中考数学压轴200题.docx

初三年级每天一道中考压轴题坚持 200 天
模块一 选择压轴题

知识梳理
解题规律：对于选择压轴题，最重要的技巧还是熟练，能够将今年所出现的各类题目烂熟于心，自然在考试中能触类旁通，左右逢源！
1、直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念，公式，定理等进行推理或运算，得出结论， 实质上就是将选择题当成解答题来做！此种方法比较传统
2、验证法：由问题入手，找到合适的条件，从而选出正确答案
3、特殊值法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入到题设条件或结论中去，从而获得解答
4、排除法：数学题的答案往往是有且仅有一个，所以可以将所给选项依次代入到题设中去验证，若出现矛盾，则选项错误
5、图解法：借助于题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法
6、整体代入法：把某一个数式进行化简，然后并不求出某个字母的取值，而是直接把化简的结果作为一个整体代入

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【例 1】
（1） 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，通道由在同一平面内的 AB，BC，CA，OA，OB，OC 组成．为记录寻宝者的行进路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为 x，寻宝者与定位仪器之间的距离为 y，若寻宝者匀速行进，且表示 y 与x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）

A．
A→O→B
B．
B→A→C
C．
B→O→C
D．
C→B→O

（2） 如右图所示，点 Q 表示蜜蜂，它从点P 出发，按照着箭头所示的方向沿 P→A→B→P→C→D→P 的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线 l 为对称轴的轴对称图形，在直线 l 上的点 O 处（点 O 与点P 不重合）利用仪器测量了∠POQ 的大小．设蜜蜂飞行时间为 x，∠POQ 的大小为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．

【例 2】
（1） 如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 中点，点 F 为 BC 上的动点（不与 B、C 重合）．连接 EF，以 EF 为直径的圆分别交 BE，CE 于点G、H．设 BF 的长度为 x，弦 FG 与 FH 的长度和为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．

（2） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的一个动点，点 A 在x 轴上，且PO=PA，AB 是△PAO 中 OP 边上的高．设 OA=m，AB=n，则下列图象中，能表示 n 与 m 的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．

【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，开口向下的抛物线 y=ax2+bx+c 的一部分图象如图所示，它与 x 轴交于 A（1，0），与 y 轴交于点 B （0，3），则 a 的取值范围是（ ）

A．a＜0 B．﹣3＜a＜0 C．a＜ D． ＜a＜

【例 4】如图，点 A 是反比例函数 y= （x＞0）上的一个动点，连接 OA，过点 O 作 OB⊥OA， 并且使 OB=2OA，连接 AB，当点 A 在反比函数图象上移动时，点 B 也在某一反比例函数图象y= 上移动，k 的值为（ ）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

【例 5】
（1） 如图表示一个正方体的展开图，下面四个正方体中只有一个符合要求，那么这个正方体是（ ）

A． B． C． D．
（2） 已知：如图，无盖无底的正方体纸盒 ABCD﹣EFGH，P，Q 分别为棱 FB，GC 上的点，且 FP=2PB， GQ= QC，若将这个正方体纸盒沿折线 AP﹣PQ﹣QH 裁剪并展开，得到的平面图形是（ ）
A．一个六边形 B．一个平行四边形C．两个直角三角形
D．一个直角三角形和一个直角梯形

【例 6】如图，点 A 在半径为 3 的⊙O 内，OA= ，P 为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于（ ）
A． B． C． D．

【例 7】如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最大距离是（ ）
A．6 B． C． D．

【例 8】如图，以 G（0，1）为圆心，半径为 2 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，点 E
为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于 F．当点 E 从点B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为（ ）

A． B． C． D．

﹣
【例 9】已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示，则四个代数式 abc，b2 4ac，2a+b，a﹣b+c 中， 值为正数的有（ ）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个

【例 10】已知二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A（﹣1，1），则 ab 有（ ）
A．最小值 0 B．最大值 1 C．最大值 2 D．有最小值﹣

【例 11】一个不透明的小方体的 6 个面上分别写有数学 1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为 7．将这样的几个小方体按照相接触的两个面上的数字之和为 8 摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，已知图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

