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八年级上数学专题训练一 《勾股定理》典型题练习 答案解析
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 
常用勾股数口诀记忆
常见勾股数
3，4，5 ： 勾三股四弦五　
　5，12，13 ： 我要爱一生
6，8，10： 连续的偶数　　
7，24，25 ： 企鹅是二百五　　
8，15，17 ： 八月十五在一起
特殊勾股数
连续的勾股数只有3，4，5　　
连续的偶数勾股数只有6，8，10
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个
半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

【类型题总结】
（a）如图（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示 S1、S2、S3则它们有S2+S3=S1关系．
（b）如图（2）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正方形，其面积表示 S1、S2、S3．则它们有
S2+S3=S1关系．
（c）如图（3）分别以直角三角形ABC三边向外作三个正三角形，面积表示S1、S2、S3，则它们有
S2+S3=S1关系．并选择其中一个命题证明．

考点：勾股定理．
专题：计算题．
分析：（a）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（b）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系；
（c）分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2=AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系．
解答：解：（1）S3=πAC2 ，S2=πBC2 S1=AB2
∴S2+S3=S1．
（2）S2+S3=S1…（4分）
由三个四边形都是正方形则：
∵S3=AC2，S2=BC2，S1=AB2，…（8分）
∵三角形ABC是直角三角形，
又∵AC2+BC2=AB2…（10分）
∴S2+S3=S1．
（3）S1=AB2 S2=BC2 S3=AC2
∴S2+S3=S1．
点评：此题主要涉及的知识点：三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般．

4、 四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
（S=36）

5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、（此题为2012•庆阳中考题）
=_______4______。
考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质．
专题：规律型．
分析：运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
解答：
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
点评：运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 cm ．
2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
5或13
分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①2是直角边，3是斜边；②2、3均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12那么根据勾股定理 斜边为13 然后根据等面积法
  ×5×12 =×13 × 高     高 =60/13

4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
解:设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c.则a2+b2=c2;
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍，故选A.
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（D）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.以上都有可能
8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（A　　）
A、24 B、36 C、48 D、60
【解析】本题考查的是勾股定理，完全平方公式，直角三角形的面积公式
要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．
∵a+b=14
∴（a+b）2=196
∴2ab=196-（a2+b2）=96
，
则Rt△ABC的面积是

9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ C． ）
A、5 B、25 C、7 D、15
【解析】
试题分析：本题可根据“两个非负数相加和为0，则这两个非负数的值均为0”解出x、y的值，然后运用勾股定理求出斜边的长．斜边长的平方即为正方形的面积．
依题意得：，
∴，
斜边长，
所以正方形的面积．
故选C．
考点：本题综合考查了勾股定理与非负数的性质
点评：解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题

1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17
2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（ D ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　C　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( C )
A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。
a²+b²+c²+200=12a+16b+20c 
（a-6）²+（b-8）²+(c-10)²-200+200=0 
（a-6）²+（b-8）²+(c-10)²=0 
则a-6=0、b-8=0、c-10=0,得a=6、b=8、c=10, 
a²+b²=c²,三角形是直角三角形。
8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。
考点：勾股定理的逆定理．
分析：根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12-5=7＜c＜5+12=17，又因为这个数与a+b的和又是3的倍数，则可求得此数，再根据直角三角形的判定方法判定三角形．
解答：解：∵12-5=7＜c＜5+12=17，c又为奇数，
∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15，
∵与a+b的和又是3的倍数，
∴a+b+c=30，
∴c=13
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形．
点评：本题考查了由三角形的三边关系确定第三边的能力，还考查直角三角形的判定．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．

9：求
（1） 若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 90 度。
考点：勾股定理的逆定理．
分析：根据三角形的三条边长，由勾股定理的逆定理判定此三角形为直角三角形，则可求得这个三角形的最大内角度数．
解答：解：∵三角形三条边的长分别为7，24，25，
∴72+242=252，
∴这个三角形为直角三角形，最大角为90°．
∴这个三角形的最大内角是90度．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为 30 。
 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 （ 2+2 ）米     ．

