2020-2022全国高考真题数学汇编：指数函数与对数函数.docx

2020-2022全国高考真题数学汇编
指数函数与对数函数
一、单选题
1．（2022·天津·高考真题）化简的值为（               ）
A．1 B．2 C．4 D．6
2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（       ）
A．25 B．5 C． D．
3．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（       ）
A． B．
C． D．
5．（2021·天津·高考真题）若，则（       ）
A． B． C．1 D．
6．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（       ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中是增函数的为（       ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（       ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
9．（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（       ）
A． B．
C． D．
10．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）
A． B． C． D．
11．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
12．（2020·天津·高考真题）设，则的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
13．（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
14．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）．
A． B．
C． D．
15．（2020·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （       ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
16．（2020·全国·高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（       ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
17．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
18．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（       ）
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
19．（2020·全国·高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
20．（2020·全国·高考真题（文））设，，，则（       ）
A． B． C． D．
21．（2020·全国·高考真题（文））设，则（       ）
A． B． C． D．
22．（2020·全国·高考真题（理））若，则（       ）
A． B． C． D．
23．（2020·全国·高考真题（理））设函数，则f(x)（       ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
二、双空题
24．（2022·全国·高考真题（文））若是奇函数，则_____，______．
三、填空题
25．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
26．（2020·山东·高考真题）若，则实数的值是______.
27．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是____________．

参考答案
1．B
【解析】
根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】
原式
，
故选：B
2．C
【解析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】
因为，，即，所以．
故选：C.
3．A
【解析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
4．C
【解析】
直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】
，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
5．C
【解析】
由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】
，，
.
故选：C.
6．B
【解析】
由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
7．D
【解析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
8．C
【解析】
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
9．B
【解析】
根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
10．B
【解析】
根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
11．D
【解析】
首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】
由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】
在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
12．D
【解析】
利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】
因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
13．D
【解析】
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

【点晴】
本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
14．D
【解析】
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【点睛】
本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
15．B
【解析】
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
16．B
【解析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
17．A
【解析】
将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】
由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
18．A
【解析】
由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】
本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
19．C
【解析】
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】
，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
20．A
【解析】
分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】
因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】
本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
21．B
【解析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】
由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
22．B
【解析】
设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】
本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
23．D
【解析】
根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
24．     ；     ．
【解析】
根据奇函数的定义即可求出．
【详解】
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
25．
【解析】
设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】
设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
26．
【解析】
根据对数运算化简为，求解的值.
【详解】
，
即，解得：.
故答案为：
27．
【解析】
根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】
由题意得，
故答案为：
【点睛】
本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

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