2020年高考数学一轮(江苏理)-第2章-2-1-第1课时-函数及其表示.docx

考试内容
等级要求
函数的概念
B
函数的基本性质
B
指数与对数
B
指数函数的图象与性质
B
对数函数的图象与性质
B
幂函数
A
函数与方程
B
函数模型及其应用
B
§2.1　函数及其表示
考情考向分析　以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．

1．函数与映射

函数
映射
两个集合A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应法则f：A→B
如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应
如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应
名称
称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数
称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B

2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
概念方法微思考
请你概括一下求函数定义域的类型．
提示　(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(　×　)
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数．(　×　)
(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　√　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(　×　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P26练习T6]函数f(x)＝的定义域是________．
答案　(－∞，1)∪(1,4]
3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]
题组三　易错自纠
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
答案　③
解析　对于③，因为当x＝4时，y＝×4＝∉Q，
所以③不是从P到Q的函数．
5．已知f()＝x－1，则f(x)＝____________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，
即f(x)＝x2－1(x≥0)．
6．设函数f(x)＝则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为____________．
答案　(－∞，－2]∪[0,10]
解析　∵f(x)是分段函数，
∴f(x)≥1应分段求解．
当x<1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，
∴x≤－2或0≤x<1.
当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，
即≤3，∴1≤x≤10.
综上所述，x≤－2或0≤x≤10，
即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．

第1课时　函数的概念与解析式
题型一　函数的概念
1．已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．
解　由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k→3k＋1.
由a4≠10，故a2＋3a＝10，解得a＝2或a＝－5(舍去)，
所以a4＝16.
于是3k＋1＝16，所以k＝5.
2．有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1表示同一函数；
③若f(x)＝|x－1|－|x|，则f ＝0.
其中判断正确的序号是________．
答案　②
解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故②正确；
对于③，由于f＝－＝0，
所以f ＝f(0)＝1，故③不正确．
综上可知，正确的判断是②.
3．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．
∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1时满足题意．
思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．
题型二　求函数的解析式
例1　(1)设二次函数y＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝，求f(x)的解析式．
解　(1)方法一　由f(3)＝f(－1)，知抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝1，
故设f(x)＝a(x－1)2＋13(a<0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a＝－2.
故f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.
方法二　由f(3)＝f(－1)＝5，
可设f(x)－5＝a(x－3)(x＋1)(a<0)，
即f(x)＝a(x2－2x－3)＋5＝a(x－1)2－4a＋5，
故－4a＋5＝13，得a＝－2，
从而f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.
(2)令＝t，因＝－1＋≠－1，
故t≠－1，且x＝.
由f ＝，
得f(t)＝＝(t≠－1)．
于是得f(x)＝，其定义域是{x|x≠－1}．
思维升华 函数解析式的求法
(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________.
答案　2x2－x＋1
解析　设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＋a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c＝16x2－4x＋6，
可得解得
则f(x)＝2x2－x＋1.
(2)已知f(3x＋1)＝2x2－x＋3，则f(1－x)＝________________.
答案　＋＋3
解析　令3x＋1＝t，于是x＝，
得f(t)＝22－＋3
＝－＋，
所以f(x)＝－＋，
所以f(1－x)＝－＋
＝＋＋3.

题型三　分段函数

命题点1　求分段函数的函数值
例2 (1)已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝________.
答案　2
解析　由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
(2)已知函数f(x)＝则f(2＋log32)的值为________．
答案　
解析　∵2＋log31<2＋log32<2＋log33，即2<2＋log32<3，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又3<3＋log32<4，∴f(3＋log32)＝＝3×＝×＝×＝×＝×＝，∴f(2＋log32)＝.
命题点2　分段函数与方程、不等式问题
例3　已知函数f(x)＝满足f(c2)＝.
(1)求常数c的值；
(2)解不等式f(x)>＋1.
解　(1)因为0<c<1，所以c2<c.
由f(c2)＝，得c3＋1＝，所以c＝.
(2)由(1)得f(x)＝
当0<x<时，由x＋1>＋1，
解得<x<；
当≤x<1时，由2－4x＋1>＋1，
解得≤x<.
所以不等式的解集为.
思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路
①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路
依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．
跟踪训练2 (1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
答案　－
解析　当a>0时，1－a<1,1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，
可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，
解得a＝－，不合题意；
当a<0时，1－a>1,1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)，可得
－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，
解得a＝－，符合题意．综上，a＝－.
(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
解析　方法一　①当即x≤－1时，f(x＋1)<f(2x)即为2－(x＋1)<2－2x，
即－(x＋1)<－2x，
解得x<1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1<x≤0时，f(x＋1)<f(2x)即1<2－2x，解得x<0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，0)．
方法二　∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．

