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实变函数试题
一，填空题
1. 设, , 则.
2. ,因为存在两个集合之间的一一映射为
3. 设是中函数的图形上的点所组成的 集合，则，.
4. 若集合满足, 则为集.
5. 若是直线上开集的一个构成区间, 则满足:
, .
6. 设使闭区间中的全体无理数集, 则.
7. 若, 则说在上.
8. 设, ,若,则称是的聚点.
9. 设是上几乎处处有限的可测函数列, 是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有
, 则称在上依测度收敛于.
10. 设,, 则的子列, 使得.
二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例.
1. 若可测, 且,则.
2. 设为点集, , 则是的外点.
3. 点集的闭集.
4. 任意多个闭集的并集是闭集.
5. 若,满足, 则为无限集合.
三, 计算证明题
1. 证明:
2. 设是空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明为可数集.
3. 设,且为可测集, .根据题意, 若有
, 证明是可测集.
4. 设是集, .
求.
5. 设函数在集中点上取值为, 而在的余集中长为的构成区间上取值为, , 求
.
6. 求极限: .
实变函数试题解答
一 填空题
1. .
2.
3. ; .
4. 闭集.
5.
6. .
7. 几乎处处收敛于 或 收敛于.
8. 对有.
9.
10. 于.
二 判断题
1. . 例如, , , 则且,但.
2. . 例如, , 但0不是的外点.
3. . 由于.
4. . 例如, 在 中, , 是一系列的闭集, 但是不是闭集.
5. . 因为若为有界集合, 则存在有限区间, , 使得, 则于.
三, 计算证明题.
1. 证明如下:

2. 中任何一个元素可以由球心, 半径为唯一确定, ,, 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集.
3. 令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故
,
令, 得到, 故可测. 从而
可测.

4. 已知, 令, 则
.

5. 将积分区间分为两两不相交的集合: , , , 其中为集, 是的余集中一切长为的构成区间(共有个)之并. 由积分的可数可加性, 并且注意到题中的, 可得

6. 因为在上连续, 存在且与的值相等. 易知

由于在上非负可测， 且广义积分收敛，则
在上可积， 由于， ，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到
.
一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）
1. 非可数的无限集为c势集
2. 开集的余集为闭集。
3. 若mE=0，则E为可数集
4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测
5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积
二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）
1. ______可数集之并是可数集。
A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个
2. _____闭集之并交是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
3. 可数个开集之交是_____
A开集 B闭集 C F型集 D G型集
4. 若 |f| 在E上可积，则_______
A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。
四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：
1. S-S=(S-S)
2. E[fa]=E[f>a-]
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且
|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有?
|f|d|f|d（7分）
七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）
1. sin(nx)d=?
2. 设f(x)=求d=?
3. 设f(x)=   ?n=2,3,…, ?求d=?
 一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)
1. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。
2. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。
3. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。
4. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如）
5. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）
二、将正确答案填在空格内
1． 至多可数个 可数集之并是可数集。
A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个
2.有限个 闭集之并交是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
3.可数个开集之交是 G型集
A开集 B闭集 C? F型集 D? G型集
4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限
A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。
四、证明下列集合等式
1.S-S=(S-S)
解：
=(S-S)
2。E[fa]=E[f>a-]
证明：

所以，同理，??? 故
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。
? 证明：（分析法证明）设
要证为开集，只须证明
事实上，取时，自然有
。
?? 故为开集。
无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，
f(x)f(x) a.e于E，
且|f|d|f|d，
则对任意可测子集eE有
|f|d|f|d
证明：因为f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知
|f|d≤|f|d
而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：
一方面|f|d= |f|d≤|f|d
另一方面，|f|d= |f|d≤|f|d
|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d
故|f|d≤|f|d≤|f|d
即|f|d= |f|d
七、计算下列各题：
1．sin(nx)d=?
解：因为?sin(nx) 0于[0，1]
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?? 且||≤1
则由Lebesgue控制收敛定理知：
sin(nx)d=sin(nx)d=0
2．设f(x)=求d=?
解：

