不等式1性质和比大小答案.docx

不等式1：不等关系与不等式
考点：不等式的定义、性质
基本知识：
1．比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
基本方法：
1.作差法：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．
2.待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．
3.常用性质
(1)倒数性质：
①a＞b，ab＞0⇒＜；
②a＜0＜b⇒＜；
③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；
④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.
(2)若a＞b＞0，m＞0，则
①真分数的性质：
＜；＞(b－m＞0)；
②假分数的性质：
＞；＜(b－m＞0)．
例1.
已知a，b，c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的(　　)．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　a＞b /⇒ac2＞bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2＞bc2⇒a＞b.
答案　B
例2.
给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是(　　)．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析　当c＝0时，ac2＝bc2，∴①不正确；a＞|b|≥0，a2＞|b|2＝b2，∴②正确；a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0，∴③正确；取a＝2，b＝－3，则|a|＞b，但a2＝4＜b2＝9，∴④不正确．
答案　B
考点：不等式性质的运用
基本方法：
1. 同向可加性与同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式．
2.同向可加的应用：由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
例1.
若－<α<β<，则α－β的取值范围为　( )　.
【解析】因为－<α<，－<－β<，
所以－π<α－β<π.
又α<β，则α－β<0，所以－π<α－β<0.
例2.
已知－1<2x－1<1，则－1的取值范围是____________．
解析：－1<2x－1<1⇒0<x<1⇒>1⇒－1>1，填(1，＋∞)．
例3.
已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．
解　f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
∴∴
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.
例4.
若α，β满足试求α＋3β的取值范围．
解　设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
由解得
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.
考点：做差、做商、特殊值比较大小
基本方法：
1.对于整式可采用作差法；对于幂可采用作商法比较；当不能直接下结论时，采用分类讨论．
2.题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．
3. (1)作差比较法的依据是“a－b>0⇔a>b”，步骤为：①作差；②变形；③定号；④下结论；常采用配方，因式分解，有理化等方法变形；
(2)作商法的依据是“>1，b>0⇒a>b”，步骤为：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．
(3)特例法，对于选择、填空题可用特例法选出正确答案．
例1.【做差法】
(2011·陕西)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是(　　)．
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
例2.
若0＜x＜1，a＞0且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是
A．|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
B．|loga(1－x)|＜|loga(1＋x)|
C．不确定，由a的值决定
D．不确定，由x的值决定
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