由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)<f(2x)转化为x＋1>2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)<f(2x)．
此时－1<x<0.
综上，不等式f(x＋1)<f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．

1．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，那么可建立从A到B的映射个数是________，从B到A的映射个数是________．
答案　8　9
解析　依题意，建立从A到B的映射，即集合A中的每一个元素在集合B中都能找到对应元素，从而从A到B的映射个数为23＝8，从B到A的映射个数是32＝9.
2．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个．
答案　9
解析　列举法：定义域可能是{1,2}、{－1,2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2,2}、{－1，－2,2}、{－1,1,2}、{－1,1，－2}、{－1,1，－2,2}．
3．(2019·江苏省扬州中学月考)已知函数f(x)＝，x∈R，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
答案　－
解析　因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数，
则f(－a)＝－f(a)＝－.
4．给出下列三个函数：①f(x)＝1－x2；②f(x)＝log2x；③f(x)＝.其中以实数2为函数值的函数是________．(填序号)
答案　②
解析　逐一验证方程f(x)＝2在其定义域内是否有解．
5．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥1)
解析　令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
6．已知函数f(x)＝则f 的值是________．
答案　
解析　因为函数f(x)＝>0，
所以f ＝log2＝－2<0，
所以f ＝f(－2)＝3－2＋1＝.
7．(2019·江苏省海安高级中学月考)已知函数f(x)满足f ＋2f ＝3x，则f(－2)＝________.
答案　－
解析　由题意可得
解得令2＋＝－2，可得x＝－，
则f(－2)＝3×＝－.
8．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－x＋2
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即∴f(x)＝x2－x＋2.
9．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝________.
答案　6
解析　由当x≥1时f(x)＝2(x－1)是增函数可知，若a≥1，则f(a)≠f(a＋1)，所以0<a<1，由f(a)＝f(a＋1)得＝2(a＋1－1)，解得a＝，则f ＝f(4)＝2(4－1)＝6.
10．已知f ＝＋，则f(x)＝________.
答案　x2－x＋1(x≠1)
解析　f ＝＋＝2－＋1，
令＝t(t≠1)，则f(t)＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
11．已知f(x)＝，求f ＋f ＋…＋f 的值．
解　因为f(x)＝，
则f(1－x)＝＝，f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝3，
所以f ＋f ＋…＋f ＝3×1 005＋＝.
12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解　(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
因为x≥0，所以0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70 km/h.

13．设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞， ]
解析　令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于
或
解得t≥－3，则f(a)≥－3等价于
或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞， ]．
14．已知函数f(x)满足对任意的x∈R都有f ＋f ＝2成立，则f ＋f ＋…＋f ＝________.
答案　7
解析　由f ＋f ＝2，得f ＋f ＝2，f ＋f ＝2，f ＋f ＝2，又f ＝＝×2＝1，
∴f ＋f ＋…＋f ＝2×3＋1＝7.

15．已知具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称f(x)为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－； ②f(x)＝2x；
③f(x)＝log2x； ④f(x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)
答案　①③④
解析　对于①，f(x)＝x－，f ＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f ＝≠－2x，不满足；对于③，f ＝log2＝－log2x＝－f(x)，满足；
对于④，f ＝即f ＝
故f ＝－f(x)，满足．
综上，满足“倒负”变换的函数是①③④.
16.如图，动点P从矩形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，已知AB＝2，AD＝1，设x表示点P的行程，y＝PA，求y关于x的解析式．

解　当P在AB上运动时，y＝x(0≤x≤2)；
当P在线段BC上运动时，y＝(2<x≤3)；
当P在线段CD上运动时，y＝(3<x≤5)；
当P在线段DA上运动时，y＝6－x(5<x≤6)，
∴y＝