学生书-§12-3--圆的方程.docx

§12.3　圆的方程
(对应答案分册第43~44页)

1.圆的定义与方程

　　当D2+E2-4F>0时,此方程表示的图形是圆;当D2+E2-4F=0时,此方程表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形.

　　2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设点M的坐标为(x0,y0).

　　(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.
(2)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.(　　)
(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆.(　　)
(4)方程(x-a)2+(y-b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.(　　)
【对接教材】
2.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为(　　).
A.(x-2)2+(y+1)2=3
B.(x+2)2+(y-1)2=3
C.(x-2)2+(y+1)2=9
D.(x+2)2+(y-1)2=9
3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是　　　　. 
【易错自纠】
4.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是　　　　. 
5.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是　　　　. 

　求圆的方程　【题组过关】
1.(2022·北京西城模拟)设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(　　).

A.(x-3)2+y2=2
B.(x-3)2+y2=8
C.(x+3)2+y2=2
D.(x+3)2+y2=8
2.(2022·浙江绍兴模拟)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上,若点A在直线x-y-4=0的左上方且到该直线的距离等于2,则圆C的标准方程为(　　).
A.(x-2)2+(y+4)2=4
B.(x+2)2+(y+4)2=16
C.(x-2)2+(y-4)2=4
D.(x-2)2+(y-4)2=16

3.(2022·河南郑州模拟)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线l:x-y+8=0对称的圆的方程为(　　).
A.(x+3)2+(y+2)2=4
B.(x+4)2+(y-6)2=4
C.(x-4)2+(y-6)2=4
D.(x+6)2+(y+4)2=4
　　点拨　求圆的方程的两种方法
几何法
根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程
待定
系数法
①根据题意,选择标准方程与一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程

　　提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.

　与圆有关的轨迹问题　【典例迁移】
　　(一题多解)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求直角顶点C的轨迹方程.

　　【变式设问】已知条件不变,求直角边BC的中点M的轨迹方程.

　　点拨　求与圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.
(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时,可直接利用定义确定其圆心和半径,写出圆的方程.
(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
　　【追踪训练1】自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为(　　).

A.8x-6y-21=0
B.8x+6y-21=0
C.6x+8y-21=0
D.6x-8y-21=0
　与圆有关的最值问题　【考向变换】
　　考向1　斜率型最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则yx的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　. 
　　点拨　形如μ=y-bx-a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.

　　【追踪训练2】已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　. 
　　考向2　截距型最值问题
已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y-x的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　. 

　　点拨　形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
【追踪训练3】已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).　
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)求y-3x+2的最大值和最小值.

　　考向3　距离型最值问题
已知实数x,y满足x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2的最小值为(　　).

A.45 B.25
C.255 D.105
　　点拨　形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【追踪训练4】若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为(　　).
A.2 B.1 C.3 D.2

　函数思想在圆中的应用
　　在解决与圆有关的最值问题时,通过转化,结合函数知识进行求解.
(2022·厦门模拟)设P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PA·PB的最大值为　　　　. 

　　根据题中条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求最值.

　　【突破训练】(2022·银川模拟)设P(x,y)是圆:(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA+PB|的最大值为　　　　.　 
链接《精练案》分册P81