角互补”改写成“如果 ，那么 ”的形式 如果两个角是邻补角．那么它们

（这两个角）互补 ．

【分析】分清题目的已知与结论，即可解答．

【解答】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果 那么 ”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们（这两个角）互补，
故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们（这两个角）互补．

【点评】本题主要考查了命题的定义，正确理解定义是关键．

14．（3 分）已知甲、乙两数之和是 42，甲数的 3 倍等于乙数的 4 倍，求甲、乙两数．设甲数为 x ，乙数为

í
ìx + y = 42y ，由题意可得方程组 ．
î3x = 4 y

【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+ 乙数= 42 ，②甲数´3 = 乙数´4 ，根据等量关系列出方程组即可．
ìx + y = 42
【解答】解：由题意得： í ，
î3x = 4 y

ìx + y = 42
故答案为： í ．
î3x = 4 y

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是把已知量和未知量联系起来，找出题 目中的相等关系．
15．（3 分）已知关于 x ， y 的方程3x - 2 y = 2k + 1 和 y - 2x = 4 的公共解满足 x - y = 3 ，则 k = -1 ．
【分析】将已知两方程相加可得 x - y = 2k + 5 ，根据 x - y = 3 得出关于 k 的方程，解之可得答案．

ì3x - 2 y = 2k + 1 ①
î
【解答】解： í-2x + y = 4 ② ，
① + ②，得： x - y = 2k + 5 ，
Q x - y = 3 ，
\ 2k + 5 = 3 ， 解得 k = -1 ，
故答案为： -1 ．

【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握：使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值，叫做二元一次方程的解．
16．（3 分）如图，把直角梯形 ABCD 沿 AD 方向平移到梯形 EFGH 的位置， HG = 24cm ， MG = 8cm ，
MC = 6cm ，则阴影部分的面积是 168 cm2 ．

【分析】阴影部分的面积等于直角梯形 ABCD 的面积减去直角梯形 EFMD 的面积，也就是直角梯形 DMGH
的面积．
【解答】解：Q平移不改变图形的形状和大小，
\直角梯形 ABCD 的面积= 直角梯形 EFGH 的面积，
\直角梯形 ABCD 的面积- 直角梯形 EFMD 的面积= 直角梯形 EFGH 的面积- 直角梯形 EFMD 的面积，
\阴影部分的面积= 直角梯形 DMGH 的面积= 1 ´ (24 - 6 + 24) ´ 8 = 168cm2 ．
2
【点评】解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的面积为一个直角梯形的面积． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明或演算步骤．）
í2x + y = 16
17．（4 分）解方程组： ìx + y = 10
î

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

ìx + y = 10①
î
【解答】解： í2x + y = 16② ，
② - ①得： x = 6 ，
把 x = 6 代入①得： y = 4 ，

ìx = 6
î
则方程组的解为í y = 4 ．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

18．（4 分）如图， ÐAOB 内部有一点 P ，过点 P 画 PC / /OB 交OA 于点C ，画 PD ^ OA 交OA 于点 D ．

【分析】按照要求过点 P 画 PC / /OB 交OA 于点C ，画 PD ^ OA 交OA 于点 D 即可．
【解答】解：如图， PC ， PD 即为所求，
．
【点评】本题考查了作垂线和过直线外一点作平行线，掌握基本画图方法是解答本题的关键．

19．（6 分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套．现

在有 36 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
【分析】可设用 x 张制盒身，则(36 - x) 张制盒底，可使盒身与盒底正好配套，根据等量关系：一个盒身与两个盒底配成一套．列出方程求解即可．
【解答】解：设用 x 张制盒身，则(36 - x) 张制盒底，
根据题意，得到方程： 2 ´ 25x = 40(36 - x) ， 解得： x = 16 ，
36 - x = 36 - 16 = 20 ．
答：用 16 张制盒身，20 张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．

【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的 等量关系列出方程，再求解．
20．（6 分）如图，直线 AB ， CD 相交于点O ，过点O 作OE ^ AB ，且OF 平分ÐAOD ．

