高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习题型.doc

第十二讲 随机变量及其分布列
课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀
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本章主要内容：
1.离散型随机变量的定义；
2.期望与方差；
3.二项分布与超几何分布.
本章教学目标：
1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)
2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
第一节 离散型随机变量及其分布列
“超几何分布”一词来源于超几何数列，就像“几何分布”来源于几何数列。
几何数列又叫等比数列，“几何分布”、'几何数列"名称的来源前面的文章已经解释过，请看一些带"几何"的数学名词来源解释。几何分布（Geometric distribution）是离散型机率分布。其中一种定义为：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率。

课外拓展

【知识与方法】
一．离散型随机变量的定义
1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
①随机变量是一种对应关系；
②实验结果必须与数字对应；
③数字会随着实验结果的变化而变化.
2.表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .
4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量
5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，，
表示正面向上，，表示反面向上
（2）若是随机变量，是常数，则也是随机变量
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出
二．离散型随机变量的分布列
1.一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn, X取每一个值xi(i=1,2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则称表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
用等式可表示为P(X=xi)=pi，i=1,2，…，n, 也可以用图象来表示X的分布列．
2.离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i=1,2，…，n；②．
分布列的优缺点：[优点]离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值， 而且也能看出取每一个值的概率的大小， 从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况．
[缺点]（1）分布列不能表示X的平均水平；(2)分布列不能表示X的波动程度．
三．两个特殊分布
1.两点分布
X
0
1
P
1-p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=1)为成功概率．
注意：随机变量X只有发生和不发生两种情况才叫两点分布，且X的取值只能是0和1.

2.超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=，k=0,1,2，…，m，其中m=min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P

…

如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
【例题与变式】
题型一 随机变量
【例1】判断正误：
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　)
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　)
(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．(　　)
【例2】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；
(2)2016年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．

【变式1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；
(2)标准大气压下，水沸腾的温度；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．

【例3】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.

【变式2】下列变量中属于离散型随机变量的有________．(填序号)
(1)在2 017张已编号的卡片(从1号到2 017号)中任取1张，被取出的编号数为X；
(2)连续不断射击，首次命中目标需要的射击次数X；
(3)在广州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从广州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；
(4)投掷一枚骰子，六面都刻有数字8，所得的点数X.

题型二 随机变量的可能取值及试验结果
【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，则X的所有可能取值有哪些？

【例2】（2017春•清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．设随机变量ξ=|b-c|，求随机变量ξ的取值情况．

【变式】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，列出所得分数X的所有可能.

题型三 分布列及其性质的应用
【例1】设随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4)，求：
(1)P(X=1或X=2)；
(2).

【例2】（2017春•文昌月考）设随机变量X的分布列为则等于（　　）
A．B．C．D．
【例3】已知数列是等差数列，随机变量的分布列如下表：
X

求.

【变式1】若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1

求常数a．

【变式2】（2017春•秦都区月考）设随机变量X的分布列为，则a的值为（　　）
A．B．C．D．
【变式3】（2017春•武陵区月考）若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1

则实数a的值为_______．
【例4】设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X+1的分布列；
(2)|X-1|的分布列.

【变式4】(2017·南宁二模)设随机变量X的概率分布列如下表，则P(|X-2|=1)=（　　）
X
1
2
3
4

m

A.B.C.D.
题型四 求离散型随机变量的分布列
【例1】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．

【例2】（2017春•清河区月考）设b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．
(1)设，求的概率；
(2设随机变量ξ=|b-c|，求ξ的分布列．

【例3】(2016·天津卷节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列.

【变式1】将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．

【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.

题型五 两点分布
【例1】(1)利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？

(2)只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？

【例2】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列.

【变式】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ=0)等于（　　）
A．0 B．C．D．
题型六 超几何分布
【例1】在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客乙从10张奖券中任意抽取2张.
(1)求顾客乙中奖的概率；
(2)设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．

【例2】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布；
(2)他能及格的概率.

【例3】（2017春•大武口区期中）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球的1分，现在从袋中随机摸出4个球，求：
(1)列出所得分数X的分布列；
(2)得分大于6分的概率．

【变式1】(2017·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列.

【变式2】(2017·昆明调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.
从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(微克/立方米)
[25，35]
(35，45]
(45，55]
(55，65]
(65，75]
(75，85]
频数
3
1
1
1
1
3
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求X的分布列.

1.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
-1
0
1
P

2-3q
q2
则q的值为(　　)
A.1B.±C.－D.＋
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X=0)等于(　　)
A.0B.C.D.
3.中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A.ξ=4B.ξ=5C.ξ=6D.ξ≤5
4.从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A.B.C.D.

5.随机变量X的分布列如下：
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)等于(　　)
A.B.C.D.
6.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
M
若随机变量Y=|X-2|，则P(Y=2)=________.
7.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)=________.
8.(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：

由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.
(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X，求随机变量X的分布列.

9.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.
(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.

