课时作业-第4节-幂函数与二次函数.docx

第4节　幂函数与二次函数

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
幂函数的图象与性质
1,2,5
11

二次函数的图象与性质
3,4,6
10,12
15
二次函数的综合问题
7,8,9
13,14
16

1.已知点(a,18)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是(　B　)
A.定义域内的减函数
B.奇函数
C.偶函数
D.定义域内的增函数
解析:因为点(a,18)在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,所以a-1=1,解得a=2,则2b=18,解得b=-3,所以f(x)=x-3,
所以函数f(x)是定义域上的奇函数,且在每一个区间内是减函数.故选B.
2.(2021·安徽合肥一中高三月考)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n (n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(　B　)
A.-3 B.1
C.2 D.1或2
解析:因为幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,所以n2+2n-2=1,n2-3n是偶数,n2-3n<0,解得n=1.故选B.
3.已知函数f(x)=1x2-2x-3,规定区间E,对任意x1,x2∈E,当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2),则下列区间可作为E的是(　D　)
A.(3,6) B.(-1,0)
C.(1,2) D.(-3,-1)
解析:由题意知函数f(x)=1x2-2x-3在区间E上是增函数,由x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,当x∈(-∞,-1)时,函数y=x2-2x-3是减函数,结合复合函数的单调性可知函数f(x)=1x2-2x-3是增函数,即(-∞,-1)为函数f(x)=1x2-2x-3的单调递增区间,而(-3,-1)⊆(-∞,-1),所以(-3,-1)可作为E.故选D.
4.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx与幂函数y=xba(x>0)图象的关系可能为(　A　)

解析:对于A,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a>0,其对称轴x=-b2a>0,则ba<0,即幂函数y=xba(x>0)为减函数,符合题意;
对于B,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a<0,其对称轴x=-b2a>0,则ba<0,即幂函数y=xba(x>0)为减函数,不符合题意;
对于C,二次函数y=ax2+bx的图象开口向上,则a>0,其对称轴x=-b2a=-1,则ba=2,即幂函数y=xba=x2(x>0)为增函数,且其增加的越来越快,不符合题意;
对于D,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,则a<0,其对称轴x=-b2a>-12,则0<ba<1,即幂函数y=xba(x>0)为增函数,且其增加的越来越慢,不符合题意.故选A.
5.(多选题)(2021·福建闽江口高三联考)若幂函数y=f(x)的图象经过点(27,3),则幂函数f(x)在定义域上是(　AC　)
A.奇函数 B.偶函数
C.增函数 D.减函数
解析:因为y=f(x)是幂函数,设f(x)=xa(a∈R),而其图象过点(27,3),
即f(27)=27a=3,解得a=13,于是得f(x)=x13,且f(x)的定义域为R,
显然f(x)是定义在R上的增函数,C正确;f(-x)=(-x)13=-x13=-f(x),则f(x)为定义在R上的奇函数,A正确.故选AC.
6.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1,13),且函数y=f(x-12)是偶函数,则函数f(x)的解析式为　　　　　　. 
解析:因为y=f(x-12)是偶函数,有f(x-12)=f(-x-12),所以f(x)的图象关于直线x=-12对称,即-b2=-12,故b=1,又图象经过点(1,13),所以f(1)=13,可得c=11,故f(x)=x2+x+11.
答案:f(x)=x2+x+11
7.(2021·江苏常熟中学高三三模)已知函数f(x)同时满足①f(0)=0;②在[1,3]上单调递减;③f(1+x)=f(1-x),则该函数的表达式可以是f(x)=　　　　. 
解析:由f(1+x)=f(1-x)可知y=f(x)的图象关于直线x=1对称,可设f(x)为二次函数,又f(0)=0且f(x)在[1,3]上单调递减,所以可设f(x)=2x-x2.
答案:2x-x2(答案不唯一)
8.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.若b<1,且函数g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,则m的取值范围是　　　　　　. 
解析:由f(x)=a(x-1)2+2+b-a可得二次函数图象的对称轴为直线x=1.
当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
可得9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2,所以a=1,b=0.
当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
可得9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5,解得a=-1,b=3(舍去).
则f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2.
因为g(x)在[2,4]上单调,
所以2+m2≤2或m+22≥4,即m≤2或m≥6,
故m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).
答案:(-∞,2]∪[6,+∞)
9.已知函数f(x)=x2+a|x-2|-4.
(1)当a=2时,求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=x2+2|x-2|-4=x2+2x-8,x≥2,x2-2x,x<2,
即f(x)=(x+1)2-9,x≥2,(x-1)2-1,x<2,
当x∈[0,2)时,-1≤f(x)≤0;
当x∈[2,3]时,0≤f(x)≤7,
所以f(x)在[0,3]上的最大值为7,最小值为-1.
(2)因为f(x)=x2+ax-2a-4,x≥2,x2-ax+2a-4,x<2,
又f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,
所以当x≥2时,f(x)单调递增,则-a2≤2,即a≥-4;
当-1≤x<2时,f(x)单调递增,则a2≤-1,即a≤-2,
且4+2a-2a-4≥4-2a+2a-4恒成立,
故实数a的取值范围为[-4,-2].

