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有理数章节知识点归纳总结

一、基本运算和基本概念
本身之迷
① 倒数是它本身的数是±1
② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）
③平方等于它本身的数是0，1
④立方等于经本身的数是±1，0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1
⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0
⑦相反数是它本身的数是0
数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0
⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数
⑧没有最大的正数和最小的负数

例、填空：
①两个互为相反数的数的和是_____；
②____与它绝对值的差为0；
③ 两个互为相反数的数的商是___；(0除外)
④ ____的倒数等于它本身；
⑤____的绝对值与它本身互为相反数；
⑥ ____的平方与它的立方互为相反数；
⑦_ __的倒数与它的平方相等；
⑧____的平方是4，_____的绝对值是4；

1、（1）、 ，
（2）、，
（3）、， （4）、，
（5）、， （6）、，
（7）、， （8）、，
（9）、， （10）、，
（11）、， （12）、，
（13）、， （14）、，
（15）、，（16）、，
（17）、， （18）、，
（19）、，
（20）、。

（21）、=-------------- （22）、 =--------------

（23）、 =--------------（24）、 =--------------

（25）、 =-------------- （ 26）、 =--------------

（27）、=----------- （28）、 =------------

（ 29） ( )2＝16，

（ 30）
（ 31）
（ 32）
（ 33）
（ 34）
（ 35）
2、下面有四种说法，其中正确的是 （ ）
A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正
B.三数之积为正，则三数一定都是正数
C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数
D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等

3、下列判断错误的是 （ ）
（A）任何数的绝对值一定是正数；
（B）一个负数的绝对值一定是正数；
（C）一个正数的绝对值一定是正数；
（D）任何数的绝对值都不是负数；

4、下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ；

5、是最小的正整数，是最大的负整数的相反数，是到数轴上距原点的距离最小的数，求的值

6、下列各数对中，数值相等的是（ ）
A、+32与+23 B、—23与（—2）3
C、—32与（—3）2 D、3×22与（3×2）2
7、按照下面所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为___________
输入x
平方
乘以3
减去5
输出

8、已知依据上述规律，则 ．
9、定义，则______．

10、规定，求的值。

11、用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=b2+1。例如，74=42+1=17，求53的值及当m为有理数时，m（m2）的值。

12、现规定一种运算“*”，对于a、b两数有：,试计算的值。

13、用“”、“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a和ab=b，例如32=3，32=2。则（20062005）（20042003）=__________。

二、数的分类
1、 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12，-0.92， 0， 0.1008，-4.95
正数集合{ }；
负数集合{ }；
整数集合{ }；
正分数集合{ }；
负分数集合{ }；
2、 下列各数中：7，－9.25，，-301， ，31.25， ，-3.5，0，2，－7，1.25，－，－3，。
正整数是{ }
正分数是{ }
负整数是{ }
负分数是{ }
正数是{ }
负数是{ }
三、非负性
1、已知，求的值。

2、若,
求的值.

3、 如果，
求的值．

4、已知与互为相反数，求的值。

四、绝对值的化简
1、若|—X|=2，则X=______
若|X|=2，则X=______,
若|X—3|=0，则X=______，
若|X—3|=6，则X=______
2、为数轴上表示的点，将点沿数轴向左移动个单位长度到点，则点所表示的数为_____
3、与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______；
4、绝对值小于2011的所有整数之和是__ _
绝对值大于2而小于5的所有整数有____
他们和为 ，积为 ．

5、已知两个有理数a,b，如果ab＜0，且a+b＜0，那么（ ）
A、a＞0，b＞0
B、a＜0，b＞0
C、a,b异号
D、a,b异号，且负数的绝对值较大
6、若∣∣=3，则的值是( )
A.-3 B. 3 C. D.
7、如果与1互为相反数，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
8、如果，下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
9、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（ ）
A .6 B.7 C. 8 D.9
10、若x为有理数，则必是 （ ）
A、非正数 B、非负数
C、0 D、正数
11、下列各语句中正确的是（ ）
A、若a>-0.5，则a是正数 B、若<0，则
C、若，则 D、若，则
12、如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）
A、－1 B、0
C、1 D、－1，0，1
13、若，且

