高中数学必修五求数列通项公式附经典例题和详细答案.doc

数列专项-3类型构造数列法：形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列为等差数列; （2）若时，数列为等比数列;（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种： 法一：设,展开移项整理得,和题设比较系数（待定系数法）得,即构成以为首项，以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型（累加法）便可求出例10.在数列中，且，求数列的通项公式。例11.在数列中，且，求数列的通项公式。形如型的递推式：当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型求出，再用类型（累加法）便可求出例12.在数列中，且，求数列的通项公式。当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：，两边同时乘以得，由两式相减得，即，在转化为类型便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型的方法解决。例13.在数列中，且，求数列的通项公式。当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型（累加法），求出之后得.例14.在数列中，且，求数列的通项公式。类型对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）。例15.已知数列满足，求数列的通项公式。例16.已知数列满足，求数列的通项公式。类型倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.例17.已知数列满足，求数列的通项公式。例18.已知数列满足，求数列的通项公式。类型 形如型的递推式：法一：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。法二：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：，其中c1和c2由已知的a1、a2确定。（ii）当方程有唯一的实根p时，有其中c1和c2由已知的a1、a2确定。 例19.已知，求的通项公式。例20.已知，求的通项公式。类型IX不动点法为了求出递推数列的通项，我们先给出如下两个定义：定义1：若数列满足，则称为数列的特征函数.定义2方程=x称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点.下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法.(1)当c=0,时,由,记,，则有（k0）,数列的特征函数为=kx+c,由kx+c=xx=,则数列是公比为k的等比数列,.(2)当c0时,数列的特征函数为：=由设方程的两根为x1,x2,则有:,(1)(2)又设(其中,nN*,k为待定常数).由(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:数列是公比为(易证)的等比数列.=.例21. 已知数列an中，a1=3，求an的通项。例22.已知数列an中，a1=2，求an的通项。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式答案详解例10.例11.例12.例13.例14.例15.例16.例17.例18.例19.例20.例21.例22.数列专项3-巩固习题一、选择填空1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列中，+=12，那么+=（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 352.（2010安徽）(5)设数列的前n项和，则的值为（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）643. (2011年高考四川)数列的首项为， 为等差数列且 .若则，则( ） A）0 （B）3 （C）8 （D）114.(2011年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差，则 A）8 （B）7 C）6 （D）55.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D. 6.（2009陕西卷）设等差数列的前n项和为,若,则7. (2011广东卷)等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则8. 则其通项为9（2009宁夏海南卷理）等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_10.重庆卷理）设，则数列的通项公式=二、解答题11等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，求数列的通项公式.12已知数列的前项和满足求数列的通项公式。13 已知数列满足，求数列的通项公式。14 已知数列满足，求数列的通项公式。15已知数列满足，求数列的通项公式。16知数列满足，求数列的通项公式。17已知数列满足，求数列的通项公式。18已知数列满足，求数列的通项公式。答案详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。，2.【答案】 A【解析】.【方法技巧】直接根据即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知由叠加法.4【答案】D【解析】故选D。5【解析】由得，则，选C.6解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得8解：取倒数：是等差数列，9解析由+-=0得到。答案1010解析 由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则11解：设数列公差为成等比数列，即， 由得：，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项和公差（公比）后再写出通项。12解：由当时，有，经验证也满足上式，所以13解：由得则所以14解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为15解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故16 解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。17 解：令，则故，代入得即因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。18解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。14 / 14