分析：如何利用所学知识，把折线问题转化成直线问题，是问题解决的关键。仔细观察图形，不难发现， 所有台阶的高度之和恰好是直角三角形ABC 的直角边 BC 的长度， 所有台阶的宽度之和恰好是直角三角形 ABC 的直角边 AC 的长度， 只需利用勾股定理， 求 得这两条线段的长即可。
考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）
A
B
C
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
设旗杆高度h
(h+1)²=5²+h²
h=12 旗杆高12米
2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 0.8 米

利用勾股定理计算原来墙高。
根号下（2.5²-0.7²）=2.4米
下移0.4,2.4-0.4=2米
根号下（2.5²-2²）=1.5米
1.5-0.7=0.8米。
梯足将向外移0.8米

3、 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 大于” 1米，
答:解:底端滑动大于1 (1分)，理由:
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，BC= (2分)
又∵AA′=1，
∴A′C=7，在Rt△A′CB′中，B′C=，(2分)
∴BB′=B′C-BC=-67-6=1，
∴底端滑动大于1m.(1分)
4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。
解：如图，设，由题意知

中，，解之得

答：这棵树高15m。
【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。 
60
120
140
B
60
A
C
第5题图7
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 100mm
AC=120-60=60 BC=140-60=80
AB=100mm
6、 如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 10 米．

从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．
在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8-2=6米．
根据勾股定理得BD=10米
7、 如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
  解析：
试题分析：要求AB的长，需要构造到直角三角形中．连接AB，作BC垂直于过A的水平线于C．在直角三角形ABC中，得AC=8-3+1=6，BC=5+2=7．再运用勾股定理计算即可．
过点B作BC⊥AC，垂足为C

观察图形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6，BC=2+5=7

答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是
考点：勾股定理的应用
点评：解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．注意所求距离实际上就是AB的长．

考点七：折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ） 讲完知识点梳理后作做问题延伸题（举一反三）：BE的长？求折痕DE的长？
A. B. C. D.

解：由题意得DB=AD；
设CD=xcm，则
AD=DB=（8-x）cm，
∵∠C=90°，
∴，
解得x=，即CD=cm．故选C．
知识点梳理1、翻折变换（折叠问题）2、等腰三角形的性质 3、勾股定理的性质
一、翻折变换（折叠问题）
1、 折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．
4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形
5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
二、 等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
9.等腰三角形中腰大于高。
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高。

2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

解：连接AM
∵MN是AB的垂直平分线，∴△AMN ≌ △BMN，∴MA = MB，∠B = ∠BAM
∵MB = 2MC，∴MA = 2MC，∴∠CAM = 30°，即∠CMA = 60°
∵∠CMA = ∠B + ∠BAM且∠B = ∠BAM，∴∠B = 30°，∴AB = 2AC = 16
3、 折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。
A
B
C
E
F
D

解：由翻折的性质可得：AD=AF=BC=10，
在Rt△ABF中可得：BF==6，
∴FC=BC-BF=4，
设CE=x，EF=DE=8-x，则在Rt△ECF中，
EF2=EC2+CF2，即x2+16=（8-x）2，
解可得x=3，
故CE=3cm．  
解析：
根据翻折的性质，先在RT△ABF中求出BF，进而得出FC的长，然后设CE=x，EF=8-x，从而在RT△CFE中应用勾股定理可解出x的值，即
举一反三：
1、 BF的长？2、△ECF的面积？3、求折痕AE的长．
知识点梳理1、翻折变换（折叠问题）2、矩形的性质 3、勾股定理的性质
矩形的性质定理：
1.矩形具有平行四边形的一切性质。
2.矩形的四个角都是直角。
3.矩形的对角线相等。
4.矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

分析：根据三角形的面积求得BF的长，再根据勾股定理求得AF的长，即为AD的长；设DE=x，则EC=5-x，EF=x．根据勾股定理列方程求得x的值，进而求得△AED的面积．
解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．
由S△ABF=BF•AB=30，AB=5，
得BF=12．
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
．
所以AD=13．
设DE=x，则EC=5-x，EF=x，FC=1，
在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，
即（5-x）2+12=x2．
解得．
故．
点评：此题主要是能够根据轴对称的性质得到相等的线段，能够熟练根据勾股定理列方程求得未知的线段．   

