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预测06 立体几何与空间向量
1、有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;
2、有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;
3、线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.
1、线面平行的判定定理与性质定理
1)线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与平面平行.
符号语言：.
要判定直线与平面平行，只需证明直线平行于平面内的一条直线.
2)线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线与该直线平行.
符号语言：.
当直线与平面平行时，直线与平面内的直线不一定平行，只有在两条直线共面时才平行.
3)面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
符号语言：.
要使两个平面平行，只需证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行即可，这里的直线需是相交直线.
4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
符号语言：.
2、直线、平面垂直的判定定理与性质定理
1)线面垂直的判定定理：如果直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线与平面垂直.
符号语言：.
要判定直线与平面垂直，只需判定直线垂直于平面内的两条相交直线即可.
2)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：.
此性质反映了平行、垂直之间的关系，也可以获得以下推论：两直线平行，若其中一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直.
3)面面垂直的判定定理：若直线垂直于平面，则过该直线的平面与已知平面垂直.
符号语言：.
要证明平面与平面垂直，关键是在其中一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.
4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：.
要通过平面与平面垂直推理得到直线与平面垂直，必须满足直线垂直于这两个平面的交线.
3、异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
4、直线与平面所成角
设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝
5、二面角
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝
6、利用空间向量求距离
点到平面的距离
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
一．选择题（共5小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2 B．22 C．4 D．42
2．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．20+123 B．282 C．563 D．2823
3．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，该卫星信号覆盖地球表面的表面积S＝2πr2（1﹣cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
4．（2021•甲卷）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A．212 B．312 C．24 D．34
5．（2021•乙卷）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A．π2 B．π3 C．π4 D．π6
二．多选题（共2小题）
（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）7．（压轴）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足BP→=λBC→+μBB1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值
C．当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ=12时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
三．解答题（共5小题）
8．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
（1）求三棱锥F﹣EBC的体积；
（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．
9．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA=5，QC＝3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．
10．（2021•乙卷）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC中点，且PB⊥AM．
（1）求BC；
（2）求二面角A﹣PM﹣B的正弦值．
11．（2021•甲卷）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
12．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．
一．选择题（共6小题）
1．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，则以下命题正确的是（ ）
A．若l∥α，α∥β，则l⊂β B．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
C．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β D．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
2．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为362π，则它的体积为（ ）
A．182π B．72π C．642π D．216π
3．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝2，PC＝AC，且PC⊥平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．16π B．8π C．43π D．323π
4．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为（ ）
A．8π B．4π C．83π D．823π
5．设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，给出下列四个命题：
①三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值；
②异面直线D1B1与EF所成的角为45°；
③D1B1⊥平面B1EF；
④直线D1B1与平面B1EF所成的角30°．
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是（ ）
A．306 B．66 C．7010 D．3010
二．多选题（共4小题）
（多选）7．某正方体的平面展开图如图所示，在原正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．BF⊥平面DEH B．DE∥平面ABC
C．FG⊥平面ABC D．平面DEH∥平面ABC
（多选）8．已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，则下列判断错误的是（ ）
A．AD∥平面A1BC1
B．在直线BB1上存在一点E，使得AE⊥CD
C．AB1⊥平面A1BC1
D．在直线DD1上存在一点E，使得CE∥平面A1BC1
（多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点（E可以与端点B1、D1重合），则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BE
B．AE∥平面BC1D
C．AE与平面BB1D1D所成角的最小值为θ，则sinθ=33
D．三棱锥B﹣A1DE的体积为定值
（多选）10．（压轴）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H，P均为所在棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．棱AB上一定存在点Q，使得QC⊥D1Q
B．三棱锥F﹣EPH的外接球的表面积为8π
C．过点E，F，G作正方体的截面，则截面面积为33
D．设点M在平面BB1C1C内，且A1M∥平面AGH，则A1M与AB所成角的余弦值的最大值为223
三．填空题（共4小题）
11．已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为33的正三角形，则该圆锥的体积为 ．
12．如图，三棱锥P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且PA＝PB＝AB=2，PC=3，则点C到平面PAB的距离等于 ．
13．（压轴）已知半径为5的球面上有P，A，B，C四点，满足∠ACB＝90°，AC＝7，BC=15，则球心O到平面ABC的距离为 ，三棱锥P﹣ABC体积的最大值为 ．
14．（压轴）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面四边形BCC1B1内（不含边界）一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝2AB＝2BC＝2，PA⊥平面ABCD．点M是PC的中点，且平面AMD⊥平面PCD．
（1）证明：AM⊥平面PCD；
（2）求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
16．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．
（1）已知平面PAB∩平面PCD＝l，求证：AB∥l．
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．
17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为AC的中点，AC＝2．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为33，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，M为SD的中点，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2AD＝2．
（1）求证：AM∥平面SBC，平面SBC⊥平面SDB；
（2）若SB与平面SDC所成角的正弦值为33，求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．
19．如图1所示，梯形ABCD中，AD＝2AB＝2BC＝2CD＝4．E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB的中点．
（1）求证：AM∥平面PCD；
（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．
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