解析：四川省绵阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版).docx

秘密★启用前【考试时间：2022年1月16日9:45—11:45】
绵阳市高中2021级第一学期末教学质量测试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】集合中整数有
所以.
故选：D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数的真数为正数以及偶次根式的被开方非负列式可得结果.
【详解】要使函数有意义，则有解得.
所以函数的定义域为.
故选：C
3. 一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形解直角三角形即可．
【详解】
如图设，，过点作，为垂足，
并延长交弧于，则，．
中，，
从而弧长为，
故选：．
4. 函数是（ ）
A. 奇函数，在区间上单调递增 B. 奇函数，在区间上单调递减
C. 偶函数，在区间上单调递增 D. 偶函数，在区间上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】先利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数性质直接判断奇偶性和单调性即可.
【详解】因为函数，是正弦函数，
所以是奇函数，且在区间上单调递增.
故选：A.
5. 已知幂函数图象过点，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出函数的解析式，根据幂函数的图象过点，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象．
【详解】设幂函数的解析式为，
∵幂函数的图象过点，
∴，
解得
∴，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方．对照选项可知C满足题意．
故选:C．
6. 设函数则函数的零点个数为（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】令函数，再分析解的个数即可．
【详解】由函数解析式，令，则：
当时，，解得或（舍）；
当时，，解得.
所以函数有2个零点.
故选：B
7. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先求，再用正切的2倍角公式即可求解.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：A.
8. 防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，
所以，解得.
故选：A.
9. 若，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析函数的奇偶性及单调可解决问题.
【详解】因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，
又当时，在上单调递增，
所以，则有，解得.
故选：C
10. 已知函数，当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再用诱导公式及正弦两角差公式计算即可.
详解】，其有最大值时，有（），
所以，
所以
.
故选：B
11. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可
【详解】因为，
，
，
所以，
故选：D.
12. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．再把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列叙述正确的是（ ）
A. 当时，为函数图象的对称中心
B. 当时，若，则函数的最大值为
C. 当时，函数与的图象关于轴对称
D. 当时，函数的最小值为0
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象的变换规律，可求出函数与的的解析式， 再由三角函数的性质逐项判断即可.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变，得到函数
的图象，再把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象 ,
当时，
当时，，
则为函数图象的对称轴，故 A错误；
当时，，
若则
故的最大值为 1，故B错误；
当时，
函数与的图象关于轴对称，故C正确；
当时，
最小值为 -2 , 故D错误.
故选：C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解．
【详解】∵，
则．
故答案为:
14. 设函数则______．
【答案】4
【解析】
【分析】先求的值，然后根据分段函数代入可求结果.
【详解】∵，
则.
故答案为：4.
15. 已知等腰三角形一个底角的正弦值为，则这个三角形的顶角的余弦值为______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，利用同角三角函数的基本关系求出，再利用诱导公式及二倍角公式求出.
【详解】由题意设，且，所以．
所以．

故答案为：
16. 已知是定义域为的奇函数，且为偶函数．若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】由题可得，进而可得函数是周期为4的周期函数，再求出的值，结合周期性分析可得答案．
【详解】 是定义域为的奇函数，且为偶函数，
则有 ，即，
∴，
则函数 是周期为4的周期函数，又，
∴

.
故答案为：1.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简求值：
（1）．
（2）．
【答案】（1）5； （2）4.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得；
（2）利用对数的运算性质化简计算即得.
【小问1详解】

；
【小问2详解】
.
18. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）求函数的对称轴及单调减区间．
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）由图象得出，根据图象计算出函数的最小正周期，可求得，再由五点法可得的值，即求；
（2）利用余弦函数的性质即得.
【小问1详解】
由图可知，，
函数的最小正周期满足，
，则，
，
由五点法可得，又，
，
所以，；
【小问2详解】
由，可得
函数的对称轴为，
由，解得.
∴函数的减区间为.
19. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已经衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为400万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．（利润销售总价成本总价，销售总价销售单价销售量，成本总价固定成本生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．
【答案】（1）
（2）60万盒
【解析】
【分析】（1）根据产量的情况分别求出每一种情况下的利润即可；
（2）由（1），求分段函数的每一部分取最值的条件，再通过比较可得答案.
【小问1详解】
由题意，
当产量小于或等于50万盒时，；
当产量大于50万盒时，.
所以利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式是：.
【小问2详解】
由（1）：当时，，当有最大值，其最大值为（万元）；
当时，，当有最大值，其最大值为（万元）.
综上可知，当产量为60万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．
20. 已知二次函数的图象过原点和点，且满足．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数（，且），若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设函数，当满足时，函数关于对称，再由函数过的点，代入，利用待定系数法可求得函数的解析式；
（2）根据题意可知，分别求两个函数的的最大值，求解不等式即得.
【小问1详解】
由题可设，
，
所以的对称轴方程为，
又函数的图象经过点，
所以，两式联立，解得，，
所以；
【小问2详解】
由题意可知，
因为，，
所以在单调递增，单调递减，
当时，，
∵在上单调递增，当时，单调递减，
∴函数上单调递减，
∴，适合题意；
当时，单调递增，
∴函数在上单调递增，
∴，则，
解得；
综上所述，实数的取值范围为.
21. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若函数，在上有两个不同的零点，，求实数的取值范围，并计算的值．
【答案】（1）最小正周期T，值域．
（2），
【解析】
【分析】（1）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求解即可；
（2）数形结合，根据图象有2个交点，求得的范围；根据对称性，即可求得.
【小问1详解】
函数.
化简可得：＝2sinxcosx﹣2cos2x
＝sin2x（cos2x）
＝sin2xcos2x
＝2sin（2x）
所以函数的最小正周期T，
值域为．
【小问2详解】
函数，在[0，]上有两个不同的零点，，
转化为函数与函数有两个交点
令，∵，∴，
可得的图象（如图）．

从图可知：在，函数与函数有两个交点，即.
其横坐标分别为．
由题意可知是关于对称轴是对称的，
所以，
又，
所以，解得.
22. 已知函数．
（1）判断函数的奇偶性及单调性；
（2）若对于任意正实数，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义及单调性的定义即得；
（2）利用函数单调性可得，然后利用基本不等式可得，再利用正弦函数的性质即求.
【小问1详解】
∵函数，定义域为R，
∴，
故函数为奇函数，
又，
，且，则
，
∵，
∴，
∴，即，
∴函数为减函数；
【小问2详解】
由，可得
对于任意正实数，恒成立，
∴恒成立，
又，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，
∴的取值范围为，

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