2022北京大兴兴华中学高三三模数学(教师版).docx

2022北京大兴兴华中学高三三模
数 学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
4. 已知，是两个不同的平面，直线，则是的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
6. 已知为单位向量，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若把的图像向左平移个单位后为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
9. 已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D.
10. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中的系数为______．
12. 已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则______．
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于点，与轴交于点为坐标原点，且，则_______________________．
14. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.
15. 如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，…，，…．设的边长为1，图形的周长为．给出以下四个结论：①；②；③既有对称轴，也有对称中心；④若，则n的值最接近于16．以上正确结论的序号是______．（参考数据：，）

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角△ABC中，已知.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积．
17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．

（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
18. 某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）如下表所示：

（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品概率；
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
19. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.
20. 设函数，．
（1）当时，求在点处切线方程；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当时，．
21. 给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.
（1）若，，，，求数列；
（2）若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.
【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.
故选：A
3. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求.
【详解】因为双曲线的方程为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
又双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，所以，
故选：C.
4. 已知，是两个不同的平面，直线，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由面面垂直的性质以及判定判断即可.
【详解】若时，，当与，的交线不垂直时，与不垂直；
若是，，由面面垂直的判定可知，
故是的必要不充分条件
故选：B
5. 已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别对，，与特殊值或进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查判断对数的大小关系，属于简单题.
6. 已知单位向量，向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件求出和，然后利用向量的夹角公式可求出结果
【详解】因为为单位向量，向量，且，
所以，
，
所以，
因为，
所以，
故选：B
7. 已知函数，若把的图像向左平移个单位后为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左右平移原则可得解析式，根据奇偶性可得，结合的范围可求得结果.
【详解】由题意得：.
为偶函数，，解得：.
∵，
.
故选：D.
8. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（本题取）
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】经过天后，用户人数，根据题意可求得，由小程序发布经过10天后有2000名用户，可得，当用户达到50000名时有，根据对数运算，即可求得答案.
【详解】经过天后，用户人数
又小程序在发布时已有500名初始用户

又小程序发布经过10天后有2000名用户

即，可得
……①
当用户达到50000名时有
即，可得
……②
联立①和②可得，即
故
用户超过50000名至少经过的天数为34天
故选：D.
9. 已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件确定点的位置特征，由此列不等式求的范围.
【详解】设圆心的坐标为，
因为经过点，半径为1，
所以，故点在圆上，
又直线是的一条对称轴，
所以，故点在直线上
所以圆与直线有交点，
所以，
所以，所以，
所以k最大值为，
故选：D
10. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由得出是函数的一个零点，再由有两个不同的零点，得出a的取值范围.
【详解】，则是函数的一个零点
由，解得
要使得有两个不同的零点，则
故选：A
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的次数等于2，求出，从而可求出的系数
【详解】的展开式的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中的系数，
故答案为：
12. 已知数列的前n项和为，，，2，3，…，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知条件可得数列是以为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和求和公式可求得结果
【详解】因为，
所以，
所以数列是以为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
13. 已知抛物线焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于点，与轴交于点为坐标原点，且，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，即可得到为的中点，从而求出的纵坐标，再代入抛物线方程求出的横坐标，最后根据焦半径公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，根据抛物线的定义可知，设与轴相交于点，因为，又，所以，所以为的中点，所以即的纵坐标为，在中令，得，所以，所以
故答案为：

14. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果.
【详解】由题可知：
函数在区间上单调递减
等价于在恒成立
即在恒成立
则在恒成立
所以，
由，所以
故，则
所以，即
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到在恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.
15. 如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，…，，…．设的边长为1，图形的周长为．给出以下四个结论：①；②；③既有对称轴，也有对称中心；④若，则n的值最接近于16．以上正确结论的序号是______．（参考数据：，）

