2022年湖南省张家界市中考数学真题.docx

2022年湖南省张家界市中考数学试卷

题号
一
二
三
总分
得分

一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. −2022的倒数是(    )
A. 2022 B. −12022 C. −2022 D. 12022
2. 我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为(    )
A. 18×108 B. 1.8×109 C. 0.18×1010 D. 1.8×1010
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是(    )
A. a2⋅a3=a6 B. 2a2+3a3=5a5
C. (2a)2=4a2 D. (a−1)2=a2−1
5. 把不等式组x+1>0x+3≤4的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )
A. B.
C. D.
6. 某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据：

甲
乙
丙
丁
平均分
95
93
95
94
方差
3.2
3.2
4.8
5.2
根据表中数据，应该选择(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1(k≠0)和y=kx(k≠0)的图象大致是(    )
A. B.
C. D.
8. 如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2，OB=1，OC=3，则△AOB与△BOC的面积之和为(    )
A. 34
B. 32
C. 334
D. 3

二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9. 因式分解：a2−25= ______ ．
10. 从2，−1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是______．
11. 如图，已知直线a//b，∠1=85°，∠2=60°，则∠3=______．

12. 已知方程5x−2=3x，则x=______．
13. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF=______．

14. 有一组数据：a1=31×2×3，a2=52×3×4，a3=73×4×5，…，an=2n+1n(n+1)(n+2).记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S12=______．

三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15. 计算：2cos45°+(π−3.14)0+|1−2|+(12)−1．
16. 先化简(1−1a−1)÷a−22+a−1a2−2a+1，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值．
17. 如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中，△AOB的顶点坐标分别为A(3,0)，O(0,0)，B(3,4)．
18. (1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1(不写作法，但要标出顶点字母)；
19. (2)将△AOB绕点O顺时针旋转90，画出旋转后的△A2O2B2(不写作法，但要标出顶点字母)；
20. (3)在(2)的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π)．

21. 中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．

22. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF．
23. (1)求证：△ODE≌△FCE；
24. (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程．

25. 为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：
26.
27. 频数分布统计表
组别
时间x(分钟)
频数
A
0≤x<20
6
B
20≤x<40
14
C
40≤x<60
m
D
60≤x<80
n
E
80≤x<100
4
根据统计图表提供的信息解答下列问题：
(1)频数分布统计表中的m=______，n=______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有多少人？
(4)若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率．
28. 阅读下列材料：
29. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
30. 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
31. 在Rt△BCD中，CD=asinB
32. 在Rt△ACD中，CD=bsinA
33. ∴asinB=bsinA
34. ∴asinA=bsinB
35. 根据上面的材料解决下列问题：
36. (1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
37. (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
38.

39. 如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是BD的中点，延长AD交BC的延长线于点E．
40. (1)求证：CE=CD；
41. (2)若AB=3，BC=3，求AD的长．

42. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
43. (1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；
44. (2)若四边形BCEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；
45. (3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y=kx+m(|k|<94)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−2022的倒数是：−12022．
故选：B．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．

2.【答案】B 
【解析】解：1 800 000 000=1.8×109，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3.【答案】D 
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

4.【答案】C 
【解析】解：A.a2⋅a3=a2+3=a5，因此选项A不符合题意；
B，2a2与3a3不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意；
C.(2a)2=4a2，因此选项C符合题意；
D.(a−1)2=a2−2a+1，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：x+1>0①x+3≤4②，
由①得：x>−1，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为−1<x≤1，
故选：D．
先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集．

6.【答案】A 
【解析】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学，
从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定，
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲，
故选：A．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：当k>0时，一次函数y=kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y=kx位于第一、三象限；
当k<0时，一次函数y=kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y=kx位于第二、四象限；
故选：D．
分k>0或k<0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k>0，图象经过第一、三象限，k<0，图象经过第二、四象限是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，

∴OB=OD，∠BOD=60°，CD=OA=2，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD=OB=1，
∵OD2+OC2=12+(3)2=4，CD2=22=4，
∴OD2+OC2=CD2，
∴∠DOC=90°，
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD=S△BOD+S△COD=34×12+12×1×3=334，
故选：C．
将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，可得△BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD=90°，从而解决问题．
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将△AOB与△BOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键．

