2022年福建省中考数学模拟试题(5)(解析版).doc

2022年福建省中考数学模拟试题（5）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）一个数的相反数是它本身，则这个数为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】A
【解析】一个数的相反数是它本身，则这个数为0．
故选：A．
2． （4分）如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个或多个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是（　　）

A．④ B．③ C．② D．①
【答案】A
【解析】原来的几何体的左视图底层是两个小正方形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个或多个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的正方体不可能是④．
故选：A．
3．（4分）我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（　　）
A．53006×10人 B．5.3006×105人
C．53×104人 D．0.53×106人
【答案】B
【解析】∵530060是6位数，
∴10的指数应是5，
故选：B．
4．（4分）计算：（﹣a2）3（　　）
A．a6 B．﹣a6 C．a5 D．﹣a5
【答案】B
【解析】（﹣a2）3＝﹣a6，
故选：B．
5．（4分）下列四个命题中，真命题有（　　）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果x2＞0，那么x＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，所以③错误；
如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．
故选：A．
6．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则k的取值范围为（　　）
A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1
【答案】C
【解析】不等式整理得：，
由不等式组的解集为x＜3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C．
7．（4分）永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.2和36.2 D．36.2和36.1
【答案】B
【解析】将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5，
所以这组数据的众数为36.2，中位数为36.3，
故选：B．
8．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（　　）

A．33° B．57° C．67° D．66°
【答案】B
【解析】连接CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
而∠DBC＝33°，
∴∠D＝90°﹣33°＝57°，
∴∠A＝∠D＝57°．
故选：B．

9．（4分）在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象过点P（2，1），则该函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵函数y＝kx﹣k（k≠0）的图象过点P（2，1），
∴1＝2k﹣k，
∴k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．
∵1＞0，﹣1＜0，
∴一次函数y＝x﹣1经过第一、三、四象限．
故选：C．
10．（4分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【解析】由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）计算：|﹣2|++（π﹣3.14）0＝________．
【答案】1．
【解析】|﹣2|++（π﹣3.14）0
＝2﹣2+1
＝1
12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是________．

【答案】．
【解析】连接CM，

∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
13．（4分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝________．
【答案】【解析】8．
【解析】不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球4个，
根据古典型概率公式知：P（白球）＝＝，
解得：n＝8，
14．（4分）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝18，有一根木棒MN，MN在数轴上移动，当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为3，且点M始终在点N的左侧，当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为________．

【答案】12或﹣6．
【解析】设MN＝x，
①当点N与点A重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3，
∵AB＝18，
∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3+9＝x+12，
∴点M所对应的数为x+12﹣x＝12；
②当点N与点B重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3，
∵AB＝18，
∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3﹣9＝x﹣6，
∴点M所对应的数为x﹣6﹣x＝﹣6；
15．（4分）一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为________．
【答案】12．
【解析】多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C．点G，H是线段CD上的两个动点，且∠GOH＝45°，过点G作GA⊥x轴于A，过点H作HB⊥y轴于B，延长AG，BH交于点E，则过点E的反比例函数y＝的解析式为________．

【答案】y＝．
【解析】如图，过点G作GP⊥GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN⊥AE，交AE延长线于N，

设点A（﹣a，0）
∴AO＝a，
∵直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C，
∴点D（﹣2，0），∠ADC＝45°，
∴DO＝2，AD＝2﹣a，
∵AE⊥OD，
∴∠ADG＝∠AGD＝45°，
∴AD＝AG＝2﹣a，
∵GP⊥GO，∠GOH＝45°，
∴∠GPO＝∠GOP＝45°，
∴GP＝GO，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，∠AGO+∠NGP＝90°，
∴∠AOG＝∠NGP，
又∵∠GNP＝∠GAO＝90°，GO＝GP，
∴△GAO≌△PNG（AAS），
∴NP＝AG＝2﹣a，AO＝GN＝a，
∴AN＝2，
∴点P（2﹣2a，﹣2），
∴直线OP解析式为：y＝x，
联立方程组
∴
∴点H的纵坐标为，
∴点E（﹣a，）
∵反比例函数y＝的图象过点E，
∴k＝﹣a×（＝2，
∴反比例函数解析式为：y＝，
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】见解析
【解析】原式＝•
＝
＝
＝，
当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，
当a＝﹣2时，原式＝﹣．
18．（8分）如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．

