2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷.docx

2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题毎个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．（3分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝　 　．
2．（3分）方程在x∈[0，π]上的解为 　 　．
3．（3分）1与3的等比中项是 　 　．
4．（3分）已知0＜x＜1，使得取到最大值时，x＝　 　．
5．（3分）函数y＝3x﹣1（x≥1）的反函数是 　 　．
6．（3分）双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角的弧度数为 　 　．
7．（3分）函数y＝lgsinx的单调递增区间是 　 　．
8．（3分）从集合A＝{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx+b不经过第三象限的概率为　 　．
9．（3分）已知等差数列{an}的公差d＝2，Sn表示{an}的前n项和，若数列{Sn}是递增数列，则a1的取值范围是 　 　．
10．（3分）过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为　 　．
11．（3分）我们将函数图像绕原点逆时针旋转θ（0≤θ≤2π）后仍为函数图像的函数称为JP函数，θ为其旋转角，若函数为JP函数，则其旋转角θ所有可取值的集合为 　 　．
12．（3分）已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式分别为、、，其中n+s+t＝200，s＝kn，n，s，t，k∈N*，令Mn＝max{an，bn，cn}（max{an，bn，cn}表示an、bn、cn三者中的最大值），则对于任意k∈N*，Mn的最小值为 　 　．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．（3分）高三年级有11名同学参加男子百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
14．（3分）设函数f（x）＝asinx+cosx（a为常数），则“a＝0”是“f（x）为偶函数”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
15．（3分）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（　　）
A． B． C． D．
16．（3分）太极图被称为“中华第一图”，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．现定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：x2+y2＝1．下列说法正确的是（　　）
①函数y＝x3是圆O的一个“太极函数”；
②函数是圆O的一个“太极函数”；
③函数f（x）的图像关于原点中心对称是f（x）为圆O的“太极函数”的充要条件；
④圆O的所有非常值函数的太极函数都不能为偶函数．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；
（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．

18．某市民活动中心内有一块以O为圆心半径为20米的半圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在半圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A、B分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP内且在半圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝，且AB、PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求PO≤60），设∠OAB＝α，．
（1）当α＝时，求舞台表演区域的面积及AB的长；
（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？

19．设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝an2+2an+1（n∈N*）．
（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；
（2）若P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、Pn（an，bn）（n∈N*）都在函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图像上，设数列{bn}的前n项和为Tn，求的值．
20．已知椭圆Γ：，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点P（﹣2，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线交椭圆Γ于M、N两点，O为坐标原点，求△MNO面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）已知斜率为k的直线l交椭圆Γ于A、B两点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D，且直线CD过点，求k的值．
21．已知函数y＝g（x），y＝h（x），定义函数F（x）＝．
（1）设函数g（x）＝，h（x）＝log2x（x＞0），求函数y＝F（x）的值域；
（2）设函数，h（x）＝e|x+t|﹣2（1≤x≤3），当1≤x≤3时，恒有F（x）＝g（x），求实常数t的取值范围；
（3）设函数g（x）＝，h（x）＝，k为正常数，若关于x的方程F（x）＝b（b为实常数）恰有三个不同的解，求k的取值范围及这三个解的和（用k表示）．

