2023届高考数学特训营-第7节-二项分布与正态分布.doc

第7节　二项分布与正态分布

A级(基础应用练)
1．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝2，D(X)＝，则p＝(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由于随机变量X服从二项分布B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，所以np＝2，np(1－p)＝，解得p＝，故选C.
2．(2022·河北石家庄)某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：4次独立重复实验，故概率为C()3×＋C()4＝.
3．(2022·哈尔滨)为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某学校进行一次体能测试这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布N(70，σ2)．若ξ在(50，70)内取值的概率为0.4，则ξ在90分以上取值的概率为(　　)
A．0.05 B．0.1
C．0.2 D．0.4
答案：B
解析：∵ξ服从正态分布N(70，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝70，∴ξ在(70，100)内取值的概率为0.5.∵ξ在(50，70)内取值的概率为0.4，∴ξ在(70，90)内取值的概率为0.4，则ξ在90分以上取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.
4．(2022·泊头市)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.6，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率为(　　)
A．0.16 B．0.24
C．0.32 D．0.48
答案：C
解析：∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，
∴曲线的对称轴是直线x＝100.
∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.6，
∴ξ在(80，100)内取值的概率为0.3，
∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.3＝0.2.
现任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不高于80的概率P＝C×0.2×(1－0.2)＝0.32，故选C.
5．(2022·北京清华大学)假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设该射手射击命中的概率为p，两次射击命中的次数为X，则X～B(2，p)，由题可知，P(X＝0)＋P(X＝1)＝，即Cp0(1－p)2＋Cp(1－p)＝，解得p＝.故选C.
6．(多选题)(2022·湖南高三模拟)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线(正态分布密度曲线是函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)的图象)如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲类水果的平均质量为0.4 kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．平均质量分布在[0.4，0.8]时甲类水果比乙类水果占比大
D．σ2＝1.99
答案：ABC
解析：由题图可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0.4 kg，故A正确；
由图可知，甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
由图可看出平均质量分布在[0.4，0.8]时甲类水果比乙类水果占比大，故C正确；
乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足1.99，则σ2≠1.99，故D错误．故选ABC.
7．(2022·兴仁市)已知随机变量ξ～B(6，p)，且E(ξ)＝2，则D(3ξ＋2)＝________．
答案：12
解析：E(ξ)＝n·p＝6·p＝2，所以p＝，又因为D(ξ)＝n·p·(1－p)＝2×＝，所以D(3ξ＋2)＝9D(ξ)＝12.
8．(2022·山西太原)在某市去年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约100000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第________名．
(参考数值：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974)
答案：15870
解析：∵考试的成绩X服从正态分布N(98，100)，所以μ＝98，σ＝10，
所以108＝μ＋σ，则P(X≥108)＝P(X≥μ＋σ)＝＝0.1587，
数学成绩为108分的学生大约排在全市第100000×0.1587＝15870名．
9．(2022·河北南宫)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A＝
a1
a2
a3
a4
a5
其中A的各位数字中，a1＝1，ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字A中恰有两个0的概率为________．
答案：
解析：根据题意，A中恰有两个0的概率，即在a2、a3、a4、a5四个数中恰好有2个0，2个1，
则A中恰有两个0的概率P＝C()2()2＝.
10．(2022·湖北襄阳)国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的240个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量x
[12.5，15.5)
[15.5，18.5)
[18.5，21.5)
[21.5，24.5)
频数
5
6
9
12
垃圾量x
[24.5，27.5)
[27.5，30.5)
[30.5，33.5)

频数
8
6
4

通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值＝________(精确到0.1)；假设该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2.请利用正态分布知识估计这240个社区中“超标”社区的个数为________．
参考数据：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9974.
答案：22.8　38
解析：(1)＝＝
22．76≈22.8，
故这50个社区这一天垃圾量的平均值约为22.8吨．
(2)因为μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2，s＝5.2，
所以一天的垃圾量大致服从正态分布N(22.8，5.22)，
设社区一天的垃圾量为x，
则P(x>28)＝P(x>22.8＋5.2)＝＝0.15865，0.15865×240＝38.076≈38，
故这240个社区中“超标”社区的个数大约为38个．
B级(综合创新练)
11．(2022·安徽省泗县)某班级组织一场游戏活动，盒子中有红、蓝两种小球(除了颜色不同，形状、大小、质地均相同)，其中红、蓝小球数量之比为2∶1，每个小球被摸到的可能性相同．
(1)现在进行有放回的摸球活动，求在5次摸球中有3次都摸到红球的概率．
(2)游戏规定：如果摸到红球，则放回盒子，继续进行下一次摸球；如果摸到蓝球，则游戏结束，规定摸球次数不超过n(n∈N*)次．若游戏结束时，随机变量X表示摸到红球数量，求X的分布列与数学期望E(X)．
解：(1)依题意，随机地摸球，摸到红球的概率为，用ξ表示“随机地摸球，摸到红球的个数”，
则ξ服从二项分布，即ξ～B(5，)，
∴其中摸到三个红球的概率P＝C()3()2＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，…，n.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝·，…，P(X＝n－1)＝()n－1·，P(X＝n)＝()n.
所以X的分布列为
X
0
1
2
…
n－1
n
P

·
()2·
…
()n－1·
()n
X的数学期望为E(X)＝1×·＋2×()2·＋…＋(n－1)×()n－1·＋n×
()n，　①
E(X)＝1×()2·＋2×()3·＋…＋(n－1)×()n·＋n×()n＋1，　②
①－②得E(X)＝·＋()2·＋…＋()n－1·＋()n·，
E(X)＝＋()2＋…＋()n－1＋()n＝2－2·()n.
12．(2022·湖南益阳市)2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现，这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20～9：40记作[20，40)，9：40～10：00记作[40，60)，10：00～10：20记作[60，80)，10：20～10：40记作[80，100)，例如：9：46，记作时刻46.

(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)
(2)为了对数据进行分析，现采用分层随机抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列．
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20～10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，σ2用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)．假如4日上午9：20～10：40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数．(结果保留到整数)
附：若随机变量T服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<T≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<T≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<T≤μ＋3σ)＝0.9973.
解：(1)这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04.
(2)由频率分布直方图和分层随机抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组[20，60]这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P

(3)由(1)得μ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝64，σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324.
所以σ＝18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，由T～N(64，182)，得
P(64－18＜T≤64＋2×18)＝＋＝0.8186，
所以估计在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819.