1.实际完成情况：
□按计划完成；
□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；
□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.
2.授课及学员问题总结：

第二节 二项分布及其应用
超几何分布和二项分布的区别：
1.超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要;
2.超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）;
3. 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

课外拓展

【知识与方法】
一．条件概率
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)；
(2)，当事件与事件对立时，当事件与事件相等时；
(3)如果B与C是两个互斥事件，则；
(4)；
(5)要注意与的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键.在中，事件A成为样本空间，在中，样本空间则为全体情况.
二．相互独立实验
1．相互独立事件的定义和性质
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．
(2)如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
(3)如果A与B相互独立，那么P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)．
2．相互独立事件与互斥事件的区别
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，二者不能混淆．
3．n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
4．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
三．二项分布
1．n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X=k)=Cpk(1－p)n－k，k=0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
【例题与变式】
题型一 条件概率
【例1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)=0.(　　)
(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)=1.(　　)
(3)P(B|A)与P(A|B)相同．(　　)
【例2】设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
【变式1】设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)=，P(A)=，则P(B|A)=________.
【变式2】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．

【例3】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．

【例5】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．

【变式3】在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第一次抽取到理科题的概率；
(2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
(3)在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.

【变式4】从1,2,3,4,5,6中任取2个不同的数，事件A=“取到的两个数之和为偶数”，事件B=“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)=(　　)
A.B.C.D.
【变式5】将一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是合数”为事件A，“第二次抛出的是质数”为事件B，则_______.
【变式6】(2016·唐山二模)已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为(　　)
A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9
【变式7】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

题型二 相互独立事件
【例1】袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)
A．互斥事件　　　　　　　 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件

【例2】判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．

【变式1】下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，B=“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”
【变式2】甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥　 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
题型三 相互独立事件发生的概率
【例】面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率.

【变式】一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．

题型四 二项分布
【例1】1.任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(　　)
A.B.C.D.
2.独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④每次试验发生的事件是互斥的．
3.已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X=2)等于________.
4.姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．
【例2】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．

【例3】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．

【例4】甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

【变式1】某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．

【变式2】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．

【变式3】某架飞机载有5位空降兵依次空降到A，B，C三个地点，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用X表示地点C空降人数，求：
(1)地点A空降1人，地点B，C各空降2人的概率；
(2)随机变量X的分布列.

1.已知X～B，则P(X=2)等于(　　)
A.B.C.D.
2.某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)=(　　)
A． B．
C.D.
3.已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
5.一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．

1.实际完成情况：
□按计划完成；
□超额完成，原因分析________________________________________________________________________；
□未完成计划内容，原因分析__________________________________________________________________.
2.授课及学员问题总结：

第三节 离散型随机变量的期望与方差
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

课外拓展

【知识与方法】
一．离散型随机变量的均值
1.定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)=x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
2.意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
3.性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y=aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y=axi＋b)=P(X=xi)，i=1,2,3，…，n.E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b.
二．离散型随机变量的方差
1.定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i=1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2.意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
3.性质：设a，b为常数，则D(aX＋b)=a2D(X)．
三．常见的两种分布的均值与方差
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)=p，D(X)=p(1－p)；
(2)二项分布E(X)=np，D(X)=np(1－p).
【例题与变式】
题型一 离散型随机变量的期望
【例1】1.下列说法正确的有________．(填序号)
①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；
②随机变量的均值反映样本的平均水平；
③若随机变量X的数学期望E(X)=2，则E(2X)=4；
④随机变量X的均值E(X)=.
2.已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P

则X的数学期望E(X)=________.
3.设E(X)=10，则E(3X＋5)=________.
【例2】某运动员投篮命中率为p=0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．

【例3】已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P

m

(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y=2X－3，求E(Y)．

【例4】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值.

【例5】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

【变式1】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
-1
0
1
P

m
若η=aξ＋3，E(η)=，则a=(　　)
A．1B．2C．3D．4

【变式2】盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．

【变式3】甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是，乙破译出密码的概率是，设破译出该密码的人数为X，求其数学期望．

题型二 离散型随机变量的方差
【例1】1.下列说法正确的有________(填序号)．
①离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；
②离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；
③离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平；
④离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．
2.已知随机变量ξ，D(ξ)=，则ξ的标准差为________．
3.已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
-1
0
1
P

则ξ的均值为________，方差为________．
【例2】1.若随机变量X服从两点分布，且成功概率P=0.5，则D(X)=________，E(X)=________.
2.一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________.
3.已知随机变量X，D(10X)=，则X的标准差为________．
【例3】为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)=3，D(X)=，求n，p的值．

【例4】编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．

【例5】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

【变式1】已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)=7，D(X)=6，则p等于(　　)
A.B.C.D.

【变式2】已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P

①求方差及标准差；
②设Y=2η－E(η)，求D(Y)．

【变式3】有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ).

【变式4】有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
乙：
分数Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的成绩水平．

1.某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p)B．npC．nD．p(1－p)
2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1,2,3,4，则E(X)的值为(　　)
A．2.5B．3.5C．0.25D．2
3.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)=8.9，则y的值为________．
4.已知X～B，则E(2X＋3)=________.
5.已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7B．0.61C．-0.3D．0
6.已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)=30，D(X)=20，则p=________.
7.袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．

8.已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

若E(X)=0，D(X)=1，求a，b的值.

1.实际完成情况：
□按计划完成；
□超额完成，原因分析__________