2021北京一六一中学高一(上)期中数学(教师版).docx

2021北京一六一中学高一（上）期中
数 学
一、选择题：本大题共10道小题，1-10题，每小题4分，共40分在。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求。把正确答案涂写在答题卡上相应的位置。
1．（4分）若全集，，则　　
A．，或 B．，或 C． D．，或
2．（4分）命题，，则命题的否定是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（4分）下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是　　
A． B． C． D．
4．（4分）　　
A． B． C．4 D．
5．（4分）已知如非零实数，，满足：，下列不等式中一定成立的有　　
①
②
③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（4分）已知方程的两根为，，则的值为　　
A．10 B．13 C．16 D．22
7．（4分）“”是“”成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）若函数，则函数的值域为　　
A．， B．， C．，， D．
9．（4分）若，，为三个集合，，则一定有　　
A． B． C． D．
10．（4分）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在的保鲜时间是8小时；
②当，时，该食品的保鲜时间随着增大而逐渐减少；
③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．
其中，所有正确结论的序号是　　

A．① B．①④ C．②③ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。把答案填在答题纸中相应的横线上。
11．（5分）函数的定义域为 　　．
12．（5分）已知函数，则（4）　　．
13．（5分）已知，对，都成立，则实数的取值范围是 　　．
14．（5分）将函数的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，则函数的解析式为 　　，的零点为 　　．
15．（5分）地铁某换乘站设有编号为，，，，的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：
安全出口编号
，
，
，
，
，
疏散乘客时间
120
220
160
140
200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　　．
三、解答题，本大题共6道题，共85分.请在答题卡的相应位置写出解答过程
16．（13分）关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（Ⅰ）若，
（ⅰ）求集合；
（ⅱ）求；
（Ⅱ）当时，若，求的取值范围．
17．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅲ）求证：函数在上单调递减．
18．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求关于的不等式的解集；
（Ⅱ）区间，的长度定义为．当时，区间．
（ⅰ）求区间的长度；
（ⅱ）求的长度的最大值．
19．（14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）
20．（15分）已知二次函数满足，且．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，，，求的最小值；
（Ⅲ）当，时，方程有解，求实数的取值范围．
21．（15分）对于给定的数集．若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合．
（Ⅰ）判断集合，，0，2，，，是否为闭集合并说明理由；
（Ⅱ）若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
（Ⅲ）若集合，为闭集合，且，．证明：．