2021-2022学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，满分36分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题毎个空格填对得5分，否则一律得零分.
1．【解答】解：∵B＝{x|x2＜1}＝（﹣1，1），
A＝{﹣3，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{0}．
故答案为：{0}．
2．【解答】解：因为，x∈[0，π]，
所以x＝arccos．
故答案为：arccos．
3．【解答】解：1与3的等比中项．
故答案为：．
4．【解答】解：根据题意，当0＜x＜1时，x（1﹣x）≤[]2＝，当且仅当（1﹣x）＝x，即x＝时等号成立；
此时取到最大值，
则当x＝时，取到最大值；
故答案为：．
5．【解答】解：y＝3x﹣1（x≥1），y∈[1，+∞），得x﹣1＝log3y，
x，y对换，
得y＝1+log3x，x∈[1，+∞），
故答案为：y＝1+log3x，x∈[1，+∞）．
6．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，
所对应的直线的倾斜角分别为45°、135°，
∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，
故答案为：．
7．【解答】解：函数y＝lgsinx的单调递增区间，即t＝sinx在满足t＞0时，t的增区间．
由正弦函数的图象可得，t＞0时，t的增区间为（2kπ，2kπ+]，k∈Z．
故答案为：（2kπ，2kπ+]，k∈Z．
8．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A＝{﹣1，1，2}，b∈B＝{﹣2，1，2}，
得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；
（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．
而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，
∴直线不过第四象限的概率P＝，
故答案为 ．
9．【解答】解：若数列{sn}是递增数列，即是说，对于任意的正整数n，都有Sn＜Sn+1成立，移向即为an+1＞0，∴a1+2n＞0，a1＞﹣2n．只需要a1大于﹣2n的最大值即可．
当n＝1时，﹣2n取得最大值﹣2，所以a1＞﹣2，a1的取值范围是（﹣2，+∞）
故答案为：（﹣2，+∞）
10．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，
所以，整理得12x2﹣20x+3＝0，解得，
当x＝时，解得y＝，
设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，
所以N（），所以NF的直线方程，
所以当M（）到直线的距离d＝．
故答案为：
11．【解答】解：函数的图像为如图所示的一段圆弧AB，其所对的圆心角为∠AOB＝，
若该函数图像绕原点逆时针旋转θ（0≤θ≤2π）后不再是函数，
则其旋转后的图像必存在垂直于x轴的切线，且切点异于弧AB的端点A，B，
由图像可知，若∠COD＝，则当点A自C向D运动（不包含C，D）时，图像存在垂直于x轴的切线，此时；
若∠EOF＝，则当点A自E向F运用（不包含E，F）时，图像存在垂直于x轴的切线，此时；
所以若函数为JP函数，其旋转角θ（0≤θ≤2π）所有可能的取值集合为．
故答案为：．

12．【解答】解：当k＝2时，可得，
因为数列{an}是单调递减数列，数列{cn}为单调递增数列，
所以当时，Mn取得最小值，
此时，
因为，
而，
，
又，
所以当k＝2时，Mn的最小值为，
当k＝1时，，
因为数列{bn} 为单调递减数列，数列{cn} 为单调递增数列，
所以当时，Mn取得最小值，
此时，
因为，
而，
，
此时Mn的最小值为，
而，
当k≥3时，
，
所以，
令，
因为数列{an}为单调递减数列，数列为单调递增数列，
所以时，取得最小值，
此时，
因为，
，
，
又因为，
此时Mn的最小值为，
综上所述，Mn的最小值为，
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13．【解答】解：11个不同的成绩按照从小到大的顺序排序后，中位数就是第六名的成绩，小明即可判断自己是否进入决赛．
故选：C．
14．【解答】解：若a＝0，则f（x）＝cosx，是偶函数，充分性成立；
若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
即﹣asinx+cosx＝asinx+cosx，即2asinx＝0，解得a＝0，必要性成立，
故“a＝0”是“f（x）为偶函数”的充要条件．
故选：C．
15．【解答】解：将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
可得y＝sin（2x+）的图像，
再沿着x轴向右平移个单位，可得y＝sin2x的图像．
令2x＝kπ，k∈Z，求得x＝，故y＝sin2x的图像的对称中心为（，0），k∈Z，
则得到的函数的图像一个对称中心可以（，0），
故选：D．
16．【解答】解：对于①函数y＝x3是经过原点的奇函数，故函数y＝x3圆O的一个“太极函数”，故①正确；
对于②函数是经过原点的奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故②正确；
对于③函数f（x）的图像关于原点中心对称是f（x）为圆O的“太极函数”的充分非必要条件，故③错误；
④如图所示：

圆O的所有非常值函数的太极函数为偶函数，故④错误．
故选：A．
三、解答题（本大题共有5题，满分0分）
17．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1＝∠A1O1B1＝，
∴△O1A1B1为正三角形，
∴＝，
＝＝．
（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，
∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），
BB1＝AA1＝1，
连结BC、BO、OC，
∠AOB＝∠A1O1B1＝，，∴∠BOC＝，
∴△BOC为正三角形，
∴BC＝BO＝1，∴tan∠BB1C＝1，
∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．