（1） 求证： ÐCOF = ÐBOF ；
（2） 若ÐBOD = 24° ．求ÐEOF 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得ÐAOF = ÐFOD ，再根据对顶角相等即可解答；
（2）根据邻补角定义可求出 ÐAOD ，从而可得ÐDOF 的度数，然后利用垂直定义可得ÐEOB = 90° ，从而可得ÐEOD ，即可解答．
【解答】（1）证明：Q OF 平分ÐAOD ，
\ÐAOF = ÐFOD = 1 ÐAOD ，
2
QÐAOC = ÐDOB ，
\ÐAOF + ÐAOC = ÐDOF + ÐDOB ，
\ÐCOF = ÐBOF ；
（2）解：QÐBOD = 24° ，
\ÐAOD = 180° - ÐBOD = 156° ，
\ÐDOF = 1 ÐAOD = 78° ，
2
QOE ^ AB ，
\ÐEOB = 90° ，
\ÐEOD = ÐEOB - ÐDOB = 66° ，
\ÐEOF = ÐDOF - ÐEOD = 78° - 66° = 12° ，
\ÐEOF 的度数为12° ．
【点评】本题考查了角平分线的定义，垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解 题的关键．
21．（8 分）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min 相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6min 相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？（用一元一次方程解）
【分析】设甲每分跑 x 圈，根据如果同时同地出发，反向而行，每隔 2min 相遇一次；如果同时同地出发， 同向而行，每隔6min 相遇一次，列出方程，求出方程组的解即可得到结果．
【解答】解：设甲每分跑 x 圈，

根据题意得： 6(2x - 1 ) = 1 ，
2
解得： x = 1 ．
3
则 1 - 1 = 1
2 3 6
1 1

甲每分跑
圈，乙每分跑 圈．
3 6

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程． 22．（10 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1cm ，将DABC 经过一次平移后得到△ A¢B¢C¢ ，图中标出了点 B 的对应点 B¢ 、利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1） 画出平移后的△ A¢B¢C¢ ；
（2） 连接 AA¢ ， BB¢ ，则这两条线段之间的关系是 AA¢ = BB¢ ， AA¢ / / BB¢ ；
（3） 求三角形 A¢B¢C¢ 的面积．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出 A ， C 的对应点 A¢ ， C¢ 即可；
（2） 利用平移变换的性质求解即可；

（3） 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△ A¢B¢C¢ 即为所求；
（2） AA¢ = BB¢ ， AA¢ / / BB¢ ．
故答案为： AA¢ = BB¢ ， AA¢ / / BB¢ ；
（3）三角形 A¢B¢C¢ 的面积= 3 ´ 6 - 1 ´ 2 ´ 6 - 1 ´1´ 5 - 1 ´1´ 3 = 8 ．
2 2 2

【点评】本题考查作图- 平移变换，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
23．（10 分）如图，已知 AD / / BC ， E 、 F 分别在 DC 、 AB 的延长线上， ÐDCB = ÐDAB ．
（1） 求证： DC / / AB ；
（2） 若ÐDAE = ÐDEA ，求证： AE 平分ÐDAB ；
（3） 在（2）的条件下，若 AE ^ EF ， ÐDAB = 60° ，求ÐF 的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质得出ÐABC + ÐDAB = 180° ，求出ÐABC + ÐDCB = 180° ，根据平行线的判定推出即可；
（2） 根据平行线的性质证明ÐEAF = ÐDEA ，结合ÐDAE = ÐDEA 即可得到结论；
（3） 先求解ÐEAF = ÐDAE = 30° ，结合垂线的定义与三角形的内角和定理，即可求出答案．
【解答】（1）证明：Q AD / / BC ，
\ÐABC + ÐDAB = 180° ，
QÐDCB = ÐDAB ，
\ÐABC + ÐDCB = 180° ，
\ DC / / AB ；
（2）证明：Q DC / / AB ，
\ÐEAF = ÐDEA ，
QÐDAE = ÐDEA ，
\ÐEAF = ÐDAE ，
\ AE 平分ÐDAB ．

（3）解：QÐEAF = ÐDAE ， ÐDAB = 60° ，
\ÐEAF = ÐDAE = 30° ，
Q AE ^ EF ，
\ÐAEF = 90° ，
\ÐAFE = 180° - ÐAEF - ÐEAF = 60° ．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．

24．（12 分）某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：

甲种货车/ 辆
乙种货车/ 辆
总量（吨)
第一次
4
5
31
第二次
3
6
30
（1） 甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？

（2） 该公司又新购买 45 吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？

（3） 在（2）的前提下，已知甲种货车每辆租金为 300 元，乙种货车每辆租金为 200 元，选择哪种租车方案最省钱？
【分析】（1）设甲种货车每辆能装货 x 吨，乙种货车每辆能装货 y 吨，然后列出方程组依题意有：

ì4x + 5 y = 31
î
í3x + 6 y = 30 ，解方程组即可；
（2） 设租用甲种货车 m 辆，乙种货车 n 辆，然后列出方程 4m + 3n = 45 ，根据 m ， n 均为非负整数，解出
m ， n ，即可得到租车的方案；
（3） 分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．
【解答】解：（1）设甲种货车每辆能装货 x 吨，乙种货车每辆能装货 y 吨，

ì4x + 5 y = 31
î
依题意有： í3x + 6 y = 30 ，

ìx = 4
î
解得： í y = 3 ，
答：甲种货车每辆能装货 4 吨，乙种货车每辆能装货 3 吨；

（2）设租用甲种货车 m 辆，乙种货车 n 辆， 依题意有： 4m + 3n = 45 ，
\ m = 45 - 3n ．
4

Q m ， n 均为正整数，
ìm = 9 ìm = 6 ì m = 3
\ í n = 3 或í n = 7 或ín = 11 ，
î î î

\共有 3 种租车方案，
方案 1：租用 9 辆甲种货车，3 辆乙种货车； 方案 2：租用 6 辆甲种货车，7 辆乙种货车； 方案 3：租用 3 辆甲种货车，11 辆乙种货车．
（3）方案 1 所需费用： 300 ´ 9 + 200 ´ 3 = 3300 （元) ；
方案 2 所需费用： 300 ´ 6 + 200 ´ 7 = 3200 （元) ；
方案 3 所需费用： 300 ´ 3 + 200 ´11 = 3100 （元) ．
Q 3300 > 3200 > 3100 ，
\方案 3 所需费用最少，最少费用是 3100 元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关 键．
25．（12 分）已知直线 EF 与直线 AB ，CD 分别交于点 E 、F 两点，ÐAEF 和ÐCFE 的角平分线交于点 P ，且ÐAEP + ÐCFP = 90°

（1） 如图 1，求证： AB / /CD ；
（2） 如图 2， ÐPEF 和ÐPFM 的角平分线交于点Q ，求ÐQ 的度数；

（3） 如图 3，若ÐAEP : ÐCFP = 2 :1 ，延长线段 EP 得射线 EP1 ，延长线段 FP 得 FP2 ，射线 EP1 绕点 E 以每
秒15° 的速度逆时针旋转360° 后停止，射线 FP2 绕点 F 以每秒3° 的速度顺时针旋转180° 后停止．设它们同时转动t 秒，问？ t 为多少时，射线 EP1 / / FP2 ．
【分析】（1）由角平分线的定义，可知ÐAEP = ÐPEF ，ÐPFE = ÐCFP ，再由已知可求ÐAEF + ÐPFC = 180° ，根据同旁内角互补两直线平行即可证明；

（2）设ÐPEQ = a，由角平分线的定义可分别求ÐAEP = 2a，ÐQEF = ÐPEQ = a，则可求ÐPFE = 90° - 2a，
ÐPFM = 90° + 2a， ÐPFQ = 45° + a，再由三角形内角和可得ÐQ = 180° - ÐQEF - ÐEFQ = 45° ；

（3）分两种情况讨论：ÐP1 EF = ÐP2 FE 时，ÐP1 EF = 15°t - 60° ，ÐP2 FE = 30° - 3°t ，则15°t - 60° = 30° - 3°t ；

ÐP1 EF + ÐEFP2 = 180° 时， ÐP1EF = 15°t - 60° ， ÐEFP2 = 3°t - 30° ，则15°t - 60° + 3°t - 30° = 180° ，分别求

出t 即可．
【解答】（1）证明：Q ÐAEF 和ÐCFE 的角平分线交于点 P ，
\ÐAEP = ÐPEF ， ÐPFE = ÐCFP ，
QÐAEP + ÐCFP = 90° ，
\ÐAEF + ÐPFC = 180° ，
\ AB / /CD ；
（2） 解：设ÐPEQ = a，
Q PE 平分ÐAEF ，
\ÐAEP = 2a，
Q EQ 平分ÐPEF ，
\ÐQEF = ÐPEQ = a，
QÐEPF = 90° ，
\ÐPFE = 90° - 2a，
\ÐPFM = 180° - (90° - 2a) = 90° + 2a，
Q FQ 平分ÐPFM ，
\ÐPFQ = 45° + a，
\ÐQ = 180° - ÐQEF - ÐEFQ = 180° - a- (90° - 2a) - (45° + a) = 45° ；

（3） 解：如图 1， EP1 / / FP2 时，

QÐAEP : ÐCFP = 2 :1 ， ÐAEP + ÐCFP = 90° ，
\Ð