2022年河南省中考数学模拟试题(4)(解析版).doc

2022年河南省中考数学模拟试题（4）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣3的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【答案】A
【解析】﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）地球的表面积约为510000000km2，将510000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.51×109 B．5.1×108 C．5.1×109 D．51×107
【答案】B
【解析】510000000＝5.1×108，
故选：B．
3．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“新”字一面的相对面上的字是（　　）

A．代 B．中 C．国 D．梦
【答案】D
【解析】时与中是对面，代与国是对面，新与梦是对面．
故选：D．
4．（3分）下列运算不正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（y3）4＝y12
C．（﹣2x）3＝﹣8x3 D．x3+x3＝2x6
【答案】D
【解析】A．a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项不合题意；
B．（y3）4＝y3×4＝y12，故本选项不合题意；
C．（﹣2x）3＝（﹣2）3x3＝﹣8x3，故本选项不合题意；
D．x3+x3＝2x3，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）在一些“打分类”比赛当中，经常采用这样的办法来得到一名选手的最后成绩：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新的数据，再计算平均分．假设评委不少于4人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【解析】统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：B．
6．（3分）某船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米时，水流速度为y千米时，则根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设船在静水中的速度为x千米时，水流速度为y千米时，
根据题意，可列方程组，
故选：A．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m≤ C．m＜ D．m＞
【答案】B
【解析】根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
故选：B．
8．（3分）某市公园的东、南、西、北方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入该公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能结果，其中佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的有4种等可能结果，
所以佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率为＝，
故选：B．
9．（3分）如图，已知▱ABCD的顶点C（4，0），D（7，4），点B在x轴负半轴上，点A在y轴正半轴上，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交CB、CD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线CG交边AD于点M．则点M的坐标为（　　）

A．（1，4） B．（2，4） C．（3，4） D．（1.5，4）
【答案】B
【解析】过M作MP⊥OC于P，
则四边形AMPO是矩形，
∴MP＝OA，
由题意知，CG平分∠DCO，
∴∠DCM＝∠OCM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠DMC＝∠OCM，
∴∠DMC＝∠DCM，
∴DM＝CD，
∵C（4，0），D（7，4），
∴OA＝OC＝4，AD＝7，
∴OB＝3，
∴AB＝CD＝5，
∴DM＝CD＝5，
∴AM＝AD﹣DM＝2，
∴M（2，4），
故选：B．

10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为CD中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，S关于t的函数图象为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：连MB
由勾股定理AE＝BE＝4
已知，AM＝t，EN＝t，ME＝NB＝4﹣t
∵
∴
∵
∴
∴
∵a＝﹣0
∴当t＝2时，S的最大值为4
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）化简＝________．
【答案】20．
【解析】＝＝20．
12．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE＝3：2，则∠AOD＝________．

【答案】126°．
【解析】∵EO⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC：∠COE＝3：2，
∴设∠AOC＝3x，∠COE＝2x，
则3x+2x＝90°，
解得：x＝18°，
故∠AOC＝54°，
则∠AOD＝180°﹣54°＝126°．
13．（3分）若不等式组的最大正整数解是3，则a的取值范围是________．
【答案】6＜a≤8．
【解析】解不等式x+1＞0，得x＞﹣1，
解不等式2x﹣a＜0，得x＜a，
由题意，得﹣1＜x＜a．
∵不等式组的最大正整数解是3，
∴3＜a≤4，
解得6＜a≤8．
14．（3分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A'BC′，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】4﹣4．
【解析】设△AED的面积为S，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴△ABC的面积＝×2×2＝4，
∵∠ABA′＝45°，
∴∠ABC′＝45°，
∴BD⊥A′C′，
∴∠ABC＝∠ADE，BD＝BC′＝2，
∵∠A＝∠EAD，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
解得S＝6﹣4，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣S＝，

15．（3分）如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．

【答案】或2．
【解析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图1，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AB，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠BDE＝∠MAN＝90°，
∴∠BDE＝∠A'EF，
∴AB∥A'E，
∴∠ABC＝∠A'EB，
∴∠A'BC＝∠A'EB，
∴A'B＝A'E，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC＝2A'E，
由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，
∴AE′＝，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图2，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2；
综上所述，AB的长为或2；

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（+）÷，其中m＝9．
【答案】见解析
【解析】原式＝×
＝，
当m＝9时，
原式＝＝．
17．（9分）某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
F
上学方式
电动车
私家车
公共交通
自行车
步行
其他
某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图

根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有________人，其中选择B类的人数有________人．
（2）在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图．
（3）若将A、C、D、E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数．
【答案】见解析
【解析】（1）参与本次问卷调查的学生共有162÷36%＝450人，其中选择B类的人数有450×14%＝63人，
故答案为：450、63；

