2012-2021北京中考真题数学汇编：一元二次方程.docx

2012-2021北京中考真题数学汇编
一元二次方程
一、填空题
1．（2012·北京·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
2．（2015·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=________，b=________．
3．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
二、解答题
4．（2013·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
5．（2014·北京·中考真题）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
     （1）求证：方程总有两个实数根；
     （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
6．（2016·北京·中考真题）关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2－1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
7．（2018·北京·中考真题）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
8．（2017·北京·中考真题）已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围
9．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
10．（2019·北京·中考真题）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

参考答案
1．－1
【分析】
根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式．
2．     4     2
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，
∴
∴b2-a=0，
∴a=b2，
当b=2时，a=4， 故b=2，a=4时满足条件．
故答案为4，2（答案不唯一）
3．1
【分析】
由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式△=0，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
4．（1）k＜（2）2
【分析】
（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：k＜．
（2）∵k为k＜的正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
5．（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2．
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【详解】
（1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
6．（1）m＞－；（2）x1=0，x2=－3．
【详解】
试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△==4m+5＞0，
解得：m＞；
（2）m=1，此时原方程为+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：=0，=﹣3．
考点：根的判别式；解一元二次方程——因式分解法；解一元一次不等式．
7．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【详解】
分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
8．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）证出根的判别式即可完成；
（2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围.
【详解】
（1）证明：

∴方程总有两个实数根
（2）
∴
∴
∵方程有一个小于1的正根
∴
∴
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.
9．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．
【详解】
（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
10．，此时方程的根为
【分析】
直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】
解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
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