9.【答案】(a−5)(a+5) 
【解析】解：原式=a2−52=(a+5)(a−5)．
故答案为：(a+5)(a−5)．
根据平方差公式分解即可．
此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10.【答案】25 
【解析】解：2，π是无理数，
P(恰好是无理数)=25．
故答案为：25．
先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键．

11.【答案】35° 
【解析】解：如图，

∵a//b，∠1=85°，
∴∠DCE=∠1=85°，
∴∠ACB=∠DCE=85°，
∵∠2=60°，∠ABC=∠2，
∴∠ABC=60°，
∴∠3=180°−∠ACB−∠ABC=35°．
故答案为：35°．
由平行线的性质可得∠DCE=∠1=85°，再由对顶角相等得∠ABC=∠2，∠ACB=∠DCE，再由三角形的内角和即可求解．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

12.【答案】−3 
【解析】解：给分式方程两边同时乘x(x−2)，
得5x=3(x−2)，
移项得5x−3x=−6，
合并同类项得2x=−6，
解得x=−3，
把x=−3代入x(x−2)中，−3×(−3−2)=15≠0，
所以x=−3是原分式方程的解．
故答案为：x=−3．
应用解分式方程的方法，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．进行计算即可得出答案．
本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方法进行求解是解决本题的关键．

13.【答案】34 
【解析】解：∵大正方形ABCD的面积是100，
∴AD=10，
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴小正方形EFGH的边长为2，
∴DF−AF=2，
设AF=x，则DF=x+2，
由勾股定理得，x2+(x+2)2=102，
解得x=6或−8(负值舍去)，
∴AF=6，DF=8，
∴tan∠ADF=AFDF=68=34，
故答案为：34．
根据两个正方形的面积可得AD=10，DF−AF=2，设AF=x，则DF=x+2，由勾股定理得，x2+(x+2)2=102，解方程可得x的值，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键．

14.【答案】201182 
【解析】解：a1=31×2×3=12=12×1+12−32×11+2；
a2=52×3×4=524=12×12+11+2−32×12+2；
a3=73×4×5=760=12×13+13+1−32×13+2；
…，
an=2n+1n(n+1)(n+2)=12×1n+1n+1−32×1n+2，
当n=12时，
原式=12(1+12+13+...+112)+(12+13+...+113)−32×(13+14+...+114)
=201182，
故答案为：201182．
通过探索数字变化的规律进行分析计算．
本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．

15.【答案】解：原式=2×22+1+2−1+2
=22+2． 
【解析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可．
本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提．

16.【答案】解：原式=a−2a−1⋅2a−2+a−1(a−1)2
=a−2a−1×2a−2+1a−1
=2a−1+1a−1
=3a−1；
因为a=1，2时分式无意义，所以a=3，
当a=3时，原式=32． 
【解析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键．

17.【答案】解：(1)如图，△A1O1B1即为所求；
(2)如图，△A2O2B2即为所求；
(3)在Rt△AOB中，OB=OA2+AB2=5，
∴l=90360×2π×5=52π．

【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A2，O2，B2即可；
(3)利用弧长公式求解．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．

18.【答案】解：设高铁的平均速度为x km/ℎ，则普通列车的平均速度为(x−200)km/ℎ，
由题意得：x+40=3.5(x−200)，
解得：x=296，
答：高铁的平均速度为296km/ℎ． 
【解析】设高铁的平均速度为x km/ℎ，由运行里程缩短了40千米得：x+40=3.5(x−200)，可解得高铁的平均速度为296km/ℎ．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

19.【答案】(1)证明：∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
又∵CF//BD
∴∠ODE=∠FCE，
在△ODE和△FCE中，
∠ODE=∠FCEDE=CE∠DEO=∠CEF，
∴△ODE≌△FCE(ASA)；
(2)解：四边形ODFC为矩形，证明如下：
∵△ODE≌△FCE，
∴OE=FE，
又∵CE=DE，
∴四边形ODFC为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODFC为矩形． 
【解析】(1)根据ASA即可证明△ODE≌△FCE；
(2)由(1)△ODE≌△FCE，可得OE=FE，证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．

