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2022学年第一学期期中考试试卷
一､填空题（每题3分，共36分）
1. 已知集合，集合，则___________.
2. 若、是一元二次函数的两个实数根，则______.
3. 已知，则实数___________.
4. 对数表达式中的的取值范围是________
5. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
6. 若正实数，满足，则最小值为___________.
7. 若对一切恒成立，则实数取值范围为___________.
8. 函数必过定点___________.
9. 已知，，则可以用，表示为___________.
10. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________.
11. 函数的值域是________．
12. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形三边，则________.
二､选择题（每小题4分，共16分）
13. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则元素个数为
A. B. C. D.
15. 若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 、是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且
C. 是偶数，是奇数，且 D. 、是偶数，且
16. 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分48分）
17. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
18. 求下列不等式的解集：
（1）；
（2）.
19. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．
20. 已知函数．
（1）若不等式解集为，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．
21. 对正整数，记，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
2022学年第一学期期中考试试卷
一､填空题（每题3分，共36分）
1. 已知集合，集合，则___________.
【答案】
【分析】应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设.
故答案为：
2. 若、是一元二次函数的两个实数根，则______.
【答案】
【分析】利用韦达定理得出、的值，然后将代数式通分代值计算即可.
【详解】由韦达定理可得，，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.
3. 已知，则实数___________.
【答案】
【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可.
【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性；
当时，由上不符合，而时，此时集合为.
综上，.
故答案为：
4. 对数表达式中的的取值范围是________
【答案】
【分析】根据对数的定义可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可得，解得且，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查了对数式的定义，对数的底数大于零且不等于 、真数大于零，属于基础题.
5. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】由,画出数轴,表示出集合,即可求解
【详解】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下:
可得,
故答案为:
【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题
6. 若正实数，满足，则的最小值为___________.
【答案】16
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为16.
故答案为：16
7. 若对一切恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式求不等式左侧的最小值，根据恒成立即可得参数范围.
【详解】由，要使对一切恒成立，
所以.
故答案为：
8. 函数必过定点___________.
【答案】
【分析】根据对数函数的性质，令即可确定定点.
【详解】由对数的性质知：当时，
所以函数必过定点.
故答案为：
9. 已知，，则可以用，表示为___________.
【答案】
【分析】利用对数的运算性质和换底公式计算即可.
【详解】由，得，
因为，
所以
，
故答案为：.
10. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________.
【答案】
【分析】根据不等式的解集是，求得的值，从而求解不等式的解集，得到答案.
【详解】由题意，因为不等式的解集是，
可得，解得，
所以不等式为，
即，解得，
即不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11. 函数的值域是________．
【答案】
分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解.
【详解】，
，，
所以.
故答案为：
12. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________.
【答案】
【分析】
先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果.
【详解】由得或，
方程的判别式为，
方程的判别式为，
显然，
又集合中有且只有3个元素，
所以方程和共三个根，
且只能方程有两个根，方程有一个根；
即，即；
所以方程可化为，解得或，
方程可化为，解得，
则，
又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以，
解得，
则，因此.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.
二､选择题（每小题4分，共16分）
13. 已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.
【详解】若，，则，，则AB错误；
若，，则，则C错误；
，，又，，则D正确.
故选：D
14. 已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为
所以，
所以共有个元素，故选D．
15. 若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 、是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且
C. 是偶数，是奇数，且 D. 、是偶数，且
【答案】C
【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.
【详解】将分数指数式化为根式，，
由定义域为，值域为知为奇数，为偶数，故排除A、D，
又由幂函数，当时，图像在第一象限的部分下凸，
当时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.
16. 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分析、的性质，将问题化为与（）有4个交点，进而只需保证与（）相交求参数范围即可.
【详解】由开口向上且对称轴为，而恒过点，
所以的图象只需将函数值为负的部分翻折到x轴上方，
对应关于对称，当时图象在x轴上方，当时图象为x轴，当时图象在x轴下方，
所以要使与有4个交点，则.
综上，与的示意图象如下图：
当左侧与在上相交有4个交点，或在两侧与各有2个交点，
由图知：只需保证与（）相交即可，
令，则，故，
所以或.
故选：C
三､解答题（本大题共有5题，满分48分）
17. （1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于；
（2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析.
【分析】
（1）利用反证法即可证明.
（2）利用充分条件、必要条件定义即可得出结果.
【详解】（1）证明：假设，，，
则，这与矛盾，
所以a，b，c中至少有一个小于.
（2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于，
反之不一定成立，例如：，，，则，
所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件.
【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题.
18. 求下列不等式的解集：
（1）；
（2）.
【答案】（1）;
（2）
【分析】（1）利用分式不等式的解法，将其转化为，即可求解集；
（2）讨论、、，去绝对值符号求解集.
【小问1详解】
由题设，则，可得或，
所以不等式解集为.
【小问2详解】
由题设且，，
当时，不成立；
当时，恒成立；
当时，不成立；
综上，不等式解集为.
19. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行.
（1）求的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值．
【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元
【分析】根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值；
算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】由题意，设燃料费为，
当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元，
当时，，可得，解之得．
其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元．
航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元
因此，航行100海里的总费用为
，
当且仅当时，即时，
航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．
答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元．
【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．
20. 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围．
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3＝﹣1，由此求得a的范围；
（2）令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．
【详解】（1）∵函数f（x）＝|2x﹣a|+a，
不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），
∴|2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1，3），
由|2x﹣a|＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a﹣3≤x≤3，
故有a﹣3＝﹣1，a＝2．
（2）在（1）的条件下，f（x）＝|2x﹣2|+2，
令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4＝
故g（x）的最小值为8，
故使f（x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．
21. 对正整数，记，.
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.已知集合能分成两个不相交的稀疏集的并集，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）个；
（3）14个.
分析】（1）（2）应用表格列举出、即可；
（3）根据定义，首先证明时不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证明能分成两个不相交的稀疏集的并即可得解.
【小问1详解】
由题设，且，
1
2
3
所以.
【小问2详解】
由题意，且，
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
由上，其中重复的元素有1、2、3，故集合中元素的个数为个.
【小问3详解】
假设当时，能分成两个不相交的稀疏集的并集，
设，为不相交的稀疏集，使，
不妨设，显然，则，即，同理，，又推得，但，与为稀疏集矛盾，
于是当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并，即，
若，则时，可分成两个稀疏集之并，
事实上，只要取，，则，为稀疏集，且.
当时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面个两稀疏集：，，
当时中除正整数外剩下的数组成集，可分成下面两个稀疏集：，.
最后，集合且中的数均为无理数，它与中的任何其它数之和都不是整数，
则把且中的元素任意分成两个不相交的集合的并均可，不妨令稀疏集为与，
因此，令，，则和是不相交稀疏集，且，
综上，所求的最大值为14.
【点睛】思路点睛：涉及求符合某个条件的集合元素个数问题，充分利用集合元素的性质，特别是互异性，可以通过列举法列出特例元素，以排除重复元素.
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