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中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第16节 菱形的存在性
方法点拨
菱形ABCD，M为对角线AC与BD的交点，则M的坐标为()或者()
解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等)
(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；
(2)利用中点坐标公式列方程：；
(3)对角线垂直：
例题演练
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PF∥x轴交直线BC于点F，过P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；
(3)将该抛物线沿着射线AC方向平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝与x轴交于A，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
(1)如图1，连接AC，BC，判断△ABC的形状，说明理由；
(2)如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥BC交AC于点E，作PQ∥y轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC．
(1)如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和△ACD的面积；
(2)如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PF⊥AC，垂足为F，当△PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；
(3)当(2)题中|QP﹣QD|取得最大值时，点M为直线x＝﹣2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(﹣4，0)，点D的坐标为(0，4)．
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标；
(2)若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD面积的最大值；
(3)如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C(0，2)，交x轴于点A(﹣1，0)和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)求的最大值及此时点E的坐标；
(3)在(2)的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)求A，B两点坐标及直线BC的解析式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上一点，当△BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，记这个最小值是d，请直接写出此时点P的坐标及d2．
(3)在(2)的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y'经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D'为曲线N的顶点，将△AOP沿直线AP平移，得到△A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'，R'，O'，T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ax2﹣6ax﹣6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．已知抛物线顶点纵坐标为﹣8．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为线段OB的中点，过点M作MN∥BC，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，连接PM，交BC于点Q，连接PN，NQ．当△PNQ的面积最大时，求出此时点P的坐标及△PNQ的面积最大值；
(3)当点P满足(2)问的条件时，在直线BC上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，6)，其中AB＝8，tan∠CAB＝3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
(3)将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在(2)中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9．综合与探究：
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4(a，b为常数，且a≠0)与x轴交于点A(，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是射线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PH∥x轴于点H，当线段PH长度最大时，求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点D是OC的中点，将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y′的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′，N，B，S为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D的坐标为(﹣2，9)，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为(0，5)，连接DB、DC，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把△CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；
(3)若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c(c为常数)与一次函数y＝﹣x+b(b为常数)交于A、B两点，其中A点坐标为(﹣3，0)．
(1)求B点坐标；
(2)点P为直线AB上方抛物线上一点，连接PA，PB，当S△PAB＝时，求点P的坐标；
(3)将抛物线y＝﹣x2﹣2x+c(c为常数)沿射线AB平移5个单位，平移后的抛物线y1与原抛物线y＝﹣x2﹣2x+c相交于点E，点F为抛物线y1的顶点，点M为y轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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