多维随机变量的数字特征省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。不能作为科学依据。,第四章 随机变量数字特征,分布函数能够完整地描述随机变量统计特,性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量,一些特征，因而不需要求出它分布函数.,评定某企业经营能力时，只要知道该企业,人均赢利水平,；,比如,：,研究水稻品种优劣时，我们关心是稻穗,平均粒数,及每粒,平均重量,；,检验棉花质量时，既要注意纤维,平均长,度,，又要注意,纤维长度与平均长度偏离程度,，,平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好;,1/82,1,考查一射手水平，既要看他,平均环数,是否高，还要看他弹着点范围是否小，即,数,据波动,是否小.,由上面例子看到，与随机变量相关一些,数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清楚,地描述随机变量在一些方面主要特征,这些,数字特征在理论和实践上都含有主要意义.,随机变量某首先概率特征,都可用,数字,来描写,2/82,2,3/82,3,随机变量平均取值,数学,期望,随机变量取值平均偏离平均值,情况,方差,描述两个随机变量之间某种关,系数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,4/82,4,定义,设离散型随机变量,X,分布列为,若无穷级数,绝对收敛，则称其和为随机变量,X,数学期望,记为,1.数学期望定义,4.1 数学期望,5/82,5,设连续型随机变量,X,概率密度为,若积分,绝对收敛，则称此积分值为随机变量,X,数学期望,，记为,数学期望简称,期望,，又称,均值,注意:,数学期望反应了随机变量取值平均值,它是一个,加权平均,6/82,6,解,例1,7/82,7,例2,解,例3,解,8/82,8,例4,解,9/82,9,例5,解,10/82,10,例6,解,11/82,11,常见随机变量数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),12/82,12,分布,期望,概率密度,区间(,a,b,)上,均匀分布,E,(,),N,(,2,),13/82,13,2.数学期望性质,14/82,14,证实,：,仅就,证性质（4）,15/82,15,解,引入随机变量,则有,例7,16/82,16,故,（次）,17/82,17,例8,18/82,18,解,19/82,19,20/82,20,3.随机变量函数数学期望,21/82,21,22/82,22,X 1 3,P 3/4 1/4,Y 0 1 2 3,P 1/8 3/8 3/8 1/8,X,1 0 3/8 3/8 0,3 1/8 0 0 1/8,Y 0 1 2 3,例9,解,23/82,23,解,例10,24/82,24,例11,解,25/82,25,解,例12,设二维连续随机变量 概率密度为,26/82,26,数学期望性质,注意:,27/82,27,3.数学期望简单应用,市场上对某种产品每年需求量为,X,吨，,X U,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问,应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润,最大？,例13,28/82,28,解,设每年生产,y,吨利润为,Y,，,y,4000,29/82,29,故,y=,3500 时，,EY,最大，,EY,=8250万元,30/82,30,为普查某种疾病,n,个人需验血,可采取两种,方法验血：,分别化验每个人血,共需化验,n,次；,将,k,个人血混合在一起化验，若化验结,果为阴性,则此,k,个人血只需化验一次；,若为阳性,则对,k,个人血逐一化验，找,出有病者,这时,k,个人血需化验,k+,1 次.,设某地域化验呈阳性概率为,p,，且每个,人是否为阳性是相互独立.