所以
3．设f(x)= ????n=2,3,…,? 求d=?
解：因为f(x)=?? ?n=2,3,…,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：
d=。
一、选择题 (共10题，每题3分，共30分)
1.设是中有理数的全体，则在中的导集是 【 】
(A) (B) (C) (D)
2.设是一列闭集，，则一定是 【 】
(A)开集 (B)闭集 (C) 型集 (D) 型集
3.设是中有理数全体，则 【 】
(A) 0 (B)1 (C)＋∞ (D)-∞
4.下面哪些集合的并组成整个集合的点　 【 】
(A) 内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点
(C) 孤立点，界点，外点 (D) 孤立点，聚点，外点
5.设是Cantor集，则 【 】
(A) 与对等，且的测度为0 (B) 与对等，且的测度为1
(C) 与不对等，的测度为0 (D) 与不对等，的测度为1
6. 设与在上可测，则是 【 】
(A) 可测集 (B) 不可测集 (C)空集 (D) 无法判定
7. 设在可测集上有定义，，则是 【 】
(A) 单调递增函数列 (B) 单调递减函数列
(C) 可积函数列 (D) 连续函数列
8. 设是任一可测集，则 【 】
　　(A) 是开集 (B) 是闭集　　(C) 是完备集
　　(D) 对任意，存在开集，使
9．设，则 【 】
　　(A) 1　 (B) 2　　 (C) 3　 (D) 4
10．设是上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意，有下面条件成立，则 依测度收敛于． 【 】
　 (A) (B) 　　
(C) 　　(D)
　二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)
1.鲁津定理
2.Fatou引理
三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共5题，每题4分，共20分)
1. 若与它的真子集对等，则一定是有限集． 【 】
2. 凡非负可测函数都是可积的． 　　　　　【 】
3.设为空间中一非空集，若则 【 】
4.设为可测集，则存在型集，使得，且． 【 】
5.在上可积，则在可积且 【 】
四、证明题(共4题，每题10分，共40分)
1.开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集．
2.上全体有理数点集的外测度为零．
3.设函数列在上依测度收敛，且于，则于．
4.设在上可积，则．
得 分
阅卷人

判断题（每题2分，共20分）
1.必有比大的基数。 （ ）
2.无限个闭集的并必是闭集。 （ ）
3.若，则是至多可列集。 （ ）
4.无限集的测度一定不为零。 （ ）
5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。 （ ）
6.若在的任意子集上可测，则在可测集上可测。 （ ）
7.上可测函数列的极限函数在上不一定可测。 （ ）
8.是上的可测函数，则可积。 （ ）
9.若且，则于。 （ ）
10.若在上可积，则在上也可积。 （ ）
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设，则 ， 。
2.设，则 ， 。
3.设是开区间中有理点的全体，则 。
4.单调函数的不连续点集的基数是 。
5.设是上的集，则 。
6.闭区间 上的有界函数可积的充要条件是 。
7. 狄利克雷函数函数是 可积的， 。
三、计算题（每题10分，共20分）.
1.计算。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）
2. 设，其中是Cantor集，试计算。
四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：
2. 设是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明是是至多可列集。
3. 如果，则的任何子集也可测且测度为零。
4.设在上可积，且于，证明：也在上可积。
5. 可测集上的函数为可测函数充分必要条件是对任何有理数，集合是可测集。
一、单项选择题（3分×5=15分）
1、1、下列各式正确的是（ ）
（A）; （B）;
（C）; （D）;
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）
（A） c (B) (C) (D)
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测
4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )
（A）若, 则 (B) 是可测函数
（C）是可测函数;（D）若,则可测
5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）
(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数
（C）在上L可积 (D)
二. 填空题(3分×5=15分)
1、_________
2、设是上有理点全体，则=______,=______,=______.
3、设是中点集，如果对任一点集都有_________________________________，则称是可测的
4、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使___________________________,则称为 上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。
2、若，则一定是可数集.
3、若是可测函数，则必是可测函数。
4．设在可测集上可积分，若，则
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。
2、（8分）求
五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明上的全体无理数作成的集其势为.
2、（6分）设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。
考 生 答 题 不 得 超 过 此 线
3、（6分）在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。
4、（6分）设在上可积，，则.
得 分