20.【答案】18  8 
【解析】解：(1)抽取的总人数为：14÷28%=50(人)，
∴m=50×36%=18，
∴n=50−6−14−18−4=8，
故答案为：18，8；
(2)频数分布直方图补全如下：

(3)1000×8+450=240(人)，
答：估计书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生有240人；
(4)列表如下：

男1
男2
女1
女2
男1

(男1，男2)
(男1，女1)
(男1，女2)
男2
(男2，男1)

(男2，女1)
(男2，女2)
女1
(女1，男1)
(女1，男2)

(女1，女1)
女2
(女2，男1)
(女2，男2)
(女1，女2)

由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率=812=23．
(1)由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；
(2)由(1)的结果，补全频数分布直方图即可；
(3)由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上(含60分钟)的学生所占的比例即可；
(4)列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD=csinB，
在Rt△ACD中，AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，
∴bsinB=csinC；
(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC=67°，∠B=53°，
∴∠C=60°，
在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×32=403(m)，
又∵ACsinB=BCsin∠BAC，
即800.8=BC0.9，
∴BC=90m，
∴S△ABC=12×90×403=1803(m2). 
【解析】(1)根据题目提供的方法进行证明即可；
(2)根据(1)的结论，直接进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．

22.【答案】(1)证明：连接AC，

∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°，
又∵点C是BD的中点
∴∠CAE=∠CAB，CD=CB，
又∵AC=AC
∴△ACE≌△ACB(ASA)，
∴CE=CB，
∴CE=CD；
(2)解：∵△ACE≌△ACB，AB=3，
∴AE=AB=3，
又∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABE，
又∵∠E=∠E，
∴△EDC∽△EBA，
∴DEBE=CDAB，
即：DE23=33，
解得：DE=2，
∴AD=AE−DE=1． 
【解析】(1)连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理；
(2)通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．

23.【答案】解：(1)设二次函数表达式为：y=ax2+bx+3，
将A(1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+3得：
a+b+3=016a+4b+3=0，
解得，a=34b=154，
∴抛物线的函数表达式为：y=34x2−154x+3，
又∵−b2a=−−1542×34=52，4ac−b24a=4×34×3−(−154)24×34=−2716，
∴顶点为D(52,−2716)；
(2)依题意，t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3−t，点N的运动距离为EN=2t．
①当△EMN∽△OBC时，
∴3−t4=2t3，
解得t=911；
②当△EMN∽△OCB时，
∴3−t3=2t4，
解得t=65；
综上得，当t=911或t=65时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似；
(3)∵点P(52,0)关于点D(52,−2716)的对称点为点G，
∴G(52,−278)，
∵直线l：y=kx+m(|k|<94)与抛物线图象只有一个公共点，
∴34x2−154x+3=kx+m只有一个实数解，
∴Δ=0，
即：[−(154+k)]2−4×34⋅(3−m)=0，
解得：m=144−(4k+15)248，
利用待定系数法可得直线GA的解析式为：y=−94x+94，直线GB的解析式为：y=94x−9，
联立y=kx+144−(4k+15)248y=−94x+94，结合已知|k|<94，
解得：xH=4k+2112，
同理可得：xK=4k+3912，
则：GH=(52−xH)sin∠AGP=(52−4k+2112)×974，GK=(xk−52)sin∠BGP=(4k+3912−52)×974，
∴GH+GK=(52−4k+2112)×974+(4k+3912−52)×974=3978，
∴GH+GK的值为3978． 
【解析】(1)二次函数表达式可设为：y=ax2+bx+3，将A(1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标；
(2)根据t秒后点M的运动距离为CM=t，则ME=3−t，点N的运动距离为EN=2t.分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得3−t4=2t3，解得t=911；当△EMN∽△OCB时，得3−t3=2t4，解得t=65；
(3)首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y=kx+m(|k|<94)与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ=0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点H和K的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题．
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