【例 12】如图 1，矩形的一条边长为 x ，周长的一半为 y .定义(x, y) 为这个矩形的坐标. 如图 2，在平面直
y
3
2

1

①

④

②

③
O
1
x

图 2

角坐标系中，直线 x = 1, y = 3 将第一象限划分成 4 个区域. 已知矩形 1 的坐标的对应点 A 落在如图所示的双曲线上，矩形 2 的坐标的对应点落在区域④中.

x

图 1
则下面叙述中正确的是
A. 点 A 的横坐标有可能大于 3

B. 矩形 1 是正方形时，点 A 位于区域②

C. 当点 A 沿双曲线向上移动时，矩形 1 的面积减小

D. 当点 A 位于区域①时，矩形 1 可能和矩形 2 全等

【例 13】如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=6，点 P 是 AB 边上一动点（点 P 与点 A 不重合），以 AP 为边作正方形 APDE，设 AP=x，正方形 APDE 与△ABC 重合部分（阴影部分）的面积为 y，
则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是

【例 14】如图 1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距 8cm 的 A，B 两点同时开始沿线段 AB 运动，运动过程中甲光斑与点 A 的距离 S1(cm)与时间 t (s)的函数关系图象如图 2，乙光斑与点 B 的距离 S2(cm)与时间 t (s)的函数关系图象如图 3，已知甲光斑全程的平均速度为 1.5cm/s，且两图象中△P1O1Q1≌△P2Q2O2．下列叙述正确的是
S1(cm) S2(cm)

8cm
甲
A
图 1
乙 8 P1
B

O1 t0
图 2


Q1
4t0


t(s)
8 P2

O2
图 3


Q2
t(s)

（A） 甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍
（B） 乙光斑从点 A 到 B 的运动速度小于 1.5cm/s
（C） 甲乙两光斑全程的平均速度一样
（D） 甲乙两光斑在运动过程中共相遇 3 次

【例 15】图 1 是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE 和正方形ABCD 组成，正方形ABCD 两条对角线交于点 O，在 AD 的中点 P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为 x，与主摄像机的距离为 y，若游戏参与者匀速行进，且表示 y 与 x 的函数关系式大致如图 2 所示，则游戏参与者的行进路线可能是
E

P
O
A D

B C

图 1 图 2
A. A O D B. E A C C. A E D D. E A B

【例 16】小明在暗室做小孔成像实验.如图 1，固定光源（线段 MN）发出的光经过小孔（动点 K）
成像（线段 M'N'）于足够长的固定挡板（直线 l）上，其中 MN// l. 已知点 K 匀速运动， 其运动路径由 AB，BC，CD，DA，AC，BD 组成．记它的运动时间为 x，M'N'的长度为
y，若 y 关于 x 的函数图象大致如图 2 所示，则点 K 的运动路径可能为
A．A→B→C→D→A B．B→C→D→A→B
C．B→C→A→D→B D．D→A→B→C→D

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图 1 图 2

的一动点，以 AB 为边作等腰 Rt△ABC，使
∠BAC=90°，设点 B 的横坐标为 x，设点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是
【例 17】如图，点 A 的坐标为（0,1），点 B 是 x 轴正半轴上

【例 18】如图，在正方形 ABCD 中，AB=3cm，动点 M 自点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 厘米的速度运动，同时动点 N 自点 A 出发沿折线 AD—DC—CB 以每秒 3 厘米的速度运动，到达点 B 时运动
同时停止.设△AMN 的面积为 y（厘米 2），运动时间为 x（秒），则下列
D C
图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是
N

【例 19】如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，动点 P 从 B 点开始到点 D 结束.
A M B

沿着边 BC，CD 运动

A
O
B
A
B
设 BP=x，OP=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为 D C

P

C D

A

B

C

【例 20】如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点， 已知点 A 的坐标是（-2，3），点 C 的坐标是（1，2），
那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是
A．（0，0） B．（-1，1） C．（-1，0） D．（-1，-1）