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？（举一反三：题干不变，求折痕EF的长？）

利用直角三角形ABE可求得BE，也就是DE长，构造EF为斜边的直角三角形，进而利用勾股定理求解．
解：连接BD交EF于点O，连接DF．

根据折叠，知BD垂直平分EF．
根据ASA可以证明△DOE≌△BOF，
得OD=OB．
则四边形BEDF是菱形．
设DE=x，则CF=9-x．
在直角三角形DCF中，根据勾股定理，得：x2=（9-x）2+9．
解得：x=5．
在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=3，则OB=．
在直角三角形BOF中，根据勾股定理，得OF==，则EF=．

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长（举一反三：试说明EF=DF．)

试题分析：（1）观察图形，可得AE=DC，又∵∠FEA=∠DFC，∠AEF=∠CDF，由全等三角形判定方法证△AEF≌△CDF，即得EF=DF，从而得到AF＝FC.（2）在Rt△CDF中应用勾股定理即可得.
试题解析：（1）证明：由矩形性质可知，AE=AB=DC，
根据对顶角相等得，∠EFA=∠DFC，
而∠E=∠D=90°，
∴由AAS可得，△AEF≌△CDF。∴AF＝FC.
（2）设FA=x，则FC=x，FD= ，
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即，解得x=.
考点: 1.翻折变换（折叠问题）;2.矩形的性质;3.全等三角形的判定与性质;4勾股定理.

7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．（原题图不标准重新画一个图）

解：设AD=x ，则AF=x

在Rt△ABF中，
解得

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
（举一反三：若AD=8，AB=4，求重叠部分即△BED的面积？=10)
S△BED=DE•AB，所以需求DE的长．根据∠C′BD=∠DBC=∠BDA得DE=BE，设DE=x，则AE=7-x．根据勾股定理求BE即DE的长．
解：∵AD∥BC（矩形的性质），
∴∠DBC=∠BDA（两直线平行，内错角相等）；
∵∠C′BD=∠DBC（反折的性质），
∴∠C′BD=∠BDA（等量代换），
∴DE=BE（等角对等边）；
设DE=x，则AE=7-x．在△ABE中，
x2=32+（7-x）2．
解得x=．
∴S△DBE=××3=
故答案是：．

9、 如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5
（举一反三：如果DM：MC=3：2，则DE：DM：EM=( ) =8：15：17．）
析：（1）正方形的证明题有时用计算方法证明比几何方法简单，此题设正方形边长为a，DE为x，则根据折叠知道DM=，EM=EA=a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，这样DE，DN，EM就都用a表示了，就可以求出它们的比值了；
解：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE2+DM2=EM2
x2+（）2=（a-x）2
x=
EM=
DE：DM：EM=3：4：5；
知识点梳理
正方形的性质:
1.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
2.正方形的四条边都相等，邻边垂直，对边平行。
3.正方形的四个角都是直角。
4.正方形的对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
5.正方形是轴对称图形，它有4条对称轴。
6.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ B ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77

分析：先连接AF，由于矩形关于EF折叠，所以EF垂直平分AC，那么就有AF=CF，又ABCD是矩形，那么AB=CD，AD=BC，在Rt△ABF中，（设CF=x），利用勾股定理可求出CF=，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC=5，在Rt△COF中再利用勾股定理可求出OF=，同理可求OE=，所以EF=OE+OF=．
解答：解：连接AF．
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC，
∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°．
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4．
设CF=x，则AF=x，BF=4-x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC2=BC2+AB2=52，且O为AC中点，
∴AC=5，OC=AC=．
∵AB2+BF2=AF2
∴32+（4-x）2=x2
∴x=．
∵∠FOC=90°，
∴OF2=FC2-OC2=（）2-（）2=（）2
∴OF=．
同理OE=．
即EF=OE+OF=．
点评：本题利用了折叠的对应点关于折痕垂直平分，以及矩形性质，勾股定理等知识．

