2021北京高三(上)期中数学汇编：函数.docx

2021北京高三（上）期中数学汇编
函数
一、单选题
1．（2021·北京师大附中高三期中）已知定义在上的函数，给出下列四个结论：
①存在使得；                    
②有且只有两个使得；
③不存在使得；      
④有且只有两个使得，其中所有错误结论的序号是（    ）
A．①③ B．①② C．①②④ D．③④
2．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（    ）．
A．已知，，且，则
B．已知，，则存在实数，使得
C．已知，若，则对任意，都有
D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得
3．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2021·北京市第三中学高三期中）若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
5．（2021·北京四中高三期中）定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，，，，则，，大小关系是（    ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京一七一中高三期中）下列函数中，同时满足：①图像关于轴对称；②，的是
A． B． C． D．
7．（2021·北京师大附中高三期中）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是             
A． B．
C． D．
8．（2021·北京·新农村中学高三期中）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
9．（2021·北京市第十三中学高三期中）下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是
A． B． C． D．
10．（2021·北京·东直门中学高三期中）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
年月日

年月日

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）A．升 B．升 C．升 D．升
二、填空题
11．（2021·北京市第二十二中学高三期中）函数的定义域是__________．
12．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是__________.
13．（2021·北京市第二十二中学高三期中）若函数，则__________.
14．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）函数的定义域是_________．
三、双空题
15．（2021·北京师大附中高三期中）函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．

①当时，y的取值范围是______；
②如果对任意 (b <0)，都有，那么b的最大值是______．
16．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）设函数的周期是3，当时，
①__________；
②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是__________．

参考答案
1．A
【分析】对①，解方程即可判断①错误，对②，解方程即可判断②正确，对③，根据即可判断③错误，对④，根据②即可判断④正确.
【详解】对①，当，令，
得，解得（舍去）或（舍去），
当，令，
得，解得（舍去），
故不存在使得，故①错误.
对②，当，令，即，解得，
当，令，即，解得.
所以有且只有两个使得，故②正确；
对③，当时，
所以，
故存在使得，故③错误；
对④，由②知：有且只有两个使得；
所以有且只有两个使得，故④正确.
故选：A
2．D
【分析】由求得的值可判断A；讨论，，，，时解不等式可判断B；取，，可判断C；当时可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为，，可得，故选项A不正确；
对于B：假设存在实数，使得，若，则此时无解，当时，此时无解，当即时，当时，此时无解，当时，此时无解，当时，无解，所以不存在实数，使得，故选项B不正确；
对于C：取，，则满足，则对任意，都有不成立，故选项C不正确；
对于D：因为，，当时，，可得，故选项D正确；
故选：D.
3．B
【解析】根据解析式可直接判断出奇偶性和单调性.
【详解】对于A，在有增有减，故A错误；
对于B，既是奇函数又在上单调递增，故B正确；
对于C，不是奇函数，故C错误；
对于D，是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．C
【解析】由函数是上的减函数，列出不等式，解出实数的取值范围．
【详解】因为是上的减函数，故，故，
故选：C
【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．
5．D
【分析】先根据条件推断出函数为以2为周期的函数，根据是偶函数，在上单调递增推断出在上是减函数，进而利用周期性使，，，进而利用自变量的大小求得函数的大小，则a，b，c的大小可知．
【详解】由条件，可以得：，
所以是个周期函数，周期为2，
又因为是偶函数，且在上单调递增，所以在[0，1]上是减函数，
则，，，
，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了函数单调性，周期性和奇偶性的应用．考查了学生分析和推理的能力．
6．B
【解析】根据题意得到为偶函数，且在区间为增函数.依次判断选项的奇偶性和单调性即可.
【详解】由题知：①图像关于轴对称，则为偶函数，
②，，
在为增函数.
选项：，为奇函数，故错误.
选项：，为偶函数，且在区间为增函数，故正确.
选项：，为偶函数，且在区间有增有减，故错误.
选项：，为非奇非偶函数，故错误.
故选：
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性为解题的关键，属于简单题.
7．A
【详解】对于A,,是偶函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于B, 对于既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C, 是奇函数，不合题意；对于D,在区间上单调递减，不合题意，只有合题意，故选A.
8．B
【详解】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
9．C
【详解】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C．
考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．
10．B
【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
考点：平均变化率.
11．且##
【分析】根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．
【详解】要使函数有意义，则，得，
即且，即函数的定义域为且．
故答案为：且．
12．，，（答案不唯一）
【分析】根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.
【详解】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，
可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，
函数，符合，
故答案为：，，（答案不唯一）.
13．1
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入逐次运算，即可求解.
【详解】∵函数，
∴.
故答案为：1.
14．
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
15．         
【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．
②当x≥0时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y=1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．
【详解】由图象可知，当时，函数在上的最小值，
当时，函数在上的最小值，
所以当，函数的值域为；
当时，函数，当时，函数，
当时，或，
又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以对于任意，要使得，则，或，
则实数的最大值是．
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利用特殊点法来判断图象．本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象．总之，有关函数的图象判断题，利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解．
16．         
【详解】①函数的周期是3，所以;
②当时，为增函数，所以,
当时，为减函数，所以.
若有最小值，且无最大值，则，解得.
实数的取值范围是.

8 / 8