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测试技术基础部分题目答案
第二章
2-21．求正弦信号的单边、双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时后，其各频谱如何变化？
解： (1)由于，符合三角函数展开形式，则
在处：，所以，单边频谱图为图1的（a）。
对进行复指数展开：由于
所以，在处：，，，，
在处：，，，，
所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图
图1 正弦信号x(t)的频谱
（2）当延迟后，变为，由于
，符合三角函数展开形式，则
在处：，所以，单边频谱图为图2的（a）。
对进行复指数展开，
由于
所以，在处：，，，，
在处：，，，，
所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图
图2正弦信号x(t)延迟后的频谱
2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为

求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。
解：均值=0；该方波各谐波的频率分别为、、…；对应的幅值分别为、、…，即，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

图3 方波的单边幅频谱
2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将看成矩形窗函数和、脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23
解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数和δ(2)、δ(2)的卷积：

即，
而，根据时移特性：；
则的频谱函数为：

2-24．一时间函数及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数
设[为中最高频率分量的角频率]，试出和的双边幅频谱的示意图形，当时，的图形会出现什么样的情况？

(a) 的时域波形 (b) 的频谱
图2.56 的时域波形及其频谱
解：令，则，即为和的乘积，所以其图形如图4(a)所示。
若，，则
由于，其双边幅频图如图4(b)所示。
根据，则

根据，和则

表示把的图形搬移到处，图形的最大幅值为；
表示把的图形搬移到处，图形的最大幅值为；
表示把的图形搬移到处，图形的最大幅值为；
表示把的图形搬移到处，图形的最大幅值为；
由于的频谱图用双边幅频图表示，所以的双边幅频图如图4(c)所示，当时，的双边幅频图如图4(d)所示。

(a) 的时域波形 (b) 的频谱

(c) 的频谱 (d) 时，的频谱
图4 习题2-23的示意图
2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为

求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。

图2.57 周期性三角波
解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：

其单边频谱图如图5所示。

(a) 幅频图 (b) 相频图
图5 周期性三角波的频谱
补充：画出、复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验证是否满足信号的时移定理。
解：
在处：，，，，
在处：，，，，

(a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频图
图6

在处：，，，，
在处：，，，，

(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频图
图7
，则
在处：相移：
在处：相移：
有图6和7比较可知，比在、处的相移为和，因此满足信号的时移定理。
第三章
3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 ，电荷放大器的灵敏度为0.05，若压力变化25，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？
解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：，其中S1=90 ，S2＝0.05 ，D25，D50，则
3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。

图4.24 习题3-20图
解：第一个框图为一阶系统，由于，而，所以其灵敏度为3;
第二个框图的灵敏度为7.3;
第三个框图为二阶系统，由于，所以其灵敏度为3.3；
系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。
3-21 由传递函数为和的两个环节，串联组成一个测试系统，问此系统的总灵敏度是多少？
解：显然，和和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则
3
100
而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.
3-22 用时间常数为2s的一阶装置测周期为2s、4s的正弦信号，试求周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的几倍？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s时，

正弦信号周期为4s时，

由于，，则周期为4s装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s装置的2和0.8936倍。
3-23用时间常数为2s的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s，最大幅值1000，最小幅值500，则该装置所指示的最大值为：
该装置所指示的最小值为：
3-24 设用时间常数为0.2s的一阶装置测量正弦信号：x(t)40.440t (1)，试求其输出信号。
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x(t)为正弦信号x1(t)4t和x2(t)=0.440t的叠加。
对x1(t)：角频率ω1=4，幅值A1=1，初相位φ1=0；则

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.78*1=0.78
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ138.66º
其输出信号为：y1(t)=0.78(438.66º)
对x2(t)：角频率ω2=40，幅值A2=0.4；则

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.124*0.4=0.05
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ182.875º
其输出信号为：y2(t)=0.496(482.875º)
所以，x(t)为输入信号时，输出信号为：
y(t)= y1(t)+ y2(t)= 0.78(438.66º)+0.05(482.875º)
3-25 用一阶系统对100正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？
1．解：(1) 因为，故当时，即要求，所以。化简得，则
（2分）
(2) 当作50信号测试时，有（4分）