参考答案
一、选择题：本大题共10道小题，1-10题，每小题4分，共40分在。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求。把正确答案涂写在答题卡上相应的位置。
1．【分析】由已知直接利用补集运算得答案．
【解答】解：全集，，
，或．
故选：．
【点评】本题考查补集及其运算，是基础题．
2．【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题，，则命题的否定是：，．
故选：．
【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
3．【分析】利用基本初等函数的性质，依次判断四个选项即可．
【解答】解：对于，函数为偶函数，故选项错误；
对于，函数在上单调递减，在上单调递增，故选项错误；
对于，函数是奇函数，又在上单调递增，故选项正确；
对于，函数为非奇非偶函数，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
4．【分析】根据已知条件，结合有理数指数幂及根式计算公式，即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题主要考查有理数指数幂及根式计算公式，属于基础题．
5．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可得结论．
【解答】解：若，则，，，故①不一定成立；
因为非零实数，，满足：，所以，故②一定成立；
，当或时，，即，
当时，，即，故③不一定成立，
故不等式中一定成立的有1个．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
6．【分析】利用韦达定理结合完全平方公式求解．
【解答】解：由韦达定理可得，，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了韦达定理和完全平方公式的应用，是基础题．
7．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若，则，则成立，即充分性成立，
若当时，成立，但不成立，即必要性不成立，
即“”是“”成立的充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
8．【分析】根据分段函数的解析式即可求出每段上的范围，然后即可得出的值域．
【解答】解：时，；时，，
的值域为：．
故选：．
【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．
9．【分析】本题可通过判断集合，，之间的关系进行判断，具体过程详见解析．
【解答】解：假设集合，
则有，且，
又因为，
所以，，
由此可见，．
故选：．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，以及集合运算，属于简单题．
10．【分析】利用已知的函数关系式，将代入解析式，求出的值，然后依次判断四个选项即可．
【解答】解：因为食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系，且该食品在的保鲜时间是16小时，
当的保鲜时间是16小时，
则，解得，
对于①，当时，，故选项①正确；
对于②，当，时，时间不变，故选项②错误；
对于③，由已知可得，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是4小时，
到11时，该食品的保鲜时间是小时，
到12时，该食品的保鲜时间是1小时，
所以到13点时，过了保鲜时间，故选项③错误；
对于④，由已知可知，在上午10点购买的该食品的保鲜时间是4小时，
到11时，该食品的保鲜时间是小时，
到12时，该食品的保鲜时间是1小时，
所以到14点时，已经过了保鲜时间，故选项④正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分。把答案填在答题纸中相应的横线上。
11．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，得，
得，
即函数的定义域为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题．
12．【分析】利用已知的解析式，代入求解即可．
【解答】解：因为函数，
则（4）（3）（2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数求值，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
13．【分析】分和两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可．
【解答】解：因为，对，都成立，
即对都成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得．
综上所述，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．
14．【分析】根据函数图像变换规律直接写出函数的解析式，再求出定义域，解方程即可得到函数的零点．
【解答】解：函数的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，
，，，
由得，
解得，
的零点为3，
故答案为：，3．
【点评】本题主要考查了函数图像的变换，考查了函数的零点，是基础题．
15．【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果
【解答】解：同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
得到疏散乘客比快；
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
得到疏散乘客比快；
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
得到疏散乘客比快；
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
同时开放、两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为，
得到疏散乘客比快．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，是基础题．
三、解答题，本大题共6道题，共85分.请在答题卡的相应位置写出解答过程
16．【分析】（Ⅰ），（ⅰ）通过分式不等式的解法求集合；
（ⅱ）利用绝对值不等式的解法求解，然后求；
（Ⅱ）先求出集合和集合，再利用，即可求出的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）当时，关于的不等式即为，
解得：，
所以集合．
（ⅱ）不等式的解集为，
．
（Ⅱ）解不等式得：，
即集合，
不等式化为不等式得：，
即集合，
，
，
故的取值范围为：．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了集合间的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
17．【分析】（Ⅰ）直接带入求值即可．
（Ⅱ）根据奇函数的定义进行证明判断，
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）函数的定义域为，
则，则是奇函数．
（Ⅲ）证明：，
设，
则，
，
，则，
即，即函数在上为减函数．
【点评】本题主要考查函数性质的考查，利用是奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是基础题．
18．【分析】（Ⅰ）分，，三种情况，解不等式即可．
（Ⅱ）直接根据区间长度的定义求解．根据基本不等式求区间长度的最大值．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，可得，即，
当时，，所以解得，
当时，，所以解得，
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
（Ⅱ）由（1）知时，，，
所以区间的长度为．
，
，当且仅当即时，等号成立，
的长度的最大值．
【点评】本题主要考查了含参的一元二次不等式的解法，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
19．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元；
（2）前100件单价为，当进货件数大于等于550件时，，则当时，得到为分段函数，写出解析式即可；
（3）设销售商的一次订购量为个时，工厂获得的利润为元，表示出与的函数关系式，然后令，1000即可得到对应的利润．
【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
（2）当时，
当时，
当时，
所以
（3）设销售商的一次订购量为个时，工厂获得的利润为元，
则
当时，；当时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
【点评】本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力．
20．【分析】根据题意，可使用待定系数法求解得出函数的解析式，具体过程详见解析；由中结果确定函数的解析式，然后利用二次函数的性质求解得出函数的最小值，具体过程详见解析；根据题意，当，时，方程有解，然后转化为有解，此时可构造函数，则函数在，上有零点，具体过程详见解析．
【解答】解：根据题意设，则有，
故可得，
所以，
化简可得，即得，
解之可得，，
故有函数的解析式为；
根据题意可得，，，，
根据二次函数的性质可知，的图象开口向上，对称轴为，
则有①当时，即时，函数在，上单调递增，此时可得函数的最小值为；
②当时，即时，函数在，上的最小值为；
③当，即时，函数在，上单调递减，此时可得函数的最小值为．
综上可得，的最小值为．
根据题意当，时，方程有解，即方程在，上有解，
即得函数与直线在，上有交点，
又因为函数的对称轴为，所以函数在，上单调递减，
即得在，上的值域为，，
由上可得，，．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的使用，以及函数零点与方程解的关系的使用，属于中档题．
21．【分析】（Ⅰ）利用闭集合的定义，分别判断集合，即可；
（Ⅱ）利用闭集合的定义，判断即可；
（Ⅲ）利用反证法，假设，利用闭集合的定义进行推理，得出矛盾，从而证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：不是闭集合，是闭集合．证明如下：
因为，，但是，
所以不是闭集合；
任取，，
设，，，，
则且，
所以，
故是闭集合．
（Ⅱ）解：不一定．理由如下：
令，，，，
由（1）可知，，为闭集合，
但2，，，
因此，不一定是闭集合；
（Ⅲ）证明：（反证法）若，
因为，则存在且，
同理，因为，则存在且，
故，
因为，
所以或，
若，则由为闭集合，，可得，这与矛盾，
若，则由为闭集合，，可得，这与矛盾．
综上所述，假设不成立，
所以存在，使得，即．
【点评】本题考查了集合的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
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