安徽省安庆市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷-Word版含解析.doc

2016-2017学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6}，则A∪（∁UB）=（　　）
A．{2，5} B．{2，5，7，8} C．{2，3，5，6，7，8} D．{1，2，3，4，5，6}
2．下列说法中正确的是（　　）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β=α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同
3．下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（　　）
A．y（x）=x•ex B． C． D．
4．点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数f（x）满足f（2x）=2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）=x2，则f（3）=（　　）
A． B． C． D．9
6．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（　　）
A． ﹣ B．﹣+ C．2﹣ D．﹣﹣2
7．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
8．若，则的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．±2 D．
9．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（　　）
A． B． C． D．
10．的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
11．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（　　）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
12．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（﹣∞，﹣1]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知平面向量与满足，，则=　　．
14．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则的值等于　　．

15．若锐角α，β满足，则α+β=　　．
16．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于　　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知||=4，||=8，与夹角是120°．
（1）求的值及||的值；
（2）当k为何值时，？
18．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，
（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）=
（1）在下表中画出该函数的草图；
（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．

20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为π，
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）若f（x）的图象过点（，），求f（x）的单调递增区间．
21．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）
（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且函数f（x）有且只有一个零点，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈（﹣1，2）时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
22．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α﹣tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的值域．

2016-2017学年安徽省安庆市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6}，则A∪（∁UB）=（　　）
A．{2，5} B．{2，5，7，8} C．{2，3，5，6，7，8} D．{1，2，3，4，5，6}
【考点】并集及其运算．
【分析】先求出CUB，再由并集能求出A∪（∁UB）．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6}，
∴CUB={2，5，7，8}，
∴A∪（∁UB）={2，3，5，6，7，8}．
故选：C．

2．下列说法中正确的是（　　）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β=α+k•360°（k∈Z），则α和β终边相同
【考点】象限角、轴线角；终边相同的角．
【分析】分别由象限角、锐角、终边相同角的概念注意核对四个选项得答案．
【解答】解：∵三角形的内角可以是90°，90°不是第一、二象限角，∴A错误；
390°是第一象限角，不是锐角，∴B错误；
30°≠390°，但终边相同，∴C错误；
由终边相同的角的集合可知D正确．
故选：D．

3．下列函数中，与函数的定义域相同的函数是（　　）
A．y（x）=x•ex B． C． D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据常见函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，
对于A，y（x）的定义域是R，
对于B，函数的定义域是{x|x≠0}，
对于C，函数的定义域是：{x|x≠kπ，k∈Z}，
对于D，函数的定义域是{x|x＞0}，
故选：B．

4．点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】根据三角函数诱导公式，化简sin2017°=sin217°，cos2017°=cos217°；
即可判断点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上的位置．
【解答】解：2017°=5×360°+217°，为第三象限角，
∴sin2017°=sin217°＜0，
cos2017°=cos217°＜0；
∴点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于第三象限．
故选：C．

5．已知函数f（x）满足f（2x）=2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）=x2，则f（3）=（　　）
A． B． C． D．9
【考点】函数的值．
【分析】由已知利用函数的性质得f（3）=2f（）=2×=．
【解答】解：∵函数f（x）满足f（2x）=2f（x），且当1≤x＜2时，f（x）=x2，
∴f（3）=2f（）=2×=．
故选：C．

6．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于（　　）
A． ﹣ B．﹣+ C．2﹣ D．﹣﹣2
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】如图，计算即可．
【解答】解：∵2+=，∴点A、B、C共线，且A为BC中点，
则点O的位置有5种情况，如图：
（1）∵，∴；
（2）=+2（）=；
（3）=+2（）=；
（4）=+2（）=；
（5）=+2（）=；
故选：C．

7．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】偶函数．
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a．
【解答】解：依题意得：f（﹣x）=f（x），∴b=0，又 a﹣1=﹣2a，∴a=，
∴a+b=．
故选 B．

8．若，则的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．±2 D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知利用二倍角正弦求得sin2θ=1，cos2θ=0，再化切为弦，通分后求得的值．
【解答】解：∵，
∴，则sin2θ=1，∴cos2θ=0．
∴=
==0．
故选：B．

9．幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y=f（x）的图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】幂函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．
【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【解答】解：设幂函数的解析式为y=xa，
∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴2=4a，
解得a=
∴，其定义域为[0，+∞），且是增函数，
当0＜x＜1时，其图象在直线y=x的上方．对照选项．
故选C

10．的值为（　　）
A．﹣ B． C． D．﹣
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】首先根据诱导公式sin110°=sin（90°+20°）=cos20°，cos2155°﹣sin2155°=cos310°，然后利用二倍角公式和诱导公式得出cos20°sin20°=sin40°，cos310°=cos=cos50°，即可求出结果．
【解答】解：原式====
故选B．

11．函数y=1﹣2sin2（x﹣）是（　　）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式为y=﹣sin2x，从而得出结论．
【解答】解： =cos（2x﹣）=cos（﹣2x）=﹣sin2x，
故函数y是最小正周期为π的奇函数，
故选：A．

