20届高考数学一轮(江苏版)习题-第3讲三角函数的图象和性质.doc

第3讲　三角函数的图象和性质
一、填空题
1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有________(填序号)．
解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝.
答案　①②③
2．(2017·南京模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．
解析　当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．
答案　(k∈Z)
3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y＝sin(0<x<π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．
解析　由题意可得ω＋＝＋2kπ，k∈Z且π≤，解得ω＝2.
答案　2
4．(2017·徐州检测)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为________．
解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
答案　2，－2
5．(2017·苏北四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________．
解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案　
6．(2017·盐城调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案　
7．(2017·银川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出以下结论：
①函数f(x)的最小正周期为π；
②函数f(x)是偶函数；
③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
④函数f(x)在区间上是增函数．
其中正确的是________(填序号)．
解析　f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确．
答案　①②④
8．(2017·承德模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析　法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
答案　
二、解答题
9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解　(1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
10．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
11．(2016·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
解析　在区间[0,3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：

由图象可得两图象有7个交点．
答案　7
12．若函数f(x)＝4sin 5ax－4cos 5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________．
解析　因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.
答案　±
13．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值．则ω的值为________．
解析　f(x)在区间上有最小值，无最大值，则：①说明中有最低点．
∵f＝f，∴最低点必为x＝＝.
代入＋＝－＋2kπ，得ω＝＋8k，k为整数．
②说明中无最高点，故>－＝，
∴T＝>，∴0<ω<6.
由①和②得ω＝.
答案　
14．(2017·南通调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.