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含绝对值的不等式考试试题及答案
例5-3-13 解以下不等式:
(1)|2-3x|-1<2
(2)|3x+5|+1>6
解 (1)原不等式同解于
(2)原不等式可化为
|3x+5|>5 3x+5>5或3x+5<-5
注 解含绝对值的不等式,关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。
解5-3-14 解不等式4<|x2-5x|≤6。
解 原不等式同解于不等式组
不等式(i)同解于
x2-5x<-4或x2-5x>4
不等式(ii)同解于
-6≤x2-5x≤6
取不等式(i),(ii)的解的交集,即得原不等式的解集
其解集可用数轴标根法表示如下:
注 本例的难点是正确区别解集的交、并关系。“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。
例5-3-15 解不等式|x+2|-|x-1|≥0。
解 原不等式同解于
|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2
注 解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式,适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。但对其他含多项绝对值的情形,采用此法一般较繁,不可取。
例5-3-16 解以下不等式:
解 (1)原不等式同解于不等式组
左边不等式同解于
右边不等式同解于
取(i),(ii)的交集,得原不等式的解集为{x|1<x<2}
(2)原不等式同解于
取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集,得原不等式的解集为
例5-3-17 解不等式||x+1|-|x-1||<x+2。
分析 要使不等式有解,必须x+2>0即x>-2。又|x+1|,|x-1|的零点分别为-1,1,故可在区间(-2,-1),[-1,1],[1,+∞)内分别求解。
解 原不等式同解于
注 解含多个绝对值项的不等式,常采用分段脱号法。其步骤是:找出零点,确定分段区间;分段求解,确定各段解集;综合取并,确定所求解集。
例5-3-18 a>0,b>0,解不等式|ax-b|<x。
解 显然x>0,故原不等式同解于
注 含绝对值的不等式中,假设含有参数,那么先去掉绝对值符号并化简,再根据具体情况对参数进展分类讨论。
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