【答案】②③④
【解析】
【分析】观察图形,归纳图形的对称性和周长之间的关系，再进一步得到与第个图形的对称性及周长的解析式，由此判断各命题的对错.
【详解】第一个图形有中心对称，对称中心为其中心，有对称轴，对称轴为每条边的中线所在的直线，周长为，
第二个图形有对称中心和对称轴，其位置与图形一相同，在第一个图形的周长的基础上多了其周长的，
即既有对称轴，也有对称中心；周长，
第三个图形有对称轴和对称中心，其位置与图形一相同，在第二个的基础上多了其周长的，
所以既有对称轴，也有对称中心；周长，
第四个图形有对称轴和对称中心，其位置与图形一相同，在第三个的基础上多了其周长的，
所以既有对称轴，也有对称中心；周长，
……，
归纳可得既有对称轴，也有对称中心； ，
所以①错，③对，
，②对，
由可得，所以，
所以，
又，，
，④对，
故答案为：②③④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在锐角△ABC中，已知.
（1）求；
（2）若，，求△ABC的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得出，再由余弦定理得出；
（2）由得出，再由余弦定理结合锐角三角形的性质得出，最后由三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由余弦定理可得，整理得
所以
【小问2详解】
因为，，所以由可得
解得
当时，，此时为钝角，故（舍）
当时，，满足题意，故
所以
17. 如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．

（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
（2）选择①，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择②，根据直棱柱的定义及线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
选择③，根据直棱柱的定义及直线到平面的距离的定义，再利用线面垂直的性质定理和判定定理，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面的法向量，再利用向量的夹角公式，进而可以求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
取的中点为，连接.
分别是，的中点, .
D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点,
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点, ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作,垂足为，
直三棱柱，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点, ,所以是的中点, .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
18. 某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）如下表所示：

（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
【答案】（1）； （2）； （3）不合理，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据图表中的数据，得到合格品18个，不合格品有2个，即可求解；
（2）由（1）知合格品18个，不合格品有2个，利用组合数公式，即可求得含有不合格品的概率；
（3）根据题意，分别求得检测费用和100箱的罚钱总额，比较即可得到结论.
【详解】（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，
根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，
所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为.
（2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，
所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为.
（3）由题意，总检测费用为元，
每箱检测出不合格品的概率为，
每箱检测出1个不合格品的概率为，
每箱检测出2个不合格品的概率为，
每箱检测出3个不合格品的概率为，
则每箱罚钱的期望为：，
所以100箱罚钱的期望值为：元，
所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用.
19. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；
（2）联立直线与椭圆求得，再表示出直线AB，AC的方程，求得P､Q坐标，再计算即可.
【小问1详解】
由题意知：，则，，则椭圆M的方程为；
【小问2详解】
联立直线与椭圆，整理得，，
即，又直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则；
设，则，，，
易得直线AB，AC斜率必然存在，则，令，得，则，同理可得，且，
则.
20. 设函数，．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可.
（2）首先将问题转化为恒成立，设，再利用导数求出其最大值即可得到答案.
（3）首先将问题转化为，，设，利用导数求出，即可得到答案.
【小问1详解】
，，即切线.
，，则切线方程为：.
【小问2详解】
，恒成立等价于，恒成立.
设，，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，即.
【小问3详解】
，等价于，.
设，，，
设，，，
所以在为增函数，即，
所以，
即在为增函数，即，
即证：.
21. 给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.
（1）若，，，，求数列；
（2）若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；
（3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.
【答案】（1）

（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件先求出，将，，，代入：，，，即可求解；
（2）由，得到，进而有，再由得到即可；
（3）证明见解析.
小问1详解】
由题意时，，，，由，知，所以，，，，
故.
【小问2详解】
记数列的所有项和为S，
因为，且，所以，
则，故.
当，或，时取到等号，
所以当，或，时，S取到最大值，为.
【小问3详解】
“数列为常数列”的充要条件是（）证明如下：
先证充分性：
当（）时，，所以为常数列；
再证必要性：
当为常数列时，记，
设中有x个，则必有个，将数列的所有项相加得：，由，且m为奇数，所以，
所以，由得：，所以，
所以.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：
（1）仔细阅读，理解新定义的含义；
（2）根据新定义，对对应的知识进行再迁移
（3）正确阅读理解题干信息，抓住关键信息，转化为我们所熟悉的问题.

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