阅卷人

复查人

5、（10分）设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)
一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）
11. 非可数的无限集为c势集
12. 开集的余集为闭集。
13. 若mE=0，则E为可数集
14. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测
15. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积
二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）
16. ______可数集之并是可数集。
A. 任意多个 B. c势个? C. 无穷多个 D 至多可数个
17. _____闭集之并交是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
18. 可数个开集之交是_____A开集 B闭集 C F型集 D G型集
19. 若 |f| 在E上可积，则_______A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。
四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：
20. S-S=(S-S)
21. E[fa]=E[f>a-]
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。（8分）
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) a.e于E，且
|f|d|f|d，则对任意可测子集eE有?
|f|d|f|d（7分）
七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）
22. sin(nx)d=?
23. 设f(x)=求d=?
24. 设f(x)= ?n=2,3,…, ?求d=?
一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)
6. 非可数的无限集为c势集，（不正确！如：直线上的所有子集全体不可数，但其势大于c）。
7. 开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。
8. 若mE=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。
9. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如）
10. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）
二、将正确答案填在空格内
1． 至多可数个可数集之并是可数集。
A. 任意多个B.c势个 C. 无穷多个 D 至多可数个
2.有限个闭集之并交是闭集。
A. 任意多个 B. 有限个 C. 无穷多个 D 至多可数个
3.可数个开集之交是 G型集
A开集 B闭集 C? F型D? G型集
4.若 |f| 在E上可积，则 f在E上几乎处处有限
A. f在E上可积 B. f 在E上可测 C. f 在E上有界 D. f在E上几乎处处有限
三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材）。
四、证明下列集合等式
1.S-S=(S-S)
解：
=(S-S)
2。E[fa]=E[f>a-]
证明：

所以，同理，??? 故
五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。
? 证明：（分析法证明）设
要证为开集，只须证明
事实上，取时，自然有
。 ?? 故为开集。
无限个开集之交不一定是开集。反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。
六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，
f(x)f(x) a.e于E，
且|f|d|f|d，
则对任意可测子集eE有
|f|d|f|d
证明：因为f(x)f(x) a.e于E，对任意由Fatou引理知
|f|d≤|f|d
而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：
一方面|f|d= |f|d≤|f|d
另一方面，|f|d= |f|d≤|f|d
|f|d= |f|d= |f|d- |f|d|f|d
故|f|d≤|f|d≤|f|d
即|f|d= |f|d
七、计算下列各题：
1．sin(nx)d=?
解：因为?sin(nx) 0于[0，1] 且||≤1
则由Lebesgue控制收敛定理知：
sin(nx)d=sin(nx)d=0
2．设f(x)=求d=?
解：

所以
3．设f(x)= ????n=2,3,…,? 求d=?
解：
因为f(x)=?? ?n=2,3,…,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：
d=。
一、填空：（共10分）
1．如果 则称是自密集，如果 则称是开集，如果则称是 ，称为的 .
2．设集合可表示为一列开集之交集：，则称为 .
若集合可表示为一列闭集之并集：，则称为 .
3．（Fatou引理）设是可测集上一列非负可测函数，则 .
4．设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集，则称为上的 ，并称这个数集的上确界为在上的 ，记为 .
二、选择填空：（每题4分，共20分）
1．下列命题或表达式正确的是
A． B．
C．对于任意集合，有或 D．
2．下列命题不正确的是
A．若点集是无界集，则 B．若点集是有界集，则
C．可数点集的外测度为零 D．康托集的测度为零
3．下列表达式正确的是
B．
D．
4．下列命题不正确的是
A．开集、闭集都是可测集 B．可测集都是Borel集
C．外测度为零的集是可测集 D．型集，型集都是可测集
5．下列集合基数为（可数集）的是
A．康托集 B．
C．设是整数， D．区间中的无理数全体
三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理
四、（20分）设，是上有限的可测函数，
证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于
五、（10分）证明
六、（10分）设是满足Lipschitz条件的函数，且
于，则为增函数
七、（10分）设是上的有界变差函数，证明也是上的有界变差函数
一、填空题：（共10分）
1、,（或） 闭集，闭包
2、型集，型集3、
4、有界变差函数，全变差，
二、选择填空：（每小题4分，共20分）
1、D 2、A 3、D 4、B 5、C
三、（20分）
定理：设有限于，若对于任意的，总有闭集，使，且在上连续，则是上的可测函数.
证 对任意的正整数，存在闭集使，且在上连续，从而在上可测 设，则是可测集，且，于是

在上可测
由于，只须证在上可测，事实上，对任意的，
是可测集在上可测在上可测 （5分）
四、（20分）
证明 在上可测，由Lusin定理，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有 （7分）
所以对任意的，成立
，

因此
由F.Riesz定理，存在的子列，使于，记，则
于
五、（10分）
证明 设
则在上连续，因而可积可积，
且
取，则，而
由Lebesgue有界收敛定理

六、（10分）
证 因为满足Lipschitz条件，所以是绝对连续函数，对任意的，
由牛顿—莱布尼兹公式（1）
（2）
（2）—（1）
是上的单调函数
七、（10分）
证 是有界变差函数，因而是有界函数，于是，
对的任意分划有

因此也是上的有界变差函数