14、已知︱a︱=5,︱b︱=8,且︱a+b︱= -(a+b),试求a+b的值。

15、已知|a|=7，|b|=3，求a+b的值。

16、已知且a＞b＞c，求a＋b＋c的值。

17、若
则________。

18、若|a|=4,|b|=7，求（1）a+2b的值；
（2） 若ab＜0，求|a—b|；
（3） 若| a—b |= b—a，求a—2b的值；
（4） 若ab＞0，| a—b |= b—a，求a—2b+1的值

19、实数a、b、c在数轴上的位置如图：
化简|a－b|+|b－c|-|c－a|

五、实际问题的应用
1、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg
2、2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（　　 ）
A．伦敦时间2008年8月8日11时
B．巴黎时间2008年8月8日13时
C．纽约时间2008年8月8日5时
D．汉城时间2008年8月8日19时
北京
汉城
巴黎
伦敦
纽约

：日最高股价
：日最低股价
股价（元）
星期
9
8
二
四
一
三
五
8.5
9.5
10
10.5
11
11.5

3、如图是某只股票从星期一至星期五每天的最高股价与最低股价的折线统计图，则这五天中最高股价与最低股价之差最大的一天是（ ）
A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五．

4、小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？
（2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？
（3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？

5、某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、 3、 5、 +4、 8、 +6、 3、6、 4、 +10。
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？
（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？

6、冷库的室温为2℃，现存入一批食物冷冻，必须使室温保持在-22℃，若冷冻每小时使室温下降5℃，经过多少小时，就可以使冷库达到-22℃的冷冻室温？

7、已知某零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（单位：mm）记作正数，不足规定直径长度的数量（单位：mm）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下表：
序号
1
2
3
4
5
直径长度（mm）
+0.1
-0.15
+0.2
-0.05
+0.25
（1）试指出哪件样品的大小最符合要求；
（2）如果规定偏差的绝对值在0.18mm之内是正品，偏差的绝对值在0，18mm—0.22mm之间是次品，偏差绝对值查过0.22mm是废品，那么上述5件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？

8、红星队在4场足球赛中的成绩是：第一场3：1胜，第二场2：3负，第三场0：0平，第四场2：5负。红星队在4场比赛中总的净胜球数是多少？

9、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：
与标准质量的差值
（单位：g）
5
2
0
1
3
6
袋 数
1
4
3
4
5
3
这批样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？

10、10袋小麦以每袋150千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：-6，-3，-1，-2，+7，+3，+4，-3，-2，+1与标准重量相比较，10袋小麦总计超过或不足多少千克？10袋小麦总重量是多少千克？每袋小麦的平均重量是多少千克？

日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化
+1.6
+0.8
+0.4
－0.4
－0.8
+0.2
－1.2
11、十·一”黄金周期间,省城逍遥津公园风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数): (单位:万人)
(1) 若9月30日的游客人数记为1万,10月2日的游客人数是多少?
(2) 请判断7天内游客人数最多的是哪天?最少的是哪天?他们相差多少万人?
(3) 求这一次黄金周期间游客在该地总人数.

六、科学计数法
1、据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、为了响应中央号召，今年我市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234 760 000元，其中234 760 000元用科学记数法可表示为（　　）（保留三位有效数字）．
A．2.34×108元 B．2.35×108元 C．2.35×109 元 D．2.34×109元
3、光的传播速度约为300000 km/s，太阳光照射到地球上大约需要500s，则太阳到地球的距离用科学记数法可表示为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、据统计，2009年嘉兴市人均GDP约为4.49×104元，比上年增长7.7%，其中，近似数4.49×104有_______个有效数字．
5、温家宝总理有句名言：多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小．将1 300 000 000用科学记数法表示为 ．

七、近似数
1、用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（保留两个有效数字）
D．0.0502（精确到0.0001）
2、近似数1.23×105精确到________位,有_______个有效数字．
3、列各个数据中，哪些数是准确数?哪些是近似数?
(1)小琳称得体重为38千克；
(2)现在的气温是－2℃；
(3)1m等于100cm；
(4)东风汽车厂2000年生产汽车14500辆.

