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第8节 函数与方程
知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
函数零点(个数)及所在区间
1,2,3,10
15
利用函数零点个数确定参数
的取值(范围)
5,8,9
11,13
16
函数零点的综合问题
4,6,7
12,14
1.函数y=x-4·(12)x的零点所在的区间是( B )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:y=x-4·(12)x=x-(12)x-2为R上的连续单调递增函数,且f(1)=1-2< 0,f(2)=2-1>0,所以f(1)·f(2)<0,故函数y=x-4·(12)x的零点所在区间为(1,2).故选B.
2.函数f(x)=x2-1x+1的零点个数为( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)=0得x2-1x+1=0,所以x2+1=1x,再作出函数y=x2+1与y=1x的图象,如图所示,由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点个数为1.故选B.
3.设x∈R,定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则方程x2sgn x=2x-1的解是( C )
A.1
B.-1-2
C.1或-1-2
D.1或-1+2或-1-2
解析:当x>0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为x2=2x-1,化简得(x-1)2=0,解得x=1;
当x=0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为0=-1,无解;
当x<0时,方程x2sgn x=2x-1可转化为-x2=2x-1,化简得x2+2x-1=0,解得x=-1+2(舍去)或x=-1-2.综上,方程x2sgn x=2x-1的解是1或-1-2.故选C.
4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-1,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则( D )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.a<c<b
解析:令f(x)=2x+x=0,解得x<0,令g(x)=x-1=0,解得x=1,
由h(x)=log3x+x在(0,+∞)上单调递增,得h(13)=-1+13<0,h(1)=1>0,因此h(x)的零点x0∈(13,1),则b>c>a.故选D.
5.函数f(x)=3x-1,x<1,2x2-ax,x≥1有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( C )
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
解析:由题意得,当x<1时,函数有一个零点x=13;
当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=a2,要使函数有两个不同的零点,则只需a2≥1,解得a≥2.故选C.
6.(多选题)(2021·河北石家庄高三质量检测)记函数f(x)=x+ln x的零点为x0,则关于x0的结论正确的为( BC )
A.0<x0<12 B.12<x0<1
C.e-x0-x0=0 D.e-x0+x0=0
解析:由于函数f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,且f(12)=12-ln 2<0, f(1)=1>0,所以12<x0<1.
由于x0是函数f(x)=x+ln x的零点,则x0+ln x0=0,即ln x0=-x0,所以x0=e-x0,即e-x0-x0=0,则e-x0+x0=2e-x0>0,故A,D选项错误,B,C选项正确.故选BC.
7.(2021·江西省重点中学协作体高三联考)已知函数f(x) =lgx,x≥1,-lg(2-x),x<1,g(x)=x3,则方程f(x)=g(x-1)的所有根的和等于( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:作出函数f(x)=lgx,x≥1,-lg(2-x),x<1,
g(x-1)=(x-1)3的图象如图所示.
函数y=f(x),y=g(x-1)图象都关于点(1,0)对称,并且两个函数图象有三个交点,所以方程f(x)=g(x-1)的所有根的和为3.故选C.
8.(2021·河南天一大联考)若函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,则实数a的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=|ex-a|-1有两个零点,所以|ex-a|-1=0有两个解,则ex=a+1或ex=a-1都有解,所以a+1>0,a-1>0,
解得a>1,故实数a的取值范围是(1,+∞).
答案:(1,+∞)
9.已知函数f(x)=2|x|,x≤1,x2-3x+3,x>1,若关于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰有两个不同的实根,则实数a的取值范围为 .
解析:作出函数f(x)的图象如图所示,
因为关于x的方程f(x)=2a恰有两个不同实根,
所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,结合图象,
得2a>2或34<2a≤1.解得a>1或38<a≤12.
答案:(38,12]∪(1,+∞)
10.写出一个满足以下条件的二次函数:存在零点,但是该零点不能利用函数零点存在性定理判断,该函数是 .
解析:由于不能利用零点存在性定理判断的函数零点是不变号零点,因此只要是图象与x轴只有一个交点的二次函数即可满足题意,如f(x)=x2-2x+1等.
