福建省浦城县第二中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题.docx

2021-2022第二学年浦城二中高一第一次月考
数学
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．若，则（       ）
A．1 B． C． D．
2．已知复数满足，则的最大值是（       ）
A．5 B．9 C．7 D．3
3．在中，是直线上的点.若，则（       ）
A． B．1 C． D．-2
4．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（       ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
5．已知单位向量满足，则向量的夹角为（       ）
A． B． C． D．
6．已知cos(α－β)＝，cos2α＝，α∈(0，)，β∈(0，π)，且α＜β，则α＋β＝（       ）
A． B． C． D．
7．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．4
8．在中，，，且BC边上的高为，则满足条件的的个数为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
9．下列说法正确的是（　　）
A．向量 在向量上的投影向量是向量
B．若，则与的夹角θ的范围是
C．
D．，则
10．已知复数，若为实数，则（       ）
A． B．
C．为纯虚数 D．对应的点位于第二象限
11．已知函数，则下列函数判断正确的是（       ）
A．为奇函数 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．的图象关于点对称
12．对于 ABC，有如下判断，其中正确的判断是（          ）
A．在非等腰ABC中，满足，则ABC为钝角三角形；
B．若，，，则符合条件的ABC有两个；
C．若，则ABC为锐角三角形；
D．若ABC的面积，，则的最大值为1.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知复数（为虚数单位），则__________．
14．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.
15．在中，角A，，所对的边分别为，，，若，那么______．
16．在中，，若O为外接圆的圆心，则的值为__________．
四、解答题
17．已知复数，其中．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m的取值范围．
18．如图，在长方形中，E为边的中点，F为边上一点，且.设，.

(1)试用基底表示，；
(2)若，求证：E，G，F三点共线.
19．已知向量，，函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
20．如图，在海岸边点的观测站发现南偏西30°方向上，距离点20海里的处处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从处沿南偏东15°方向逃窜.

(1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？
(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？
21．1.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，．
(1)求角A的大小；
(2)求 .
在①△ABC面积的最大值；②△ABC周长的最大值；③△ABC的内切圆的半径最大值. 中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答．
22．已知函数.
（1）求的最小正周期及在区间上的最大值
（2）在锐角中，f（）=，且a=，求b+c取值范围.

试卷第4页，共4页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
先求出复数z，再求.
【详解】
因为，所以.
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
设，依题意求出复数的轨迹方程，再根据复数几何意义计算可得；
【详解】
解：设，因为，所以，表示以为圆心，为半径的圆，
因为表示圆上的点到的距离，因为，所以
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
先利用，再借助三点共线定理进行求解即可.
【详解】
，，，
又因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】
设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.

【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
5．C
【解析】
【分析】
设向量的夹角为，由，求得，即可求解.
【详解】
设向量的夹角为，
因为，可得，
又因为，所以，解之得或，
又由，所以，所以，
因为，所以.
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
根据同角公式求出，，再根据以及两角差的余(正)弦公式计算出，根据的范围可得答案.
【详解】
，且，
，，
，，

.
又

.
，
.
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
由条件得，由基本不等式得，再由可求解.
【详解】
∵，又∵，.
∴（当且仅当时取等号）.
∴
，
∴面积的最大值为4.
故选：D
8．B
【解析】
【分析】
利用等面积法求得，再利用正弦定理求得，利用内角和的关系及两角和差化积公式，二倍角公式转化为，再利用正弦函数的性质求满足条的的个数，即可求解.
【详解】
由三角形的面积公式知，即
由正弦定理知
所以，即，
即，即
利用两角和的正弦公式结合二倍角公式化简得
又，则，，且
由正弦函数的性质可知，满足的有2个，
即满足条件的的个数为2.
故选：B
9．AB
【解析】
【分析】
根据投影向量的定义判断A;根据数量积的定义，结合向量夹角的范围可判断B；根据数量积的运算以及向量的数乘含义，可判断C;根据非零向量垂直的定义，可判断D.
【详解】
对于选项A，根据投影向量的定义，投影向量是向量，故A正确；
对于选项B，∵，则 ，
又∵ ，∴，故B正确；
对于选项C，∵与 是共线向量，与是共线向量，但是与不一定共线，
故不一定相等，故C错误；
对于选项D，或或，故D错误，
故选：AB
10．AC
【解析】
【分析】
先求出，再由其为实数可求出的值，然后逐个分析判断即可
【详解】
因为，
所以
，
因为为实数，所以，解得，
所以A正确，，
所以，所以B错误，
为纯虚数，所以C正确，
，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，
故选：AC
11．BC
【解析】
【分析】
先通过降幂公式、和角公式等进行化简，再结合余弦函数的对称性、奇偶性及单调性求解.
【详解】