3-26 已知某线性装置，，现测得该系统稳态输出y(t)=10(3045°)，试求系统的输入信号x(t)。
解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：

则输入信号的幅值和相位分别为：
10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)45º+71.565º=26.5651º
则输入信号为：x(t)=31.6256(3026.5651º)
3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s，则2s后的温度计指示值是多少？
3-28 某测量装置的频率响应函数为，试问：1)该系统是什么系统? 2)若输入周期信号，试求其稳态响应y(t)。
答: 1)一阶系统，
2) 一阶系统:
当=10时，

当=100时，

所以，

3-29 用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s和5s，问幅值误差是多少？
解：由题意可知：τ=0.5s, δ1(2pf)|×100％=(1(2pf))×100％<2% 则,即f<0.0646
被测参数的周期是2s时，1/2=0.5, δ=(1(2pf))×100％=(1(2×p×0.5))×100％=46.3%
被测参数的周期是5s时，1/5=0.2, δ=(1(2pf))×100％=(1(2×p×0.2))×100％=15.3%
3-30 已知某测试系统传递函数，当输入信号分别为，时，试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x(t)为正弦信号x1(t)pt时，信号的角频率ω1=p，幅值A1=1，初相位φ1=0；则

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A1=0.537*1=0.537
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ157.52º；其输出信号为：y1(t)=0.537(p57.52º)
当输入信号为x2(t)= 4pt时，其角频率ω2=4p，幅值A2=1，初相位φ1=0；则

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A2=0.1572*1=0.1572
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ180.96º
其输出信号为：y2(t)=0.1572(4p80.96º)
可以看出，对于信号，其幅值由1变为0.537,相位由0 º变为-57.52º；对于信号，其幅值由1变为0.1572,相位由0 º变为-80.96º；信号的幅值和相位变化大于信号的幅值和相位的变化。
3-31 对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s。设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。
答: 由于静态增益为3，则
则
从而，
于是，
当时，

3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800 ，阻尼比为0.14，问使用该传感器作频率为500和1000正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少?
答: 500时，

1000时，

第五章
5-21 已知直流电桥，R2=，R3=，R4=，若激励电压24V，试求输出电压，若R4可调，试求电桥平衡时的R4值。
答： (V)
R41*R32=9427.3Ω。
5-22选用电阻值，灵敏度2.5的电阻应变片和阻值的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V，当应变片应变为1000时，若要使输出电压大于10，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。
解：
而，，要使大于10，则要求K>0.4。当为半桥单臂时，1/4=0.25；当为半桥双臂时，1/2=0.5；当为全桥时，1。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。
半桥双臂接法时，
全桥法时，
图略。
5-23以阻值，灵敏度2的电阻应变片和阻值的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V，并假定负载电阻无穷大，当应变片上的应变分别为1和1000时，半桥单臂、半桥双臂及全桥的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。
解：1）应变为1με时，
半桥单臂时，输出电压：
半桥双臂时，输出电压：
全桥时，输出电压：
2）应变为1000με时，
半桥单臂时，输出电压：
半桥双臂时，输出电压：
全桥时，输出电压：
半桥单臂、半桥双臂和全桥时，电桥的灵敏度分别为42和，仅和输入电压有关。
5-24 设一滤波器的传递函数H(s)=，(1)试求上、下截止频率；(2)画出其幅频特性示意图。
解：滤波器传递函数符合低通滤波器的传递函数形式，因此，该滤波器为一低通滤波器。其中，0.0036。其下截止频率1=0，上截止频率为：
。
图略。
5-25如图5.38所示的周期性方波信号，让它通过一理想带通滤波器，该滤波器的增益为0，带宽30，中心频率f0＝20，试求滤波器输出波形的幅频谱及均值。
解: ，则，即滤波器的增益为1。
方波的周期为：，所以，
周期性方波信号的三角函数展开为：
带宽30，中心频率f0＝20，则 ，
解上述两式，则2=35，1=5。而对于的频率为，3对于的频率为：。因此，滤波器仅能使得y(t)的基波输出，而高于基波的谐波被全部衰减掉。故滤波器的输出为：

因此，输出波形的均值即为0