答案:f(x)=x2-2x+1(答案不唯一,只要是二次函数图象与x轴相切
即可)
11.(2021·福建龙岩六县一中高三联考)若函数f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0 (a∈R)在R上没有零点,则a的取值范围是( B )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)∪{0}
C.(-∞,0] D.(-∞,1]
解析:假设函数f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R),存在零点,则当x≤0时,由y=2x-a有零点,则a=2x(x≤0),即0<a≤1.当x>0时,由y=-3x-a有零点可知a<0,因此函数f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R)存在零点的条件是a≤1,且a≠0.因此当函数f(x)=2x-a,x≤0,-3x-a,x>0(a∈R)在R上没有零点时,a∈(1,+∞)∪{0}.故选B.
12.(2021·内蒙古赤峰二中等校联考)若直角坐标平面内A,B两点满足:①点A,B都在函数f(x)的图象上;②点A,B关于原点对称,则点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数f(x)=x2+2x(x<0),2ex(x≥0),则f(x)的“姊妹点对”有( C )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析:根据题意,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.
因此“姊妹点对”的个数即为函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象与函数y=2ex(x≥0)的图象交点的个数,当x=1时,0<2e<1,作出满足题意的图象如图所示,观察图象可得它们有2个交点.故选C.
13.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=π4对称,且当π4≤x≤π时,f(x)=sin x,则当函数g(x)=f(x)-a在[-π2,π]有零点时,关于其零点之和,下列阐述正确的是( BCD )
A.零点之和可以为π4
B.零点之和可以为π2
C.零点之和可以为3π4
D.零点之和可以为π
解析:由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=π4对称,
又因为当π4≤x≤π时,f(x)=sin x,所以作出函数的图象如图所示,函数g(x)=f(x)-a在[-π2,π]内有零点,
即函数y=f(x)的图象与函数y=a的图象在[-π2,π]内有交点,结合图象可知,当0≤a<22或a=1时,有两个零点,零点之和为π2;
当a=22时,有三个零点,零点之和为3π4;
当22<a<1时,有四个零点,零点之和为π.故选BCD.
14.已知函数f(x)=-x,x<0,-3x2+6x,x≥0,若关于x的方程f(x)=k(k∈R)恰有三个互不相同的实根x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围为 .
解析:函数f(x)=-x,x<0,-3x2+6x,x≥0的图象如图所示.
由图可得x1=-k,x2·x3=13k,故x1·x2·x3=-13k2,k∈(0,3),所以x1·x2·x3∈(-3,0).
答案:(-3,0)
15.(2021·北京石景山区高三期末)已知函数f(x)=2x,x≥0,-x,x<0,则函数y=f(x)-2|x|的零点个数是( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令f(x)-2|x|=0,得f(x)=2|x|,则函数y=f(x)-2|x|的零点个数等价于函数f(x)的图象与函数y=2|x|的图象的交点个数.
因为y=2|x|=2x,x≥0,(12) x,x<0,
作出函数f(x)与函数y=2|x|的图象如图所示.
由图象可知两个函数的图象的交点个数为2,故函数y=f(x)-2|x|的零点个数为2.故选C.
16.(2021·辽宁抚顺一中高三联考)已知函数f(x)=x2-2x-3,x≤λ,ln(x-1),x>λ恰有两个零点,则实数λ的取值范围为 .
解析:当x≤λ时,令x2-2x-3=0,得x=-1或x=3;
当x>λ时,令ln(x-1)=0,得x=2,
若f(x)的两个零点是-1和3,则-1≤λ,3≤λ,2≤λ,
解得λ≥3,
若f(x)的两个零点是-1和2,则-1≤λ,3>λ,2>λ,
解得-1≤λ<2,
若f(x)的两个零点是2和3,则-1>λ,3≤λ,2>λ,
此不等式组无解.
综上所述,λ的取值范围为-1≤λ<2或λ≥3.
答案:[-1,2)∪[3,+∞)
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