【答案】见解析
【解析】（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
19．（8分）如图，点C是线段AB外一点．按下列语句画图：
（1）画射线CB；
（2）反向延长线段AB；
（3）连接AC；
（4）延长AC至点D，使CD＝AC．

【答案】见解析
【解析】如图所示．

20．（8分）某景点的门票价格如下表：
购票人数（人）
1～50
51～99
100以上（含100）
门票单价（元）
48
45
42
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
【答案】见解析
【解析】（1）设七年级1班有x名学生，2班有y名学生，
由题意得：，
解得：，
答：七年级1班有49名学生，2班有53名学生；
（2）设八年级报名a人，九年级报名b人，
分两种情况：
①若a+b＜100，
由题意得：，
解得：，（不合题意舍去）；
②若a+b≥100，
由题意得：，
解得：，符合题意；
答：八年级报名48人，九年级报名58人．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°．
（1）若AB＝4，求弧CD的长；
（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线．

【答案】见解析
【解析】（1）连接OC，OD，
∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵AB＝4，
∴OC＝AB＝2，
∴的长＝×π×2＝π；
（2）∵＝，
∴∠BOC＝∠AOD，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOD＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，
∴∠ODA＝67.5°，
∵AD＝AP，
∴∠ADP＝∠APD，
∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，
∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，
∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，
∴PD是⊙O的切线．

22．（10分）已知α+β＝90°，且sinα+cosβ＝，求锐角α．
【答案】见解析
【解析】由α+β＝90°，得sinα＝cosβ．
sinα+cosβ＝2sinα＝，
sinα＝，
α＝60°．
23．（10分）老王的鱼塘里年初养了某种鱼2000条，到年底捕捞出售，为了估计鱼的总产量，从鱼塘里捕捞了三次，得到如下表的数据：

鱼的条数
平均每条鱼的质量
第一次捕捞
10
1.7千克
第二次捕捞
25
1.8千克
第三次捕捞
15
2.0千克
若老王放养这种鱼的成活率是95%，则：
（1）鱼塘里这种鱼平均每条重约多少千克；
（2）鱼塘里这种鱼的总产量多少千克？
【答案】见解析
【解析】（1）鱼的平均重量为：＝1.84千克．
答：鱼塘里这种鱼平均每条的质量约1.84千克；

（2）鱼的总重量为2000×95%×1.84＝3496千克．
答：鱼塘里这种鱼的总质量估计是3496千克．
24．（12分）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED＝90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB＝2，CE＝2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

【答案】见解析
【解析】（1）如图①中，结论：AF＝AE．

理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB＝DF，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
∵DE＝EC，
∴AE＝EF，
∵∠DEC＝∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
故答案为AF＝AE．

（2）①如图②中，结论：AF＝AE．

理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE＝∠ABC＝45°，
∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，
∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EKF＝∠ADE，
∵∠DKC＝∠C，
∴DK＝DC，
∵DF＝AB＝AC，
∴KF＝AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，
∴∠FEA＝∠BED＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE．
②如图③中，当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知EH＝DH＝CH＝，AH＝＝3，AE＝AH+EH＝4，

如图④中当AD＝AC时，四边形ABFD是菱形，易知AE＝AH﹣EH＝3﹣＝2，
综上所述，满足条件的AE的长为4或2．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．
（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）c＝3，点B（3，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；

（2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交CB于点M，

S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2，
∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2，
由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3），
DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2，
解得：x＝1或2，
故点D（1，4）或（2，3）；

（3）①当点P在x轴上方时，
取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，
设MH＝x，则MG＝，
则△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2，
故MG＝＝，则点M（0，4），
将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②，
联立①②并解得：x＝3（舍去）或，
故点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）．