【例 21】如图，在等边三角形 ABC 中， AB = 2 ． 动点 P 从点 A 出发，沿三角形边界按顺指针方向匀速运动一周，点Q 在线段 AB 上，且满足 AQ + AP = 2 ．设点 P 运动
的时间为 x ， AQ 的长为 y ，则 y 与 x 的函数图像大致是（ ）

A． B． C． D．
【例 22】如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA=2，AB=6，点 C 在 x 轴的负半轴上，将平行四边形 ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上．若点 D 在反比例函数 y= （x＜0）的图象上，则 k 的值为（ ）

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A．4 B．12 C．8 D．6

【例 23】二次函数 y=2x2﹣8x+m 满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6＜x＜7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（ ）
A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24

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【例 24】如图，在三角形纸片 ABC 中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点 A，作直线 l∥BC， 折叠三角形纸片 ABC，使点 B 落在直线 l 上的 P 处，折痕为 MN．当点 P 在直线 l 上移动时， 折痕的端点 M、N 也随之移动．若限定端点 M、N 分别在 AB、BC 边上移动，若设 AP 的长为x，MN 的长为 y，则下列选项，能表示 y 与 x 之间的函数关系的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

【例 25】如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，∠OBC=45°，则下列各式成立的是（ ）

A．1﹣b+c=0 B．1+b+c=0 C．1+b﹣c=0 D．1﹣b﹣c=0

【例 26】城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题．近几年来，“互联网+”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用．名为“数据包络分析”（简称 DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置．为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天 24 个时段的 DEA 值进行调查，调查发现，DEA 值越大，说明匹配度越好．在某一段时间内，北京的 DEA 值 y 与时刻 t 的关系近似满足函数关系 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，且 a≠0），如图记录了 3 个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻 t 是（ ）

A．4.8 B．5 C．5.2 D ．5.5

【例 27】若抛物线 y=（x﹣2m）2+3m﹣1（m 是常数）与直线 y=x+1 有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则 m 的取值范围是（ ）
A．
m＜2
B．
m＞2
C．
m
D．
m

【例 28】如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2，点 O 是边 BC 的中点，半圆 O 与△ABC 相切于点 D、E，则阴影部分的面积等于（ ）

A．
1﹣
B．
C．
1﹣
D．

【例 29】如图，OA=4，线段 OA 的中点为B，点 P 在以 O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为 Q．当点Q 也落在⊙O 上时，cos∠OQB 的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

【例 30】已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发，绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（ ）

A． B．

C． D．

模块二 填空压轴题
【例 31】（1）给出一列式子：x2y， ， ， ，…，根据其蕴含的规律可知这一列式子中的第 8 个式子是（ ）
A． B． C． D．

（2）己知：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024…以上算式结果的个位数字分别为 4，6，4，6…，按照上面的研究方法确定 20062007+20072006 的个位数字为（ ）
A．3 B．4 C．5 D ．6

（3） 符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）=0，f（2）=1，f（3）=2，f（4）=3，…；
（2） ， ， ， ，…． 利用以上规律计算： = ．
（4） 根据图中数字的规律，在图形中填空．（3 处空白）

【例 32】(1) 找规律，填空：3、6、10、15、21、28、36，第 n 个数是 ．

(2)找规律 2,0,4,0,6,0 第n 个数是

【例 33】小明在他家里的时钟上安装了一个电脑软件，他设定当钟声在 n 点钟响起后，下一次则在（3n﹣1） 小时后响起，例如钟声第一次在 3 点钟响起，那么第 2 次在（3×3﹣1=8）小时后，也就是 11 点响起，第 3
次在（3×11﹣1=32）小时后，即 7 点响起，以此类推…；现在第 1 次钟声响起时为 2 点钟，那么第 3 次响
起时为 点，第 2017 次响起时为 点（如图钟表，时间为 12 小时制）．

【例 34】我们知道，一元二次方程 x2=﹣1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足 i2=﹣1（即方程 x2=﹣1 有一个根为 i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1=i，
i2=﹣1，i3=i2•i=﹣1•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数 n，由于
i4n=（i4）n=1n=1，i4n+1=i4n•i=1•i=i 同理可得 i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，那么 i6= ； i2017= ．

