资源描述
【课题】 6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23及1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数及该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
火车1
中国
比利时
飞机1
飞机2
火车2
火车3
货船1
货船2
6．1 数列的概念．
*创设情境 兴趣导入
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
． (2 )
当n从小到大依次取正整数时，的值排成一列数为
-1，1，-1，1，…． (3 )
取无理数的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个数，排成一列数为
3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…． (4)
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
了解
观看
课件
思考
自我
分析
从实例出发使学生自然的走向知识点
0
5
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．
只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列．
【小提示】
数列的“项”及这一项的“项数”是两个不同的概念．如数列（2）中，第3项为，这一项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次及正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作
．
简记作{}．其中，下角码中的数为项数，表示第1项，表示第2项，…．当由小至大依次取正整数值时，依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第n项叫做数列{}的通项或一般项．
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
*运用知识 强化练习
1.说出生活中的一个数列实例．
2.数列“1，2，3，4，5”及数列“5 ，4， 3，2，1 ”是否为同一个数列？
3.设数列为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中、各是什么数？
提问
巡视
指导
思考
口答
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
15
*创设情境 兴趣导入
【观察】
6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数．
，，，…，
可以看到，每一项及这项的项数恰好相同．这个规律可以用
表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如，．
6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数幂．
，，，…，
可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项数．这个规律可以用
表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如，．
质疑
引导
分析
思考
参及
分析
引导启发学生思考
25
*动脑思考 探索新知
【新知识】
一个数列的第n项，如果能够用关于项数
的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
数列（1）的通项公式为，可以将数列（1）记为数列{n}；数列（2）的通项公式为，可以将数列（2）记为数列.
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
35
*巩固知识 典型例题
例1 设数列{}的通项公式为
，
写出数列的前5项．
分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果．
解 ；；；；．
例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…； (2)…； （3）−1，1，−1，1，…．
分析 分别观察分析各项及其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系．
解 （1）数列的前4项及其项数的关系如下表：
项数n
1
2
3
4
项
5
10
15
20
关系
由此得到，该数列的一个通项公式为
．
（2）数列前4项及其项数的关系如下表：
序号
1
2
3
4
项
关系
由此得到，该数列的一个通项公式为
．
（3）数列前4项及其项数的关系如下表：
序号
1
2
3
4
项
−1
1
−1
1
关系
由此得到，该数列的一个通项公式为
．
【注意】
由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的．例如，及都是例2（3）中数列“−1，1，−1，1，…．”的通项公式．
【知识巩固】
例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指出是第几项.
分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，并且.
解 数列的通项公式为.
将16代入数列的通项公式有
，
解得
．
所以，16是数列中的第5项．
将45代入数列的通项公式有
，
解得
，
所以，45不是数列中的项．
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
含义
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过例题进一步领会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
50
*运用知识 强化练习
1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：
（1）； （2）．
2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：
（1）−1，1，3，5，…； (2) , , , ，…； (3) ,,,，….
3. 判断12和56是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项．
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
65
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
数列、项、项数分别是如何定义的？
结论：
按照一定的次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做各项的项数．
质疑
归纳强调
回答
及时了解学生知识掌握情况
75
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
判断22是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项．
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
85
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；6．1 B组（选做）
(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例
说明
记录
分层次要求
90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参及有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于及人合作；
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面．
【课题】 6．2 等差数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义；
（2）理解等差数列通项公式．
能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
6．2 等差数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：
5，10，15，20，…． （1）
将正奇数从小到大列出，组成数列：
1，3，5，7，9，…． （2）
观察数列中相邻两项之间的关系，
发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项及它前一项的差都是5；数列（2）中的每一项及它前一项的差都是2．这两个数列的一个共同特点就是从第2项开始，数列中的每一项及它前一项的差都等于相同的常数．
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
了解
观看
课件
思考
自我
分析
从实例出发使学生自然的走向知识点
引导
式启
发学
生得
出结
果
0
5
*动脑思考 探索新知
如果一个数列从第2项开始，每一项及它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示．
由定义知，若数列为等差数列，为公差，则,即
（6.1）
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
10
*巩固知识 典型例题
例１ 已知等差数列的首项为12，公差为−5，试写出这个数列的第2项到第5项．
解 由于，因此
；
；
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过例题进一步领会等差数列通项公式
45
*运用知识 强化练习
1. 已知为等差数列，，公差，试写出这个数列的第8项．
2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
25
*创设情境 兴趣导入
你能很快地写出例1中数列的第101项吗?
显然，依照公式（6.1）写出数列的第101项,是比较麻烦的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的第101项．
质疑
引导
分析
思考
参及
分析
从实
际事
例使
学生
自然
的走
向知
识点
30
*动脑思考 探索新知
设等差数列 的公差为d ，则
．．．．．．
依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
(6.2)
知道了等差数列中的和，利用公式（6.2），可以直接计算出数列的任意一项.
