高中数学必修五求数列通项公式附经典例题和详细答案.doc

数列专项-3
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列;
（2）若时，数列{}为等比数列;
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：
法一：设,展开移项整理得,和题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
例10.在数列中，，且，求数列的通项公式。
例11.在数列中，，且，求数列的通项公式。

㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
例12.在数列中，，且，求数列的通项公式。

⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
例13.在数列中，，且，求数列的通项公式。

⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得.
例14.在数列中，，且，求数列的通项公式。

类型Ⅵ对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。
例15.已知数列满足，，求数列的通项公式。
例16.已知数列满足，，求数列的通项公式。

类型Ⅶ倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.
例17.已知数列满足，，求数列的通项公式。
例18.已知数列满足，，求数列的通项公式。

类型Ⅷ 形如型的递推式：
法一：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。
法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程
（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：，其中c1和c2由已知的a1、a2确定。
（ii）当方程有唯一的实根p时，有其中c1和c2由已知的a1、a2确定。
例19.已知，求的通项公式。
例20.已知，求的通项公式。

类型IX不动点法
为了求出递推数列的通项，我们先给出如下两个定义：
定义1：若数列{}满足，则称为数列{}的特征函数.
定义2:方程=x称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点.
下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法.
(1)当c=0,时,
由,
记,，则有（k≠0）,
∴数列{}的特征函数为=kx+c,
由kx+c=xx=,则
∴数列是公比为k的等比数列,
∴.
(2)当c≠0时,
数列{}的特征函数为：=
由
设方程的两根为x1,x2,则有:
,
∴……(1)
……(2)
又设(其中,n∈N*,k为待定常数).
由
……(3)
将(1)、（2）式代入(3)式得:

∴数列{}是公比为(易证)的等比数列.
∴=
.
例21. 已知数列{an}中，a1=3，，求{an}的通项。
例22.已知数列{an}中，a1=2，，求{an}的通项。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式

答案详解
例10.
例11.
例12.
例13.
例14.
例15.
例16.

例17.
例18.
例19.
例20.
例21.
例22.

数列专项3-巩固习题
一、选择填空
1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
2.（2010安徽）(5)设数列的前n项和，则的值为
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
3. (2011年高考四川)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）11
4.(2011年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差，，则 A）8 （B）7 （C）6 （D）5
5.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，
A. B. C. D.
6.（2009陕西卷）设等差数列的前n项和为,若,则
7. (2011广东卷)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则
8. 则其通项为
9（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______
10.重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式=

二、解答题

11．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

12已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。
13 已知数列满足，求数列的通项公式。

14 已知数列满足，求数列的通项公式。
15已知数列满足，求数列的通项公式。
16知数列满足，求数列的通项公式。
17已知数列满足，求数列的通项公式。
18已知数列满足，求数列的通项公式。

答案详解
1.【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵，∴
2.【答案】 A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
3.答案：B
解析：由已知知由叠加法.
4【答案】D
【解析】
故选D。
5【解析】由得，，则，，选C.
6解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
7【答案】10
【解析】由题得
8解：取倒数：
是等差数列，
9解析由+-=0得到。
答案10
10解析 由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则
11解：设数列公差为
∵成等比数列，∴，
即
∵， ∴………………………………①
∵∴…………②
由①②得：，
∴
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项和公差（公比）后再写出通项。
12解：由
当时，有

……，

经验证也满足上式，所以
13解：由得则
所以
14解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
15解：设④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故
16 解：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
17 解：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
18解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

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