10.已知函数f(x)=ax2+bx+c,且f(x+2)是偶函数,则下列大小关系可能正确的是(　A　)
A.f(2)<f(-ba)=c
B.f(-ba)<f(x)<c
C.f(2)>f(-ba)>c
D.f(-ba)<f(2)=c
解析:因为f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是y=f(x)图象的对称轴.
f(-ba)=a·b2a2+b·(-ba)+c=c,这样B,C,D均不可能成立,
当a>0时,f(2)是最小值,因此f(2)<f(-ba)=c成立.故选A.
11.已知实数a,b满足等式a3=b5,给出下列五个关系式:①1<b<a;②a<b<-1;③0<b<a<1;④-1<a<b<0;⑤a=b,其中可能成立的关系式有(　C　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.5个
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数y=x3和y=x5的图象,如图
所示.

数形结合可知,在(1)处a<b<-1;在(2)处-1<b<a<0;在(3)处0<a<b<1;在(4)处1<b<a;在a=b=1或a=b=-1处也满足,故①②⑤可能成立.故选C.
12.(多选题)函数f(x)=x2-4x+2在区间[a,b]上的值域为[-2,2],则b-a的值可能是(　BCD　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2,解得x=0或x=4,
解方程f(x)=x2-4x+2=-2,解得x=2,
由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[-2,2].
若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]=[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最小值2;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,且当b-a取最大值时,[a,b]=[0,4],所以b-a的最大值为4,所以b-a的取值范围是[2,4].故选BCD.
13.已知函数f(x)=2x2-ax+1,x∈[-1,a],且f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围为　　　　. 
解析:由题设知f(x)图象的对称轴为直线x=a4且开口向上,
所以当a>0时,有-1<a4<a,若a4≤a-12,即a≥2时,f(x)max=f(a),符合题意;若a4>a-12,即0<a<2时,f(x)max=f(-1),不符合题意;
当a=0时有f(x)=2x2+1,图象的对称轴为直线x=0且开口向上,f(x)在[-1,a]上单调递减,f(x)max=f(-1),不符合题意;
当-1<a<0时,有-1<a<a4,f(x)在[-1,a]上单调递减,则f(x)max=f(-1),不符合题意.
综上,a∈[2,+∞).
答案:[2,+∞)
14.已知f(x)=2x2+ax+b过点(0,-1),且满足f(-1)=f(2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在[m,m+2]上的值域为[-32,3],求m的值;
(3)若f(x0)=x0,则称x0为y=f(x)的不动点,函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求x1x2+x2x1的最小值.
解:(1)因为f(x)=2x2+ax+b过点(0,-1),
所以f(0)=-1,解得b=-1,则f(x)=2x2+ax-1.因为f(-1)=f(2),
所以2-a-1=8+2a-1,解得a=-2,所以f(x)=2x2-2x-1.
(2)令f(x)=-32,解得x=12,令f(x)=3,解得x=-1或2,
因为f(x)在[m,m+2]上的值域为[-32,3],
所以当m=-1时,f(x)在[-1,1]上的值域满足题意;
当m+2=2,即m=0时,f(x)在[0,2]上的值域满足题意,
故m=-1或0.
(3)g(x)=f(x)-tx+t=2x2-(2+t)x+t-1,
函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,
即2x2-(2+t)x+t-1=x有两个不相等的正实数根x1,x2,
即2x2-(t+3)x+t-1=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
则Δ=(t+3)2-8(t-1)>0,x1+x2=t+32>0,x1x2=t-12>0,解得t>1,
则x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2=(t+32) 2t-12-2=12[(t-1)+16t-1]+2≥2+12·
2(t-1)·16t-1=6,
当且仅当t=5时取等号,故x1x2+x2x1的最小值为6.

15.(多选题)已知f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1(k∈R).下列四个命题正确的是(　AB　)
A.对任意实数x,存在k,使得f(x)>0
B.对任意k,存在实数x,使得f(x)>0
C.对任意实数k,x,均有f(x)>0成立
D.对任意实数k,x,均有f(x)<0成立
解析:令f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1=0,
记Δ=(2k)2-4(3k2-3k+1)=-4(2k-1)(k-1),
因为f(x)为图象开口向上的二次函数,所以对任意k,总存在实数x使得f(x)>0,故B正确,D错误;
因为当k∈(-∞,12)∪(1,+∞)时,Δ=-4(2k-1)(k-1)<0,
所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0无解,
所以f(x)=x2-2kx+3k2-3k+1>0恒成立,故A正确;
因为当k∈[12,1]时,Δ=-4(2k-1)(k-1)≥0,
所以方程x2-2kx+3k2-3k+1=0有一根或两根,
所以对任意x,f(x)>0不恒成立,故C错误.故选AB.
16.已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(2-k)(1+k),满足f(2)<f(3).若函数g(x)=1-f(x)+2mx(m>0),在区间[0,1]上的最大值为5,则m的值为　　　　. 
解析:因为f(x)是幂函数,故k2+k-1=1,所以k=-2或k=1.
当k=1时,f(x)=x2,满足f(2)<f(3),
当k=-2时,f(x)=x-4,不满足f(2)<f(3),
所以f(x)=x2,
所以g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,
因为g(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=m(m>0),
①当0<m<1时,g(x)在区间[0,m)上单调递增,在区间(m,1]上单调
递减.
所以g(x)max=g(m)=m2+1=5,所以m=±2,均不符合题意,舍去,
②当m≥1时,g(x)在区间[0,1]上单调递增,
所以g(x)max=g(1)=2m=5,所以m=52,符合题意,
综上所述,m=52.
答案:52