11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.
（1）设两直角边PH，PF能分别通过点B与点C，
∵∠HPF=90°，∴PB2+PC2=BC2=100
又设PA=x，∵∠A=∠D=90°，在△ABP，△PDC中
∴PA2+AB2=PB2，PD2+CD2=PC2
∵PA+PD=AD=10，AB=CD=4
∴x2+16+(10-x)2+16=PB2+PC2=100
化简得:x2-10x+16=0 即(x-5)2＝9，所以x-5＝±3，
解之得:x1=2，x2=8
∵2<10，8<10
∴当PA=2cm或8cm时，三角板两直角边PH，PF分别通过点B，C.
（2）如图（2），过点E作EG⊥AD于点G，∴∠PGE=90°
根据题意得：DG=CE=2，EG=CD=4
∵BE+CE=BC=10
∴BC=8
在△PBE中，∵∠BPE=90° ∴PB2+PE2=BE2=64
又∵∠A=∠D=90° ∴AP2+AB2=PB2，PG2+PG2+EG2=PE2
而AB=EG=4，设AP=X，则PG=8-x
∴x2+16+(8-x)2+16=64 化简得:x2-8x+16=0
解之得:x1=x2=4
答：当AP=4时，PH经过点B，PF与BC交于点E，且CE=2cm.

12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

举一反三：
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF。

(1)请说明：DE=DF ；
(2)请说明：BE2+CF2=EF2；
(3)若BE=6，CF=8，求△DEF的面积。(直接写结果)

答案：
解：（1）连接AD
因为△ABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点
所以，AD⊥BC
且AD平分∠BAC，AD=BD=CD
所以，∠DAE=∠C=45°
又已知DE⊥DF
所以，∠EDA+∠FDA=90°
而，∠CDF+∠FDA=90°
所以，∠EDA=∠CDF
那么，在△ADE和△CDF中：
∠DAE=∠DCF（∠C）=45°（已证）
DA=DC（已证）
∠EDA=∠CDF（已证）
所以，△ADE≌△CDF
所以，AE=CF，DE=DF。
（2）因为AE=CF，AB=AC
所以AB-AE=AC-CF
即BE=CF
Rt△AEF中，∠A=90度
所以
所以。
（3）△DEF的面积为25 。  

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】分析：作AH⊥MN于H，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AH=PA=80m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；然后以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，根据垂径定理得到BH=CH，再根据勾股定理计算出BH=60m，则BC=2BH=120m，然后根据速度公式计算出拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间．
解答：解：学校受到噪音影响．理由如下：
作AH⊥MN于H，如图，
∵PA=160m，∠QPN=30°，
∴AH=PA=80m，
而80m＜100m，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，
以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B、C，如图，
∵AH⊥BC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，
BH==60m，
∴BC=2BH=120m，
∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s，
∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间==24（秒），
∴学校受影响的时间为24秒．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．

考点八：应用勾股定理解决勾股树问题
1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 25

根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的和等于最大的正方形的面积，已知最大的正方形的边长则不难求得其面积．
解：由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；
C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，
即等于最大正方形的另一直角边的平方，
则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，
因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．
故答案为25．

2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n．
解析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论．

考点九、图形问题
1、如图1，求该四边形的面积

2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = ，AB = +1，则边BC的长为 2   ．

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
.（注意：答案所标字母顺序与题干不一样）
考点：勾股定理．
分析：因为上部是以AB为直径的半圆，O为AB中点，同时也为半圆的圆心，OG为半径，OF的长度为货车宽的一半，根据勾股定理可求出GF的长度．EF的长度等于BC的长度．如果EG的长度大于2.5货车可以通过，否则不能通过．
解答：解：能通过，理由如下：
设点O为半圆的圆心，则O为AB的中点，OG为半圆的半径，
如图，∵直径AB=2（已知），
∴半径OG=1，OF=1.6÷2=0.8，
∴在Rt△OFG中，FG2=OG2-OF2=12-0.82=0.36；
∴FG=0.6
∴EG=0.6+2.3=2.9＞2.5．
∴能通过．
点评：本题考点：勾股定理的应用．首先根据题意化出图形．OG长度为半圆的半径，OF为货车宽的一半，根据勾股定理可求出FG的长度．从而可求出EG的长度．判断EG长度与2.5的大小关系，如果EG大于2.5可以通过，否则不能通过．

4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB===13cm，
故h=24-13=11cm．
故h的