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第2章 导数及极限
内容提要
〔一〕极限
1. 概念
〔1〕自变量趋向于有限值的函数极限定义〔 定义〕
， ，当 时，有 。
〔2〕单侧极限
左极限： ， ，当 时，有 。
右极限： ， ，当 时，有 。
〔3〕自变量趋向于无穷大的函数极限
定义1： ，当 ，成立 ，那么称常数 为函数 在 趋于无穷时的极限，记为 。
为曲线 的水平渐近线。
定义2： ，当 时，成立 ，那么有 。
定义3： ，当 时，成立 ，那么有 。
运算法那么：
1) 假设 ， ，那么 。
2) 假设 ， ，那么 。
3) 假设 ，那么 。
注：上述记号 是指同一变化过程。
〔4〕无穷小的定义
， ，当 时，有 ，那么称函数 在 时的无穷小〔量〕，即 。
〔5〕无穷大的定义
， ，当 时，有 ，那么称函数 在 时的无穷大〔量〕，记为 。
直线 为曲线 的垂直渐近线。
2．无穷小的性质
定理1 有限多个无穷小的与仍是无穷小。
定理2 有界函数及无穷小的乘积仍是无穷小。
推论1 常数及无穷小的乘积是无穷小。
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。
无穷小及无穷大的关系
假设 ，且 不取零值，那么 是 时的无穷小。
3．极限存在的判别法
〔1〕 。
〔2〕 ，其中 是 时的无穷小。
〔3〕夹逼准那么：设在点 的某个去心邻域 内有 ，且 与 ，那么必有 。
4．极限的性质
〔1〕极限的唯一性 假设 且 ，那么 。
〔2〕局部有界性 假设 ，那么 ，在点 的某个去心邻域 内有 。
〔3〕局部保号性
〔I〕假设 ，且 〔或 〕，那么必存在 的某个去心邻域 ，当 时，有 〔或 〕。
〔II〕假设在点 的某个去心邻域 内有 〔或 〕，且 ，那么 〔或 〕。
5．极限的四那么运算及复合运算
设 是常数， 那么
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
那么 .
6．两个重要极限
〔1〕 ；
〔2〕 或 。
7．无穷小的阶的比拟
假设 与 都是在同一自变量变化中的无穷小量，且 0，那么
〔1〕假设 ，那么称 关于 是高阶无穷小量，记作 ；
〔2〕假设 ，那么称 与 是等价无穷小量，记作 ；
〔3〕假设 ，那么称 与 是同阶无穷小量，记作 ；
一般情况下，假设存在常数 ， ，使成立 ，就称 与 是同阶无穷小量。
〔4〕假设以 作为 时的根本无穷小量，那么当 〔 为某一正数〕时，称 是 阶无穷小量。
定理1 。
定理2 设 ， ，且 存在，那么 。
常用的等价无穷小
时， ，
〔二〕函数的连续性
1．定义
假设函数 在点 的某个邻域内有定义，那么 在点 处连续 。
2．连续函数的运算
连续函数的与、差、积、商〔分母不为零〕均为连续函数；
连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；
一切初等函数在定义区间内都是连续函数。
3．连续点
〔1〕连续点的概念
不连续的点即为连续点。
〔2〕连续点的条件
假设点 满足下述三个条件之一，那么 为连续点：
〔a〕 在 没有定义；
〔b〕 不存在；
〔c〕 在 有定义， 也存在，但 。
〔3〕连续点的分类：
〔i〕第一类连续点：在连续点 处左右极限存在。它又可分为下述两类：
可去连续点：在连续点 处左右极限存在且相等；
跳跃连续点：在连续点 处左右极限存在但不相等；
〔ii〕第二类连续点：在连续点 处的左右极限至少有一个不存在。
4．闭区间上连续函数的性质
〔1〕概念
假设函数 在区间 上每一点都连续，在 点右连续，在 点左连续，那么称 在区间 上连续。
〔2〕几个定理
最值定理：如果函数 在闭区间 上连续，那么 在此区间上必有最大与最小值。
有界性定理：如果函数 在闭区间 上连续，那么 在此区间上必有界。
介值定理：如果函数 在闭区间 上连续，那么对介于 与 之间的任一值 ，必有 ，使得 。
零点定理：设函数 在闭区间 上连续，假设 ，那么必有 ，使得 。
〔三〕导数
1．导数的概念
〔1〕定义 设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量在点 处取得改变量 时，函数 取得相应的改变量 ，假设极限
存在，那么称此极限值为函数 在点 处的导数〔或微商〕，记作
导数定义的等价形式有
〔2〕左、右导数
左导数
右导数
存在 。
2．导数的几何意义
函数 在点 处的导数 在几何上表示曲线 在点 处的切线的斜率，即 ，从而曲线 在点 处的
切线方程为
法线方程为
3．函数的可导性及连续性之间的关系
函数 在点 处可导，那么函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。
因此，假设函数 点 处不连续，那么 点 处必不可导。
4．求导法那么及求导公式
〔1〕四那么运算 假设 均为可导函数，那么
， 〔其中 为常数〕，
〔2〕复合函数求导