（2）E类对应的扇形圆心角α的度数360°×（1﹣36%﹣14%﹣20%﹣16%﹣4%）＝36°，
C方式的人数为450×20%＝90人、D方式人数为450×16%＝72人、E方式的人数为450×10%＝45人，F方式的人数为450×4%＝18人，
补全条形图如下：

（3）估计该校每天“绿色出行”的学生人数为3000×（1﹣14%﹣4%）＝2460人．
18．（9分）如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P． （请保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】如图，点P为所作．

19．（9分）如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF．
（1）试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由；
（2）当∠CAB＝________时，四边形ADFE为菱形；
（3）当EF＝________时，四边形ACBF为正方形．

【答案】见解析
【解析】
（1）BF与⊙A相切，理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB，
又∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴∠FAB＝∠CAB，
在△ABC和△ABF中

∴△ABC≌△ABF（SAS）
∴∠AFB＝∠ACB＝90°，
∴BF与⊙A相切；
（2）连接CF，如右图所示，
若四边形ADFE为菱形，则AE＝EF＝FD＝DA，
又∵CE＝2AE，CE是圆A的直径，
∴CE＝2EF，∠CFE＝90°，
∴∠ECF＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠CAB，
∴∠CAB＝60°，
故答案为：60°；
（3）若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE，
∴EF＝＝4，
故答案为：4．

20．（9分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．

（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈
【答案】见解析
【解析】（1）过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．

（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝2cos37°≈1.6，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴＝，
∴AD＝1.75米，
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．

21．（10分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【答案】见解析
【解析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）2＝5.76，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
22．（10分）如图1，已知∠MON＝90°，点A、B分别是∠MON的边OM，ON上的点．且OA＝OB＝1，将线段OA绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段OC，∠AOC的角平分线OP与直线BC相交于点P，点D是线段BC的中点，连接OD．
（1）若α＝30°，如图2，∠P的度数为________；
（2）若0°＜α＜90°，如图1，求∠P的度数；

（3）在下面的A、B两题中任选一题解答．
A：在（2）的条件下，在图1中连接PA，求PA2+PB2的值．
B：如图3，若90°＜α＜180°，其余条件都不变．请在图3中画出相应的图形，探究下列问题：①直接写出此时∠P的度数；②求此时PC2+PB2的值．
我选择________题．
【答案】见解析
【解析】（1）如图2，若α＝30°，则∠COP＝∠AOC＝15°，∠BOC＝60°，
∵CO＝AO＝BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠P的度数为：60°﹣15°＝45°，
故答案为：45；

（2）证明：由旋转得，OA＝OC，∠AOC＝α，
∵OA＝OB，
∴OC＝OB，
∵点D是线段BC的中点，
∴OD⊥BC，∠COD＝∠BOD＝∠BOC，
∵∠AOB＝90°，
∴∠COD＝（90°﹣α），
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC＝α，
∴∠POD＝∠POC+∠COD＝45°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠P＝90°﹣45°＝45°；

（3）选择A题．
如图1，连接AB、AP，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO＝∠CPO＝45°，
∴∠APB＝90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得，PA2+PB2＝AB2，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB2＝OA2+OB2＝12+12＝2，
∴PA2+PB2＝2．

选择B题．
①∠P＝45°．
理由：如图3，根据旋转可得，OC＝OA＝OB，
∵D是BC中点，
∴OD⊥BC，即∠ODP＝90°，
且OD平分∠BOC，
又∵OP平分∠AOC，
∴∠DOP＝∠COP﹣∠COD＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴Rt△ODP中，∠P＝45°；
②PC2+PB2的值为2．
理由：∵OD⊥BC，∠P＝45°，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴PD＝OD，
∵PC＝PD+BD，PB＝PD﹣BD，
∴PC2+PB2
＝（PD+BD）2+（PD﹣BD）2
＝2PD2+2BD2
＝2（PD2+BD2）
＝2（OD2+BD2）
＝2×OB2
＝2×12
＝2
故PC2+PB2的值为2．

23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】（1）当x＝0时，则y＝，
∴C（0，），
当y＝0时，﹣x2+2x+＝0，
化简，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得，x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；

（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP．
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴AP＝PB，
要使PA+PC的值最小，则应使PB+PC的值最小，
∴BC与对称轴的交点，使得PA+PC的值最小．
设BC的解析式为y＝kx+b．
将B（5，0），C（0，）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+

∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2
当x＝2时，y＝﹣×2+＝，
∴P（2，）；

（3）设点M（m，0），N（n，﹣n2+2n+），
由（1）知，A（﹣1，0），C（0，），
当AC与MN是对角线时，
∴AC与MN互相平分，
∴（0+）＝（﹣n2+2n+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
当AM与CN是对角线时，AM与CN互相平分，
∴（m﹣1）＝n，×（n+0）＝（﹣n2+2n++），
解得，n＝2±，
∴N（2+，﹣）或（2﹣，﹣），
当AN与CM是对角线时，AN与CM互相平分，
∴（﹣n2+2n+）＝×（0+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
即：以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（4，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣），