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七下数学第十章:二元一次方程组知识点总结
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一、 基本概念:
二元一次方程:一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程。使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做这个二元一次方程的解。
二元一次方程组:两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。两个二元一次方程组的公共解,叫做二元一次方程组的解。 一般来说,二元一次方程组只有唯一的一个解。
附:二元一次方程组的解有三种情况:
a. 有一组解:如方程组方程组的解为
b. 有无数组解:如因为这两个方程实际上是一个方程,所以此类方程组有无数组解。
c. 无解:如, 因为方程①化简后为x+y=5 这与方程②相矛盾,所以此类方程组无解。
注意:用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
二、 方程组解法
方程组一般解法消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。
消元的方法有两种:代入消元法与加减消元法。
补充填空选择常用的几种解法:
1) 加减-代入混合使用的方法.
例1:
解:②-①得x-y=-1即x=y-1 ③
把③代入①得13(y-1)+14y=41
得 y=2
把y=2代入③得x=1
特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
2) 换元法
例2:
令x+5=m,y-4=n
原方程可写为
解得m=6,n=2
所以x+5=6,y-4=2
所以x=1,y=6
特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。
3) 另类换元
例3:
令x=t, y=4t
方程2可写为:5t+6×4t=29
得 t=1 所以x=1,y=4
三、 列方程(组)解应用题
列方程(组)解应用题一般步骤是:
1) 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出与涉及的相等关系是什么。
2) 设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
3) 用含未知数的代数式表示相关的量。
4) 寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
5) 解方程及检验。
6) 答。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。因此,列方程是解应用题的关键。
注意:单位换算:如,“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。
常用等量关系:
行程问题:速度×时间=路程
相遇路程÷速度与=相遇时间
追及问题(环形)快的路程-慢的路程=曲线的周长
追及问题(直线)追及时间=路程差÷速度差
航速问题:此类问题分为水中航速与风中航速两类
顺流:航速=静水(无风)中的速度+水(风)速
逆流:航速=静水(无风)中的速度--水(风)速
工程问题:工作效率×工作时间=工作量
浓度问题:溶液×浓度=溶质
银行利率问题:免税利息=本金×利率×时间
与差倍总分问题:较大量=较小量+多余量,总量=倍数×倍量
产品配套问题:加工总量成比例
工程问题:工作量=工作效率×工作时间
(一般分为两种,一种是一般的工程问题;另一种是工作总量是单位一的工程问题)
增长率问题:原量×(1+增长率)=增长后的量
原量×(1+减少率)=减少后的量
浓度问题:溶液×浓度=溶质
银行利率问题:免税利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
利润问题:利润=售价—进价,利润率=(售价—进价)÷进价×100%
盈亏问题:关键从盈(过剩)、亏(不足)两个角度把握事物的总量
数字问题:首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
几何问题:必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
年龄问题:抓住人与人的岁数是同时增长的
二元一次方程组习题
1.求适合的x,y的值.
2.解下列方程组
(1)
(2)
(3)
(4).
3.解方程组:
4.解方程组:
5.解方程组:
6.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有与.
(1)求k,b的值.
(2)当x=2时,y的值.
(3)当x为何值时,y=3?
7.解方程组:
(1);
(2).
8.解方程组:
9.解方程组:
10.解下列方程组:
(1)
(2)
11.解方程组:
(1)
(2)
12.解二元一次方程组:
(1);
(2).
13.在解方程组时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,而得解为,乙看错了方程组中的b,而得解为.
(1)甲把a看成了什么,乙把b看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解.
14.
15.解下列方程组:
(1);
(2).
16.解下列方程组:(1)(2)
1、有甲乙两种债券,年利率分别是10%与12%,现有400元债券,一年后获利45元,问两种债券各有多少?
2、一种饮料大小包装有3种,1个中瓶比2小瓶便宜2角,1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角,大、中、小各买1瓶,需9元6角。3种包装的饮料每瓶各多少元?
3、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车、乙组步行。车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离。
4、某校体操队与篮球队的人数是5:6,排球队的人数比体操队的人数2倍少5人,篮球队的人数与体操队的人数的3倍的与等于42人,求三种队各有多少人?
5、甲乙两地相距60千米,A、B两人骑自行车分别从甲乙两地相向而行,如果A比B先出发半小时,B每小时比A多行2千米,那么相遇时他们所行的路程正好相等。求A、B两人骑自行车的速度。(只需列出方程即可)
6、已知甲、乙两种商品的原价与为200元。因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提高10%,调价后甲、乙两种商品的单价与比原单价与提高了5%。求甲、乙两种商品的原单价各是多少元。
7、2辆大卡车与5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨,3辆大卡车与2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80吨,那么1辆大卡车与1辆小卡车各运多少吨垃圾。
8、12支球队进行单循环比赛,规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分。若有一支球队最终的积分为18分,那么这个球队平几场?
9、现有A、B、C三箱橘子,其中A、B两箱共100个橘子,A、C两箱共102个,B、C两箱共106个,求每箱各有多少个?
1.求适合的x,y的值.
2.解下列方程组
(1)
(2)
(3)
(4).
3.解方程组:
4.解方程组:
5.解方程组:
6.已知关于x,y的二元一次方程y=kx+b的解有与.
(1)求k,b的值.(k=,b=.)
(2)当x=2时,y的值.(y=)
(3)当x为何值时,y=3?(x=1)
7.解方程组:
(1);
(2).
8.解方程组:
9.解方程组:
10.解下列方程组:
(1)
(2)
11.解方程组:
(1)
(2)
12.解二元一次方程组:
(1);
(2).
13.在解方程组时,由于粗心,甲看错了方程组中的a,而得解为,乙看错了方程组中的b,而得解为.
(1)甲把a看成了什么,乙把b看成了什么?
(2)求出原方程组的正确解.
解:(1)把代入方程组,
得,解得:.
把代入方程组,得,
解得:.
∴甲把a看成﹣5;乙把b看成6;
(2)∵正确的a是﹣2,b是8,
∴方程组为,
解得:x=15,y=8.
则原方程组的解是.
此题难度较大,需同学们仔细阅读,弄清题意再解答.
14.
15.解下列方程组:
(1);
(2).
16. 解下列方程组:(1)
(2)
1、 2、 3、2.25Km 4、体操队10人,排球队15人,篮球队12人 5、设甲的速度是x千米/小时,乙的速度是y千米/小时, 6、7、 8、平5场或3场或1场 9、
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