设 ， ，且 与 都可导，那么复合函数 的导数为
〔3〕反函数的导数
假设 是 的反函数，那么 。
〔4〕隐函数的导数
由一个方程 所确定的隐函数 的求导法，就是先将方程两边分别对 求导，再求出 即可。
〔5〕对数求导法
先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。
对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。
〔6〕参数方程的导数
假设参数方程 确定了一个函数 ，且 均可导，那么有
〔7〕根本初等函数的导数公式
5．高阶导数
〔1〕高阶导数的概念：
函数 的一阶导数 的导数称为 的二阶导数， 的二阶导数的导数称为 的三阶导数，… …， 的 阶导数的导数称为 的 阶导数，分别记为
，或 。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。
〔2〕常用的 阶导数公式
〔3〕莱布尼茨公式
设 与 都是 次可微函数，那么有
复习指导：
第2章 导数及极限
复习指导
重点：求函数的极限、连续、导数。
难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。
1．求极限的方法：
〔1〕利用定义〔 语言〕证明。
〔2〕利用极限的四那么运算法那么与复合函数求极限的方法求初等函数的极限。
〔3〕初等函数 在定义区间上求极限： 。
例： 。
〔4〕分解因式，约去使分母极限为零的公因式。
例： 。
〔5〕利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。
例： 。
但 。
〔6〕利用等价无穷小替换〔条件：在乘积的条件下〕。
例： 。
〔7〕利用无穷大与无穷小的互为倒数关系。
例：求 。
因为 ，所以 。
〔8〕幂指函数求极限：假设 ， ，那么
〔9〕利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。
2．无穷小：
〔1〕理解无穷小是自变量在趋向于某一点时函数极限趋向于零的过程，它及自变量的变化趋势密切相关。
〔2〕掌握利用求两个无穷小的商的极限比拟它们的阶的方法。
〔3〕注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，那么不能做等价无穷小的替换。
3．连续性的判断：
重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进展判断。
4．连续点
〔1〕掌握连续点的分类规那么，以及如何求解函数的连续点并对其分类。对于初等函数，首先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要讨论它的分段点。
〔2〕注意对于可去连续点，可以通过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。
5．闭区间连续函数的性质
掌握利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到一个特定数值时，通常的方法是在这个闭区间内找两个函数值〔一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大与最小值〕，使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。
当要证明方程 在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得 在这两点的函数值一正一负，从而利用零点定理得出结论。
5．可导、连续与极限三个概念的关系：
在点 可导 在点 连续 在点 有极限；
但上述关系反之均不成立。
6．可导的判断：
〔1〕假设函数在某一点不连续，那么必不可导。
〔2〕分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念进展判断。
7．求导数的方法：
〔1〕利用导数的定义求导数。
〔2〕利用根本初等函数的导数公式与导数的四那么运算法那么求初等函数的导数。
〔3〕利用复合函数求导的链式法那么。
〔4〕利用隐函数求导法那么。此时需注意假设在方程中出现 的函数项，那么在对自变量 求导
时，对这一项需利用复合函数求导的法那么。
例：设 ，求 。
解：方程两边同时对 求导，有
，所以 。
〔5〕利用反函数求导法那么。
〔6〕利用参数方程求导法那么。此时需注意得到的 对 的导数实际上仍然由一个参数方程
所确定。
〔7〕利用对数求导法那么。它主要在如下两种情况中应用：
〔i〕幂指函数求导；
〔ii〕需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。
〔8〕分段函数在分段点处需利用左右导数求导。
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