【例 35】正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点 A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点 B1 的坐标是 ；点 Bn 的坐标是
（用含 n 的代数式表示）

【例 36】在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2 次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ； 当点P 第 6 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为 ；当点 P 第 2015 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为 ．

【例 37】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A1，A2，A3，…，An 在 x 轴的正半轴上，且 OA1=2，OA2=2OA1， OA3=2OA2，…，OAn=2OAn﹣1，点 B1，B2，B3，…，Bn 在第一象限的角平分线 l 上，且 A1B1，A2B2，…， AnBn 都与射线 l 垂直，则 B1 的坐标是 ，B3 的坐标是 ，Bn 的坐标是 ．

【例 38】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的表达式是 y= x，点 A1 坐标为（0，1），过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 长为半径画弧交 y 轴于点 A2；再过点A2 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2 长为半径画弧交 y 轴于点A3，…，按此作法进行下去，点 B4 的坐标为 ，OA2015=

【例 39】如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3），B（1，1），C（3，1），对角线交于点 M．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移个单位”为一次变换，那么经过两次变换后，点M 的坐标变为 ， 连续经过 2015 次变换后，点 M 的坐标变为 ．

【例 40】如图，我们把抛物线 y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）记为 C1，它与 x 轴交于点O，A1；将 C1 绕点 A1 旋转 180°得C2，交 x 轴于另一点 A2；将 C2 绕点 A2 旋转 180°得C3，交 x 轴于另一点 A3；…；如此进行下去， 直至得 C2016．①C1 的对称轴方程是 ；②若点 P（6047，m）在抛物线 C2016 上，则 m= ．

【例 41】如图，在一单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1（2，0），A2（1，﹣1），A3
（0，0），则依图中所示规律，A2012 的坐标为

【例 42】如图的平面直角坐标系中有一个正六边形 ABCDEF，其中 C、D 的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着 x 轴向右滚动，当点C 第三次回到 x 轴上时，点 C 经过的路线长为
．

【例 43】二次函数 y= 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，点 A1，A2，A3…An 在 y 轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C2，C3…Cn 在二次函数位于第二象限的图象上， 四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形 An﹣1BnAnCn 都是菱形，∠A0B1A1=∠ A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An﹣1BnAn=60°，菱形 An﹣1BnAnCn 的周长为

【例 44】阅读下面材料：
实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图中的∠P，我们可以采用下面的方法作一

条直线平分∠P． 如图，
（1） 作直线 l 与∠P 的两边分别交于点 A，B，分别作∠PAB 和∠PBA 的角平分线，两条角平分线相交于点 M；
（2） 作直线 k 与∠P 的两边分别交于点 C，D，分别作∠PCD 和∠PDC 的角平分线，两条角平分线相交于点 N；
（3） 作直线 MN．所以，直线 MN 平分∠P． 请回答：上面作图方法的依据是 ．

【例 45】阅读下面材料：
尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段 AB．求作：线段 CD，使 CD=AB．

在数学课上，老师提出如下问题：

小亮的作法如下：

老师说：“小亮的作法正确”
请回答：小亮的作图依据是 ．

【例 46】已知二次函数 y=x2+（2m﹣1）x，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是

【例 47】如下图，正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点 P，使得点 P 到正方形 ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方

形 ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线 y=2x2﹣nx﹣n2﹣1 是正方形 ABCD 的“友好抛物线”，则 n
的值为 ．

【例 48】如图，已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点，与 y= 的图象相交于 A（﹣
2，m）、B（1，n）两点，连接 OA、OB，给出下列结论：①k1k2＜0；②m+ n=0；③S△AOP=S
△BOQ；④不等式 k1x+b 的解集是 x＜﹣2 或 0＜x＜1，其中正确的结论的序号是 ．

