第十二章-§12-2-参数方程.docx

§12.2　参数方程
考试要求　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α·(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p>0)
(t为参数)

思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　√　)
(2)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　√　)
(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　×　)
(4)参数方程(θ为参数且θ∈)表示的曲线为椭圆．(　×　)
教材改编题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
答案　C
解析　代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
答案　B
解析　由得
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y＝－2x上．
3．已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的斜率为________．
答案　±
解析　由(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，
得k＝±.

题型一　参数方程与普通方程的互化
例1　(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解　(1)因为⊙C的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C的参数方程为(θ为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故＝1，即|2k|＝，
4k2＝1＋k2，解得k＝±.
故直线方程为y＝(x－4)＋1或y＝－(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1或
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
即ρsin＝2－或ρsin＝2＋.
教师备选
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝
4cos θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．
解　(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，
得(2x－2)2＋y2＝4，
即(x－1)2＋＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度，
得曲线C1：x2＋＝1，
则曲线C1的参数方程为(θ为参数)．
设曲线C1上任一点P(cos θ，2sin θ)，
则点P到直线l的距离
d＝
＝，
其中φ满足sin φ＝－，cos φ＝，
由三角函数知，
当sin(θ＋φ)＝1时，d取最小值，
所以点P到直线l的距离的最小值为.
思维升华　消去方程中的参数一般有三种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
(2)利用三角恒等式消去参数．
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．
跟踪训练1　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
即实数a的取值范围为[－2，2 ]．
题型二　参数方程的应用
例2　在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解　(1)由曲线C的参数方程(θ为参数)，
得
所以2＋2＝1，即＋＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
教师备选
(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l过点M(1,0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且＝，求cos α的值．
解　(1)曲线C的参数方程(θ为参数)，转换为普通方程为＋y2＝1；
直线l过点M(1,0)且倾斜角为α，则参数方程为(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入＋y2＝1.
得到(1＋sin2α)t2＋2tcos α－1＝0，
所以t1＋t2＝－，
t1t2＝－(t1和t2分别为A和B对应的参数)，
t1t2<0，则t1，t2异号，||MA|－|MB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，
由＝，
整理得|t1＋t2|＝＝|t1t2|＝，
解得cos α＝±.
思维升华　(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决．
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋ρ2sin2θ＝2，直线l与曲线C交于A，B两点．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值．
解　(1)l的普通方程为x＋y－1＝0.
∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，
∴x2＋y2＋y2＝2，
即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)方法一　P在直线l上，
直线l的参数方程为(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得2＋22－2＝0，
即t′2＋t′－＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t′1，t′2，则
|PA|·|PB|＝|t′1|·|t′2|＝|t′1t′2|＝.
方法二　由消去y，得3x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
不妨设A(0,1)，B，
又P，
则|PA|＝＝，
|PB|＝＝，
|PA|·|PB|＝×＝.
题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用
例3　(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足＝，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．
解　(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
即x2＋y2＝2x，
整理得(x－)2＋y2＝2.
(2)设P的坐标为(x，y)，
则＝(x－1，y)，因为＝，
所以＝，
所以M，
因为M为C上的动点，
所以2＋2＝2，
化简得(x＋－3)2＋y2＝4，
即P点的轨迹C1的方程为(x＋－3)2＋y2＝4，
化成参数方程为
(t为参数)，
圆心C1(3－，0)，r1＝2，
C(，0)，r＝，
因为|3－－|<2－，所以C与C1没有公共点．
教师备选
(2022·郑州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4.
(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点A(1,0)，若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ的中点为M，求的值．