18．【解答】解：（1）当α＝时，，
故舞台表演区域的面积＝平方米，
＝．
（2）作OH⊥AB于H，如图所示，

则AB＝2AH＝2OA•cosα＝40cosα，
在△OAP中，OP2＝OA2+AP2﹣2OA•AP＝
＝400（3cos2α+）
＝+1600，
∵，
∴当时，＜60，
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．
19．【解答】解：（1）当n＝1时，，
即，解得：a1＝1；
当n≥2时，，
即，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），
又an＞0，∴an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1＝2；
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）得：，∴，b1＝a，
∴数列{bn}是以a为首项，a2（a2≠1）为公比的等比数列，∴，
∴；
当0＜a＜1时，，，∴；
当a＞1时，，∴；
综上所述：．
20．【解答】解：（1）由题知，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，
则，又a2＝b2+c2，
解得：a2＝2，b2＝1，
∴椭圆的方程为：；
（2）由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所以直线的紏率存在，设过点P的直线的斜率为 k，
则直线的方程为：y＝k（x+2），
设M（x3，y3），N（x4，y4），
由（1）可得椭圆的方程为：，
联立直线方程与椭圆方程，得：，
（1+2k）x2+8k2x+8k2﹣2＝0，
Δ＝（8k2）2﹣4×（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，
解得，即，
∴，
设点O到直线的距离为d，则 ，

＝
＝，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
令6k2+1＝t，且，
得，
∴
＝
＝，
当且仅当，即t＝2时取等号，
此时，，即，
所以△MNO面积的最大值为，
直线的方程为：或 ，
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，直线 PA 的斜率不为0，
则直线PA的方程为：，
由 （1）知椭圆方程为 ，
联立直线PA椭圆的方程：，
得，
所以，
即 ，
所以 ，
同理可得：，
设，则kCH＝kDH，
即，
化简得：2y1﹣4x1＝2y2﹣4x2
即，
所以直线的鈄率为k＝2．
21．【解答】解：（1）因为g（2）＝＝1，h（2）＝log22＝1，所以g（2）＝h（2）＝1，
而g（x）＝在（0，+∞）上单调递减，h（x）＝log2x（x＞0）在（0，+∞）上单调递增，
所以当0＜x≤2时，g（x）≥h（x），F（x）＝g（x）＝∈[1，+∞），
当x＞2时，h（x）＞g（x），F（x）＝h（x）＝log2x∈[1，+∞），
所以函数y＝F（x）的值域为[1，+∞）；
（2）因为当1≤x≤3时，恒有F（x）＝g（x），所以g（x）＝≥＝h（x）在1≤x≤3恒成立，
所以≥在1≤x≤3恒成立，即≤+2在1≤x≤3恒成立，
所以﹣﹣2≤x+t≤+2，即得在1≤x≤3上恒成立，
令f1（x）＝﹣x﹣﹣2，f2（x）＝﹣x+2，
又x+≥＝2，当且仅当x＝即x＝∈[1，3]时取等号，所以f1（x）＝﹣x﹣﹣2≤﹣2﹣2，
因为f2（x）＝﹣x+2在[1，3]上单调递减，所以f2（x）＝﹣x+2≥f2（3）＝﹣3+2＝﹣，
所以﹣2﹣2≤t≤﹣，所以实常数t的取值范围为[﹣2﹣2，﹣]；
（3）函数g（x）＝的图象关于x＝对称，且在（﹣∞，）上单调递增，（，+∞）单调递减，
所以g（x）≤g（）＝＝12；
h（x）＝的图象关于x＝﹣k对称，在（﹣∞，﹣k）上单调递增，（﹣k，+∞）单调递减，
所以h（x）≤h（﹣k）＝＝1，
因为k为正常数，当g（x）＝＝1时，解得x0＝（k﹣log212），此时令x0＝（k﹣log212）＝﹣k，解得k＝log212，
当0＜k＜log212，存在两点x1＜﹣k，x2＞使得g（x1）＝h（x1），g（x2）＝h（x2），
所以当x＜x1或x＞x2时，g（x）＜h（x），F（x）＝h（x）；当x1≤x≤x2时，g（x）≥h（x），F（x）＝g（x），
所以当0＜k＜log212时，F（x）在（﹣∞，）上单调递增，（，+∞）单调递减，这时方程F（x）＝b（b为常数）最多有两个解，不满足题意；
若关于x的方程F（x）＝b恰有三个不同的解，则k＞log212，
当k＞log212时，x＜x0时，g（x）＜h（x），F（x）＝h（x）；当x＜x0时，g（x）≥h（x），F（x）＝g（x）；作出图象如下图所示，
所以关于x的方程F（x）＝b恰有三个不同的解，则b＝1或b＝，
当b＝1时，这三个解的和为﹣k+2×＝0，
当b＝时，这三个解的和为﹣2k+2×﹣x0＝﹣k﹣（k﹣log212）＝﹣k+log212，
故k＞log212，且这三个解的和为0或﹣k+log212．

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