【例 49】定义：直线 y=ax+b（a≠0）称作抛物线 y=ax2+bx（a≠0）的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1） 已知抛物线 y=ax2+bx（a≠0）的关联直线为 y=x+2，则该抛物线的顶点坐标为 ；
（2） 当a=1 时，请写出抛物线y=ax2+bx 与其关联直线所共有的特征（写出一条即可）： ．

【例 50】如图，∠ABC=90°，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为圆心，OB 长为半径作⊙O，将射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转至 BA′，若 BA′与⊙O 相切，则旋转的角度 α（0°＜α＜180°）

等于 ．

【例 51】阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

小敏的作法如下：

老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接 OA，OB 后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是 ；由此可证明直线 PA， PB 都是⊙O 的切线，其依据是 ．

【例 52】如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；
②b＞2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和 1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只

要求填写正确命题的序号）

1 1
【例 53】已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于（1，0）和（x ，0），其中﹣2＜x ＜﹣1，与 y 轴交于正半轴上一点．下列结论：①b＞0；② ；③a＞b；④﹣a＜c＜﹣2a．其中所有正确结论的序号是 ．

【例 54】如图，设半径为 1 的半圆⊙O，直径 AB，C、D 为半圆上的两点，P 点是 AB 上一动点，若 AC 的度数为 96°，BD 的度 36°，则PC+PD 的最小值是 ．
【例 55】如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与 x 轴交点的横坐标为 x1、 x2，其中﹣2＜x1＜﹣1、0＜x2＜1．下列结论：①4a﹣2b+c＜0，②2a﹣b＜0，③a＜﹣1，④b2+8a＞4ac 中，正确的结论是 ．

【例 56】已知二次函数 y=ax2+bx+c 满足：（1）a＜b＜c； （2）a+b+c=0；（3）图象与 x 轴有 2 个交点，且两交点间的距离小于 2；则以下结论中正确的有 ．
①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤ ．

【例 57】若 α、β 是一元二次方程 mx2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0 的实根，且满足﹣1＜α＜0，0＜β＜1，则 m
的取值范围是 ．

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【例 58】如图，在反比例函数 y= （x＞0）的图象上有点A1，A2，A3，…，An﹣1，An，这些点的横坐标分别是 1，2，3，…，n﹣1，n，过点 A1 作x 轴的垂线，垂足为 B1，再过点A2 作 A2 P1⊥A1 B1 于点 P1，以点P1、A1、A2 为顶点的△P1A1A2 的面积记为 S1，那么 S1= ；按照以上方法继续作图，可以得到△P2A2A3，…，△Pn﹣1An﹣1An，其面积分别记为 S2，…，Sn﹣1，则S1+S2+…+Sn﹣1= ．

x
【例 59】小聪用描点法画出了函数 y = 的图象 F，如图所示.结合旋转的知识，他尝试着将图象 F 绕原点逆时针旋转90° 得到图象 F1 ，再将图象 F1 绕原点逆时针旋转90° 得到图象 F2 ，如此继续下去，得到图象 Fn .在尝试的过程中，他发现点 P (-4, -2) 在图象 上（写出一个正确的即可）；若点 Q（a，b）在图象 F127 上，则a = (用含b 的代数式表示) .

【例 60】如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形 EBF 的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴影部分的面积是 ．

【例 61】如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形 ABCD 的对称中心 O 称作菱形的中心．菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60°叫一次操作，则经过 1 次这样的操作菱形中心 O 所经过的路径长为 ；经过 3n（n 为正整数）次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为 ．（结果都保留 π）

【例 62】如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交点 D 的坐标为 ；菱形 OABC 绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45°，从如图所示位置起，经过 60 秒时， 菱形的对角线的交点 D 的坐标为 ．

í
【例 63】对于正整数n ，定义 F (n)= ì
n2，
n < 10

，其中 f (n) 表示n 的首位数字、末位数字的平方和．例

如： F (6) = 62 = 36 ， F (123) =
î f (n)， n≥10
f (123) = 12 + 32 = 10 ．

规定 F1 (n) = F (n) ， Fk +1 (n) = F (Fk (n))
F2 (123) = F (F1 (123)) = F (10) = 1．
（ k 为 正整数 ）． 例如： F1 (123) = F (123) = 10 ，