解　(1)因为直线l：ρcos＝，
故ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
即直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0，
因为曲线C：ρ2＝4，
则曲线C的直角坐标方程为x2＋4y2＝4，
即＋y2＝1.
(2)点A(1,0)在直线l上，
设直线l的参数方程为(t为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得
5t2＋2t－6＝0.
设P，Q对应的参数分别为t1，t2，
则t1t2＝－，t1＋t2＝－，
所以M对应的参数t0＝＝－，
故＝＝＝＝8.
思维升华　参数方程和极坐标的综合应用
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
跟踪训练3　(2022·石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)设点M的极坐标为，求△ABM面积的最小值．
解　(1)由曲线C1的参数方程(α为参数)，
消去参数，可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，
又由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
代入可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，
设点B的极坐标为(ρ，θ)，点A点的极坐标为(ρ0，θ0)，
则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cos θ0，θ＝θ0，
因为|OA|·|OB|＝8，
所以ρ·ρ0＝8，
即＝2cos θ，即ρcos θ＝4，
所以曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(2)由题意，可得|OM|＝2，
则S△ABM＝S△OBM－S△OAM＝|OM|·|xB－xA|＝×2×|4－2cos2θ|＝|4－2cos2θ|，
即S△ABM＝4－2cos2θ，
当cos2θ＝1时，可得S△ABM的最小值为2.
课时精练
1．(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点．
(1)求|AB|；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．
解　(1)令x＝0，则t2＋t－2＝0，
解得t＝－2或t＝1(舍去)，
则y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12)．
令y＝0，则t2－3t＋2＝0，
解得t＝2或t＝1(舍去)，
则x＝2－2－4＝－4，
即B(－4,0)．
∴|AB|＝＝4.
(2)由(1)可知kAB＝＝3，
则直线AB的方程为y＝3(x＋4)，
即3x－y＋12＝0.
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，
直线AB的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＋12＝0.
2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π))，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|＝，求直线l的斜率．
解　(1)∵ρ＝4sin θ，
∴ρ2＝4ρsin θ，
由ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
得x2＋y2＝4y.
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
(2)把代入x2＋y2＝4y，
整理得t2－2tsin α－3＝0，
设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－3，
∴|PQ|＝|t1－t2|＝＝＝，
得sin α＝，α＝或α＝，
∴直线l的斜率为±.
3．(2022·曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为C，半径r＝.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)已知过点P(0,1)且倾斜角为α的直线l交圆C于A，B两点，且|PA|＋|PB|＝，求角α.
解　(1)圆心C的直角坐标为C(1,1)，圆C的半径r＝，
则圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3.
将公式代入(x－1)2＋(y－1)2＝3中，
整理得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0.
(2)过点P(0,1)且倾斜角为α的直线l的参数方程为(t是参数)，
代入圆C的直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝3中整理得t2－2tcos α－2＝0.
设交点A，B对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝2cos α，t1t2＝－2<0，
则|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝，
平方得(t1＋t2)2－4t1t2＝11，
则4cos2α＋8＝11，
所以cos α＝±(0≤α<π)，α＝或α＝.
4．(2022·宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(θ∈R，α为参数)．
(1)求曲线C1的普通方程并说明曲线C1的形状；
(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝0，求曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值．
解　(1)由曲线C1的方程(θ∈R，α为参数)可知，
(θ∈R，α为参数)，
消去参数α得曲线C1的普通方程为(x－4cos θ)2＋(y－3sin θ)2＝1，
∴曲线C1是以C1为圆心，1为半径的圆．
(2)将曲线C2的极坐标方程ρsin＝0，
即ρsin θ－ρcos θ＝0，
化为直角坐标方程为x－y＝0.
曲线C1的对称中心即为圆心C1(4cos θ，3sin θ)，
∴曲线C1的对称中心到曲线C2的距离
d＝＝，
其中φ满足sin φ＝－，cos φ＝－，
∵－1≤sin(θ－φ)≤1，
∴曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值为.
5．(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P为曲线C1：(α为参数)上的动点，将P点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q点，记Q点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)A，B是曲线C2上异于极点的两点，且∠AOB＝，求|OA|－|OB|的取值范围．
解　(1)曲线C1：化为普通方程为＋y2＝1，
设P点坐标为(x，y)，Q点坐标为(x′，y′)，
则有＋y2＝1，x′＝，y′＝y，
消去x，y有(x′－1)2＋y′2＝1，
即x′2＋y′2＝2x′，此式即为C2的普通方程．
∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)设A(ρ1，θ)，B，
∴|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2
＝2cos θ－2cos
＝sin θ－cos θ＝2sin，
∵θ－∈，
∴|OA|－|OB|的取值范围是[－2,1)．