解三角形知识点总结.doc

必修5第一章解三角形 章末总结
一、正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即
=k
〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数k，即， ，；
〔2〕等价于 ，，．
变形：, ,
〔3〕正弦定理的根本作用为：
①三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如；
〔4〕一般地，三角形的某些边与角，求其它的边与角的过程叫作解三角形．
二、余弦定理
2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的与减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：
从余弦定理，又可得到以下推论：
在△ABC中，由得：
假设，那么cosC=0, 角是直角；
假设，那么cos<0, 角C是钝角；
假设，那么cos>0, 角C是锐角．
3.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，
勾股定理是余弦定理的特例.
4．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
①三边，求三个角；(有解时只有一解)
②两边与它们的夹角，求第三边与其他两个角.(有解时只有一解)
三、三角形常用的面积公式
四、 三角形中的常见结论
1、 在同一个三角形中大边对大角反之亦然.
2、 任意两边之与大于第三边，任意两边之差小于第三边.
3、 三角形内的诱导公式
4、 在
4、总结提升：
〔1〕. 三角形两边及其夹角〔用余弦定理解决〕；
〔2〕. 三角形三边问题〔用余弦定理解决〕；
〔3〕. 三角形两角与一边问题〔用正弦定理解决〕；
〔4〕. 三角形两边与其中一边的对角问题〔既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解与无解三种情况〕．
三角函数公式
公式一：
设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：
sin〔2kπ＋α〕= sinα cos〔2kπ＋α〕= cosα tan〔2kπ＋α〕= tanα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin〔π＋α〕= -sinα cos〔π＋α〕= -cosα tan〔π＋α〕= tanα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin〔-α〕= -sinα cos〔-α〕= cosα tan〔-α〕= -tanα
公式四：
利用公式二与公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin〔π-α〕= sinα cos〔π-α〕= -cosα tan〔π-α〕= -tanα
公式五：
利用公式-与公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin〔2π-α〕= -sinα cos〔2π-α〕= cosα tan〔2π-α〕= -tanα
公式六：
±α及±α与α的三角函数值之间的关系：
sin〔+α〕= cosα sin〔-α〕= cosα
cos〔+α〕= -sinα cos〔-α〕= sinα
sin〔+α〕= -cosα sin〔-α〕= -cosα
cos〔+α〕= sinα cos〔-α〕= -sinα(以上k∈Z)
同角三角函数的根本关系sin2a+cos2a=1 tanA =
两角与差公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = tan(A-B) =
倍角公式
Sin2A=2SinA•CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1 =1-2sin2A
tan2A =
半角公式
sin()= cos()=
tan()= tan()==
积化与差
sinαsin= -[cos(α+)-cos(α-)] sinαcos = [sin(α+)+sin(α-)]
cosαcos = [cos(α+)+cos(α-)] cosαsin = [sin(α+)-sin(α-)]
特殊角的三角函数值
角〔度〕

9

600
角(弧度)
0

sina
0

1

0
-1
0
cosa
1

0

-1
0
1
tana
0

1

不存在

-1

0
不存在
0
三角函数值在各象限的符号
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
+
-
sina
cosa
tana

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