试说明选择哪一,种方法能够降低化验次数.,验血方案选择,31/82,31,解,为简单计，设,n,是,k,倍数，,设共分成,n/k,组,第,i,组需化验次数为,X,i,X,i,P,1,k+,1,32/82,32,若,则,EX,n,比如，,33/82,33,4.2,34/82,34,35/82,35,36/82,36,例1,解,例2,37/82,37,解,38/82,38,4.3 方差,引例,检验两批灯泡质量,从中分别随机抽样5只,测得使用寿命(单位:小时)以下:,A:1500 1000 500 1000,B:1500 1500 1000 1000 1000,试比较这两批灯泡质量好坏,计算得:,平均寿命,分别为:A:1200 B:1200,观察得:A中,使用寿命偏离,较大,B中使用寿命 偏离较小,所以,B产品质量很好,数学期望,方差,39/82,39,1.,方差定义,(,X-EX,),2,随机变量,X,取值偏离平均值 情况,是,X,函数,也是随机变量,E,(,X-EX,),2,随机变量,X,取值偏离平均值平均偏离程度 数,注:,方差反应了随机变量相对其均值,偏离程度,40/82,40,若,X,为离散型随机变量，概率分布为,若,X,为连续型随机变量，概率密度为,f,(,x,),惯用计算方差公式：,41/82,41,2.,方差性质,42/82,42,例1,设,X P,(,),求,DX,解,3.,方差计算,43/82,43,例2,设,X B,(,n,p,)，求,DX,解一,仿照上例求,DX,解二,引入随机变量,相互独立，,故,44/82,44,解,例3,设,X U,(,a,b,)，求,DX,45/82,45,例4,设,X N,(,2,),求,DX,解,46/82,46,常见随机变量方差,分布,方差,概率分布,参数为,p,0-1分布,p,(,1-p,),B,(,n,p,),np,(1-,p,),P,(,),47/82,47,分布,方差,概率密度,区间(,a,b,)上,均匀分布,E,(,),N,(,2,),48/82,48,f(x),x,0,若固定,改变,则越大,曲线越平坦,越小,曲线越陡峭,小,大,方差概念直观背景也能够经过正态分布中不一样,2,密度曲线反应出来:,49/82,49,解,例5,50/82,50,证,例6,51/82,51,例7,已知,X,Y,相互独立，且都服从,N,(0,0.5),求,E,(|,X Y,|),解,故,52/82,52,例8,设,X,表示独立射击直到击中目标,n,次为止,所需射击次数，已知每次射击中靶概,率为,p,，求,EX,DX,解,令,X,i,表示击中目标,i-,1 次后到第,i,次击中,目标所需射击次数，,i,=1,2,n,相互独立,且,53/82,53,54/82,54,故,55/82,55,例9,求,EY,DY,解,56/82,56,57/82,57,标准化随机变量,为,X,标准化随机变量.显然，,58/82,58,仅知随机变量期望与方差并不能确定其分布,比如：,P,-1 0 1,0.1 0.8 0.1,P,-2 0 2,0.025 0.95 0.025,与,它们有相同,期望,方差,不过分布,却不一样,59/82,59,但若已知分布类型及期望和方差，常能,确定分布,例10,已知,X,服从正态分布,EX,=1.7,DX,=3,Y=,1,2,X,求,Y,密度函数,解,60/82,60,例11,已知,X,密度函数为,其中,A,B,是常数，且,EX,=0.5,求,A,B,设,Y=X,2,求,EY,DY,61/82,61,解,(1),62/82,62,(2),63/82,63,4.4,协方差及相关系数,问题,对于二维随机变量(,X,Y,):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个,随机变量各自概率特征以外，相互之间,可能还有某种联络.问题是用一个什么样,数去反应这种联络.,数,反应了随机变量,X,Y,之间某种关系,64/82,64,定义,称,为,X,Y,协方差,，记为,1.协方差和相关系数定义,为,X,Y,相关系数,若,称,X,Y,不相关,称,65/82,65,所以,方差是协方差特例,协方差刻画两个随机变量之间“某种”关系,能够证实,若(X,Y)服从二维正态分布,即,则,66/82,66,若(,X,Y,)为离散型，,若(,X,Y,)为连续型，,67/82,67,计算协方差惯用公式,68/82,68,注:,69/82,69,注:,显然,相关,不相关,正相关,负相关,完全正相关,完全负相关,70/82,70,求 Cov(,X,Y,),XY,1 0,p q,X,P,1 0,p q,Y,P,例1,已知,X,Y,联合分布为,X,Y,1 0,1,0,p,0,0,q,0,p,1,p+q=,1,解,1 0,p q,X Y,P,71/82,71,72/82,72,例2,设(,X,Y,),N,(,1,1,2,2,2,2,),求,XY,解,73/82,73,若(,X,Y,),N,(,1,1,2,2,2,2,),则,X,Y,相互独立,X,Y,不相关,74/82,74,例3,设(,X,Y,),N,(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求,XZ,解,75/82,75,例4,解,76/82,76,77/82,77,78/82,78,例5,解,79/82,79,80/82,80,81/82,81,82/82,82,