.
对于A：为偶函数，故A错误；
对于B：，当k=1时，故B正确；
对于C：，为减函数，故C正确；
对于B：，关于点对称，故D错误.
故选：BC.
12．ABD
【解析】
【分析】
A.由或求解判断； B.根据，，，利用余弦定理求解判断； C.举例判断； D. 根据ABC的面积求得A，再根据，得到，然后由，求解判断；
【详解】
A.在非等腰ABC中，满足，所以或，解得（舍去））或，故ABC为钝角三角形，故正确；
B.因为，，，由余弦定理得，即，则，
因为，所以，所以 则符合条件的ABC有两个，故正确；
C.当时，满足，ABC为直角三角形，故错误；
D.因为ABC的面积，且，所以，则，因为，所以，
所以，当时，等号成立，故正确；
故选：ABD
13．
【解析】
【分析】
利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
由题意可得，则，因此，.
故答案为：.
14．1或##或1
【解析】
【分析】
由最小正周期可得，讨论并结合正弦函数的性质求的值域，即可求最大值与最小值的和.
【详解】
由题设，，则，
在上，当则，故；
当则，故；
综上，最大值与最小值的和为1或.
故答案为：1或
15．2
【解析】
【分析】
由向量数量积运算得到，利用正弦定理得到，再由余弦定理列出方程，求出.
【详解】
，，所以，故，由正弦定理得：，由于，所以，所以，即，故，由余弦定理得：，所以，所以.
故答案为：2
16．10
【解析】
【分析】
作出边垂线，利用向量的运算将用表示，得有向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案
【详解】
过作，垂足分别为，
因为O为外接圆的圆心，
所以分别为的中点，
所以

,
故答案为：10

17．(1)6
(2)
【解析】
【分析】
（1）由z为纯虚数，列方程组，求出m；
（2）由题意列不等式组，即可求出m的范围．
(1)
因为复数，其中，
所以，解得：m=6.
(2)
因为在复平面内对应的点为，
所以z在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点.
由题意得：，解得：.
即m的取值范围为.
18．(1)，；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量的基本定理求解；
（2）利用平面向量共线向量定理求解.
(1)
解：；
，
；
(2)
若E，G，F三点共线，则，
即，
因为，，
所以，
解得，
所以：E，G，F三点共线.
19．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出的解析式，利用整体代入法求的单调递减区间；
（2）先根据图象变换求出的解析式，再求在上的值域．
(1)
因为向量，，函数．
所以.
要求的单调递减区间，只需,
解得：，
即的单调递减区间为.
(2)
把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，即.
因为，所以.
因为在上单增，在上单减，且时，；时，.
所以，即在上的值域为.
20．(1)海里，西南方向
(2)小时
【解析】
【分析】
（1）在三角形中分别利用余弦定理、正弦定理求解即可；
（2）作出图形，设小时后缉私艇在处追上走私船，利用正弦定理求出即可求解.
(1)
由题意可知，，，.
在中，由余弦定理可得.
由正弦定理得，解得，所以.
故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上.
(2)
如图，

设小时后缉私艇在处追上走私船，则，.
.
在中，由正弦定理得，
解得，则，所以是等腰三角形.
，即.
故缉私艇至少需要小时追上走私船.
21．(1)
(2)选①，答案为：；选②，答案为：；选③，答案为：.
【解析】
【分析】
（1）先用正弦定理，再用余弦定理可求；（2）选①②时，均可利用基本不等式进行求解，选③时，利用三角形面积的两种求解方法，求得内切圆半径关于三角形三边长的关系式，利用选②时求得的结论进行求解
(1)
因为，由正弦定理得：，化简得：，所以
∵
∴
(2)
选①△ABC面积的最大值；
∵，
∴
整理得：
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立.
即，解得：
所以，即△ABC面积的最大值为
选②△ABC周长的最大值；
∵，
∴
整理得：，即
由由基本不等式得：，当且仅当时等号成立.
所以
解得：，又因为，则
所以△ABC周长的最大值为
选③△ABC的内切圆的半径最大值；
设△ABC的内切圆半径为r，则
则
令，且
所以（当且仅当时取“=”）
所以△ABC的内切圆的半径最大值为
22．（1）最小正周期为，最大值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图像和性质的应用求出结果.
【详解】
（1），
所以的最小正周期为.
因为，所以
于是，当，即时，取得最大值
（2）在中，
，，，.
由正弦定理，，

，
，
，
.

答案第16页，共1页