4、(1)近似数7. 9万精确到______，有______个有效数字，分别是______
(2)近似数5. 08 X 106 精确到_____，有______个有效数字，分别是______
(3)近似数0. 080 900精确到_______，有______个有效数字，分别是______

5、用四舍五入法，将下列各数按括号中的要求取近似数.
(1)0.6328 (精确到0.01)；
(2)7.9122 (精确到个位)；
(3)47155 (精确到百位)；
(4)130.06 (保留4个有效数字)；
(5)460215 (保留3个有效数字).

6、下列说法正确的是（ ）
A、近似数32与32.0的精确度相同
B、近似数32与32.0的有效数字相同
C、近似数5万与近似数5000的精确度相同
D、近似数有3个有效数字
八、字母运算中符号的确定
1、有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．小于 D．大于
2、如果ab<0，那么下列判断正确的是( )
A．a<0，b<0 B．a>0，b>0
C．a≥0，b≤0 D．a<0，b>0或a>0，b<0
3、已知，其中有三个负数，则（ ）
A．大于0 B．小于0
C．大于或等于0 D．小于或等于0
4、若，其a、b、c（ ）
A．都大于0 B．都小于0
C．至少有一个大于0 D．至少有一个小于0
5、如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数( )
(A) 都是负数 　 (B) 都是正数 　
(C) 一正一负，且负数的绝对值大
(D) 一正一负，且正数的绝对值大
6、两个不为零的有理数相除,如果交换被除数与除数的位置而商不变,这两个数一定是 ( )
(A) 相等 (B) 互为相反数
(C) 互为倒数 (D) 相等或互为相反数
7、下列结论错误的是（ ）
A、若异号，则＜0，＜0
B、若同号，则＞0，＞0
C、
D、
九、相反数、倒数、绝对值的应用
1、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5．试求下式的值：

2、若m，n互为相反数，则│m-1+n│=_________．

3、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m2=_______。

4、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x 绝对值为2，求的值

5、若正数的倒数等于其本身，负数的绝对值等于 3，且，，求代数式的值。

6、a与b互为相反数，b与c相乘的积是最大的负整数，d与e的和等于-2，则
的值是多少？

7、若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求的值。

十、四则混合运算
1、考查乘法分配律的应用
（1）

（2）

（3）

（4）

2、乘法交换律的应用
（1）

（2）（-5）-（-5）×÷×（-）

（3）

4、 运算顺序的应用
（1）

（2）-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2

（3）

（4）

（5）-4- [-5+（0.2×-1）÷（-1）]

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

十一、乘方运算的实际运用
1、有一张纸的厚度为0.1mm,若将它连续对折10次后,它的厚度为____ ___mm.
2、有一块面积是1平方米的木板，第一次截掉一半，第二次截掉剩下的一半，…如此截下去，截第五次后剩下的木板面积是多少？

3、l米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、细菌繁殖，细胞分裂，马峰窝，树干分叉，枝条上的树叶，种族繁衍，蝴蝶效应，折纸

十二、找数的规律
1、已知，且为互不相等的整数，则_____ __

2、按规律排列的数：1,2,4,8,16，……，则第2011个数是_______

3、探索规律：①，个位数字是3；②;个位数字是9；③ ,个位数字是7；④, 个位数字是1；⑤, 个位数字是3；⑥, 个位数字是9； 的个位数字是
2187；……；的个位数字是 。

4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则 ．
5、已知：若（a,b均为整数）则a+b=

6、观察下列等式，你会发现什么规律：，，，。。。请将你发现的规律用只含一个字母n（n为正整数）的等式表示出来 。
7、观察数表

根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数.

十三、比较大小

比较下列各对数的大小．
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与
（5）
（6）
（7）-（-1）＿＿＿-（+2）；＿＿＿； ＿＿＿； ＿＿＿-（-2）

十四、运算技巧的考查
;

如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0，试求+…+的值。

1＋2-3-4＋5+6-7-8+9＋10-11-12+…＋2005＋2006-2007-2008

已知1+2+3+…+31+32+33==17×33，求1-3+2-6+3-9+4-12+…+31-93+32-96+33-99的值。

例3、阅读下列材料

根据以上信息，求出下式的结果。

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