在例１的等差数列中，，，所以数列的通项公式为
，
数列的第101项为
．
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量：、、和，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
问题
得到
等差数列通项公式
引导启发学生思考求解
35
*巩固知识 典型例题
例2 求等差数列
．．．
的第50项.
解 由于所以通项公式为
即
故
例3 在等差数列中,公差求首项
解 由于公差故设等差数列的通项公式为
由于，故
，
解得
【小提示】
本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：，．
例4 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
分析 知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为,,,这样可以方便地求出,从而解决问题.
解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为,,,其中为公差
则
解得
从而
答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁.
【注意】
将构成等差数列的三个数设为,,,是经常使用的方法.
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
含义
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
通过例题进一步领会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
45
50
*运用知识 强化练习
练习6.2.2
1.求等差数列,1, ,…的通项公式及第15项．
2.在等差数列中，，，求及公差.
3.在等差数列中，，，判断－48是否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
60
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等差数列的通项公式是什么？
结论：
等差数列的通项公式
质疑
归纳强调
小组
讨论
回答
理解
强化
及时了解学生知识掌握情况
以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点
70
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
写出等差数列
，，1，，…
的通项公式，并求出数列的第11项．
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
培养学生总结反思学习过程的能力
80
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选做）
(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例
说明
记录
分层次要求
90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参及有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于及人合作；
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】 6．3 等比数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等比数列的定义；
（2）理解等比数列通项公式．
能力目标：
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．
等比数列及等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:(常数).
例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.及等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：，,, , 只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.
从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于很容易将求出.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
6．3 等比数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比上一年增加10%，那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：
不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的1.1倍，即从第2项开始，每一项及它的前一项的比都等于1.1．
介绍
播放
课件
质疑
引导
分析
了解
观看
课件
思考
自我
分析
从实例出发使学生自然的走向知识点
0
5
*动脑思考 探索新知
【新知识】
如果一个数列从第2项开始，每一项及它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知，若为等比数列，q为公比，则及q均不为零，且有，即
．
(6.5)
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
理解
记忆
带领
学生
分析
引导
式启
发学
生得
出结
果
10
*巩固知识 典型例题
例１ 在等比数列中，，，求、、、．
解
【试一试】
你能很快地写出这个数列的第９项吗？
说明
强调
引领
讲解
说明
观察
思考
主动
求解
通过例题进一步领会
15
*运用知识 强化练习
练习6.3.1
1．在等比数列中，， ，试写出、．
2．写出等比数列……的第５项及第6项．
提问
巡视
指导
动手
求解
及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况
25
*创设情境 兴趣导入
如何写出一个等比数列的通项公式呢？
质疑
引导
分析
思考
参及
分析
学生
自然
的走
向知
识点
30
*动脑思考 探索新知
及等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律．
设等比数列的公比为q，则
……
【说明】
依此类推，得到等比数列的通项公式： （6.6）
知道了等比数列中的和，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项.
【想一想】
等比数列的通项公式中,共有四个量：、、和，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？
总结
归纳
仔细
分析
讲解
关键
词语
思考
归纳
理解
记忆
带领
学生
总结
问题
得到
等差数列通项公式
引导启发学生思考求解
35
*巩固知识 典型例题
例2求等比数列
的第10项．
解 由于 ，，
故，数列的通项公式为
，
所以
．
例3 在等比数列中，，，求．
解 由有
， （1）
， （2）
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
,
由此得
．
将代人（1），得
,
所以，数列的通项公式为
．
故
．
【注意】
本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．
【想一想】
在等比数列中，， ．求时，你有没有比较简单的方法？
【知识巩固】
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？
分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为,这样可以方便地求出,从而解决问题.
解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为．则
解得
或
当时
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.
当时
此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.
由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼．
【注意】
将构成等比数列的三个数设为，是经常使用的方法．
说明
强调
引领
讲解
说明
引领
分析
强调
含义
说明
引领
分析
强调
含义
说明
观察
思考
主动
求解
观察
思考
求解
领会
思考
求解
观察
思考
求解
领会
思考
通过例题进一步领会
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调
45
50
*运用知识 强化练习
1.求等比数列.的通项公式及第7项．
2.在等比数列中，,, 判断是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项.
启发
引导
提问
巡视
指导
思考
了解
动手
求解
可以
交给
学生
自我
发现
归纳
60
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等比数列的通项公式是什么
结论：
质疑
归纳强调
回答
理解
强化
及时了解学生知识掌握情况
70
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？
已知等比数列中,,求．
解答1 由已知条件得
解方程组得 ，
因此
．
解答2 由得．所以
．
提问
巡视
指导
反思
动手
求解
检验
学生
学习
效果
培养学生总结反思学习过程的能力
80
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做）
(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题
说明
记录
分层次要求
90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识；
是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生的情感态度
学生是否参及有关活动；
在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生思维情况
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况
学生是否善于及人合作；
在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
能力目标：
通过这些内容的学习，培养学生的运算技能及熟悉思维能力．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．
向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则及平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.
实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向及向量a相同，其模为的倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”及“ ”等条件.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
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