12．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．（﹣∞，﹣1]
【考点】分段函数的应用；函数的值域．
【分析】利用分段函数的单调性，结合函数的值域．列出不等式求解即可．
【解答】解：函数的值域为R，
可得：1﹣2a＞0并且1﹣2a+3a≥0，
解得﹣1≤a．
故选：A．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知平面向量与满足，，则=　（﹣6，19）　．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据向量的坐标运算法则计算即可．
【解答】解：由平面向量与满足，，
则=3（2，1）+4（﹣3，4）=（6，3）+（﹣12，16）=（﹣6，19），
故答案为：（﹣6，19）

14．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则的值等于　2　．

【考点】函数的值．
【分析】先求出f（3）=1，从而=f（1），由此能求出结果．
【解答】解：函数f（x）的图象是曲线OAB，
其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），
∴f（3）=1，
=f（1）=2．
故答案为：2．

15．若锐角α，β满足，则α+β=　　．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由题意和两角和的正切函数求出tan（α+β），由α和β的范围求出α+β的范围，由特殊角的三角函数值求出α+β的值．
【解答】解：∵，
∴=，
∵α、β是锐角，∴0＜α+β＜π，
则α+β=，
故答案为：．

16．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于　6　．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】当﹣2≤x≤1和1＜x≤2时，分别求出函数f（x）的表达式，然后利用函数单调性求出函数f（x）的最大值．
【解答】解：新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，
知当﹣2≤x≤1时，f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x﹣2；
当1＜x≤2时，f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x）=x3﹣2，
又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，
∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．
故答案为：6．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知||=4，||=8，与夹角是120°．
（1）求的值及||的值；
（2）当k为何值时，？
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；
（2）由于， •=0，展开即可得出．
【解答】解：（1）=cos120°==﹣16．
||===4．
（2）∵，∴•=+=0，
∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，
化为k=﹣7．
∴当k=﹣7值时，．

18．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，
（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．
【分析】（1）将a=0代入集合A中确定出解集，求出A与B的交集即可；由全集R求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；
（2）由A与B的并集为B，得到A为B的子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：（1）当a=0时，A={x|0≤x≤8}，
∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集为R，
∴A∩B={x|5＜x≤8}，∁RB={x|﹣1≤x≤5}，
则A∪∁RB={x|﹣1≤x≤8}；
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
∴a+8＜﹣1或a＞5，
解得：a＜﹣9或a＞5．

19．已知函数f（x）=
（1）在下表中画出该函数的草图；
（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】（1）根据函数的解析式画出函数的图象．
（2）结合函数的图象求出的值域、单调增区间及零点．
【解答】解：（1）函数草图，如图所示：
f（x）=x2﹣1（x＜1）过点（0，﹣1），（﹣1，0），
显然f（x）=x2﹣1（x＜1）与都过点（1，0），
且过点（2，﹣1）．
（2）y=f（x）的值域为R，y=f（x）的单调增区间：[0，1]，
y=f（x）的零点为x1=﹣1，x2=1．

20．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为π，
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）若f（x）的图象过点（，），求f（x）的单调递增区间．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（1）依题意知T=π，ω=2，当f（x）=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+（k∈Z），又0＜φ＜，于是可求得φ的值；
（2）由f（）=sin（+φ）=及0＜φ＜可求得φ=，从而可求得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）∵T=π，
∴ω==2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∴当f（x）=sin（2x+φ）为偶函数时，
φ=kπ+（k∈Z），又0＜φ＜，
∴φ=；
（2）∵f（）=sin（+φ）=，
又0＜φ＜，
∴＜φ+＜π，
∴φ+=，
解得φ=，
∴f（x）=sin（2x+）；
由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．

21．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）
（1）若函数f（x）的图象过点（﹣2，1），且函数f（x）有且只有一个零点，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈（﹣1，2）时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）由题意可得f（﹣2）=1，函数f（x）有且只有一个零点，所以△=0，解方程可得a，b，进而得到f（x）的表达式；
（2）求出g（x）的表达式，配方，求得对称轴，讨论函数单调递减和递增，区间与对称轴的关系，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）因为f（﹣2）=1，即4a﹣2b+1=1，所以b=2a
因为函数f（x）有且只有一个零点，所以△=b2﹣4a=0，
所以4a2﹣4a=0，所以a=1，b=2．
所以f（x）=（x+1）2；
（2），
由g（x）的图象知，要满足题意，
则或，即k≥6或k≤0，
∴所求实数k的取值范围为（﹣∞，0]∪[6，+∞）．

22．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．
（1）求sin2α﹣tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值．
【分析】（1）根据三角函数的新定义求解sinα，tanα，利用二倍角求解sin2α，可得sin2α﹣tanα的值；
（2）根据f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求解f（x），再求解g（x），根据区间上求出内层范围，结合三角函数的性质求解值域．
【解答】解：（1）∵角α的终边经过点，
∴，
∴．
（2）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R，
则f（）=cos（）
∴
∵，
∴
∴，
∴
故函数在区间上的值域是[﹣2，1]．

2017年3月10日

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