（1）求： F2 (4) = ， F2015 (4) = ；
（2）若 F3m (4) = 89 ，则正整数 m 的最小值是 _．

【例 64】如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置，点 B，O 分别落在点 B1，C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将
△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去…．若点 A（ ，0），
B（0，4），则点 B4 的坐标为 ，点 B2014 的坐标为 ．

【例 65】我们把图（1）称作正六边形的基本图，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2），图（3），…，如此进行下去，直至得图（n）．
（1） 将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1 的坐标为（x1，4），则x1= ；
（2） 图（n）的对称中心的横坐标为 ．

【例 66】下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：⊙O 和⊙O 上一点 P．
求作：⊙O 的切线 MN，使 MN 经过点 P．
O
作法：如图，
（1） 作射线 OP；
（2） 以点 P 为圆心，小于 OP 的长为半径作弧交射线 OP 于 A，B 两点；
（3） 分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 长为
2
半径作弧，两弧交于 M，N 两点；
（4） 作直线 MN.
P
1
则 MN 就是所求作的⊙O 的切线．
O A
M
P
B
N

请回答：该尺规作图的依据是 ．

【例 67】阅读下面材料：
在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．
已知：直线和直线外的一点 P ．
求作：过点 P 且与直线l 垂直的直线 PQ ，垂足为点Q P
某同学的作图步骤如下：
步骤
作法
推断
第一步
以点 P 为圆心，适当长度为半径作
弧，交直线l 于 A ， B 两点．
PA = PB
第二步
连接 PA ，PB ，作ÐAPB 的平分线，
交直线 l 于点 Q ．
ÐAPQ = Ð
直线 PQ 即为所求作．
PQ ^ l

请你根据该同学的作图方法完成以下推理:
∵ PA = PB ， ÐAPQ = Ð ，
∴ PQ ^ l ．（依据： ）．

【例 68】已知正方形 ABCD.
求作：正方形 ABCD 的外接圆. 作法：如图，
（1）分别连接 AC，BD，交于点 O ;
(2) 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆 O.
圆O 即为所求作的圆. 请回答：该作图的依据是
.

【例 69】下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线 a 和直线外一点 P.

求作：直线 a 的垂线，使它经过 P.

作法：如图，

（1） 在直线 a 上取一点 A, 连接 PA；

（2） 分别以点 A 和点 P 为圆心，大于 AP 的长为半径作弧， 两弧相交于 B，C 两点，连接 BC 交 PA 于点 D；
（3） 以点 D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点 E，作直线 PE.
所以直线 PE 就是所求作的垂线.

请回答：该尺规作图的依据是 ．

已知：∠A.
求作：一个角，使它等于∠A. A
作法：如图，
B
（1） 以点 A 为圆心，任意长为半径作⊙A，
交∠A 的两边于 B，C 两点；
（2） 以点 C 为圆心，BC 长为半径作弧， 与⊙A 交于点 D，作射线 AD．
所以∠CAD 就是所求作的角．
A
C
D
【例 70】下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．

请回答：该尺规作图的依据是 ．

模块三 圆的证明压轴题

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【例 71】如图，⊙ O 的半径为 r ， △ABC 内接于⊙ O ， ÐBAC = 15° ， ÐACB = 30° ， D 为CB 延长线上一点， AD 与⊙ O 相切，切点为 A ．
（1） 求点 B 到半径OC 的距离（用含r 的式子表示）．
（2） 作 DH ^ OC 于点 H ，求ÐADH 的度数及 CB 的值．
CD

O
A

D B C

【例 72】如图， AB 是⊙ O 的直径， BE 是弦，点 D 是弦 BE 上一点，连接OD 并延长交⊙ O 于点C ，连接 BC ，过点 D 作 FD ⊥ OC 交⊙ O 的切线 EF 于点 F ．
1
（1） 求证： ÐCBE = ÐF ；
3
2

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（2） 若⊙ O 的半径是2