2021北京重点区初一(下)期末数学汇编：不等式与不等式组章节综合.docx

2021北京重点校初一（下）期末数学汇编
不等式与不等式组章节综合
一、单选题
1．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末） 我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x+3y≤10，它的正整数解有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个
2．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京·101中学七年级期末）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
4．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知x＞y，下列变形正确的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣3 B．2x＋1＜2y＋1 C．﹣2x＜﹣2y D．＜
5．（2021·北京·人大附中七年级期末）如果关于x的不等式（4﹣3a）≥2（3x＋a）的解集如图所示，则a的值是（ ）

A．a＝﹣1 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝1
6．（2021·北京·清华附中七年级期末）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≥6 B．﹣8＜a≤6 C．a＞6 D．a≤﹣8或a≥6
7．（2021·北京·北大附中七年级期末）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　）
A．a+5＜b+5 B． C．3a﹣2＞3b﹣2 D．﹣4a＞﹣4b
二、填空题
8．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a﹣b．已知不等式xk≥1的解集在数轴上，则k的值是_____．

9．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）若关于的不等式的负整数解是，则实数满足的条件是________．
10．（2021·北京·人大附中七年级期末）为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为____．
11．（2021·北京·人大附中七年级期末）对实数x，y定义运算：x&y＝ax＋by﹣2，其中a，b是常数．令m＝1&2，n＝3&4，k＝9&14，如果0≤m≤4，﹣2≤n≤2021，那么k的取值范围是____．
12．（2021·北京·101中学七年级期末）不等式的最小整数解是______．
13．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）一瓶饮料净重，瓶上标有“蛋白质含量”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为， 则__________．
14．（2021·北京·人大附中七年级期末）在平面直角坐标系中，点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是____．
15．（2021·北京·人大附中七年级期末）关于x的不等式ax﹣2x＞b的解集为x＜，写出一个满足条件的a的值____．
16．（2021·北京·北大附中七年级期末）若不等式2（x+3）＞1的最小整数解是方程a+2x＝3的解，则a的值为 ___．
17．（2021·北京·北大附中七年级期末）不等式组的解集是 ___．
三、解答题
18．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是______．
a． b．
c． d．
（2）若关于的不等式被覆盖，求的取值范围．
（3）若关于的不等式被覆盖，直接写出的取值范围：_____．
19．（2021·北京·101中学七年级期末）阅读下列材料：
问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0
解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，
又∵x＞1∴y+2＞1
∴y＞﹣1
又∵y＜0
∴﹣1＜y＜0①
∴﹣1+2＜y+2＜0+2
即1＜x＜2②
①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2
请按照上述方法，完成下列问题：
（1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是　 　；x+y的取值范围是 　 　；
（2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值．
20．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）疫情期间，小明家购买防护用品的收据如下表，有部分数据因污损无法识别．根据下表，解决下列问题：
商品名
单价（元）
数量（件）
金额（元）
消毒水

2
98
酒精喷剂
32
3

医用口罩
50

消毒纸巾
20

温度计
189
1

合计

16
703
（1）小明家此次购买的医用口罩和消毒纸巾各多少件？
（2）小明家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共10件，且总价不超过360元，则消毒水最多购买多少件？
（3）随着疫情的发展，小明家准备用270元购买医用口罩和消毒纸巾，在270元恰好用完的条件下，有哪些购买方案？
21．（2021·北京·北大附中七年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程．如一元一次方程的解是，一元一次不等式组的解集是，我们就说一元一次方程是一元一次不等式组的一个关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是　 ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围．
22．（2021·北京·人大附中七年级期末）解不等式或不等式组，并求出其正整数解．
（1）＞1＋x；
（2）．
23．（2021·北京·人大附中七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足5x≥4y﹣4，求实数k的取值范围．
24．（2021·北京·北大附中七年级期末）列方程或不等式组解应用题：
某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件．
（1）求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
（2）若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大？
25．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）（1）解方程组；
（2）解不等式组，求出其正整数解．
26．（2021·北京·北大附中七年级期末）（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
27．（2021·北京·101中学七年级期末）解不等式2(x+5)≤3(x﹣5)，并在数轴上把解集表示出来．

参考答案
1．B
【分析】
先解不等式，得到，结合x、y是正整数，则，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∵x、y是正整数，
∴，
∴，
∴y能取1、2、3，
当时，有，
∴，，，
当时，有，
∴，，
当时，，无正整数解；
∴正整数解有5个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了新定义以及解不等式，二元一次不等式2x+3y≤0正整数解，求出y的整数值是本题的关键．
2．D
【分析】
分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可．
【详解】

∵解不等式①得：，解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
3．D
【详解】
不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号的方向不变，不等式的两边同时除以或乘以一个正数，不等号的方向也不变，所以A、B、C错误， D正确.
故选D.
4．C
【分析】
根据不等式的性质，对各个选项逐个计算，即可得到答案．
【详解】
∵x＞y
∴x﹣3＞y﹣3，2x＋1＞2y＋1，﹣2x＜﹣2y，＞
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的知识；解题的关键是熟练掌握不等式的性质，从而完成求解．
5．C
【分析】
首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
【详解】
解：根据图示知，原不等式的解集是：x≤−1；
又（4﹣3a）≥2（3x＋a），
∴x≤，
∴＝−1，
解得，a＝2
故选：C．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
6．A
【分析】
根据解不等式组的方法和题意，可以得到a的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵关于x的不等式组无解，
∴a≥6，
故选：A．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组无解情况是大大小小无解了．
7．C
【分析】
不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
【详解】
解：A．∵a＞b，
∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，
∴3a-2＞3b-2，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．﹣3
【分析】
根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】
根据图示知，已知不等式的解集是x⩾−1.
则2x−1⩾−3
∵x△k=2x−k⩾1，
∴2x−1⩾k且2x−1⩾−3，
∴k=−3.
故答案是：k=−3.
9．
【分析】
首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式的负整数解得到关于a的不等式组，从而求得a的范围．
【详解】
根据题意得：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了不等式的整数解．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
10．50
【分析】
根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，由x是整数，从而可以求得维持交通秩序的总人数．
【详解】
解：设安排了x个路口维持交通秩序，
，
解得，7＜x＜
∴有8个路口
∴当x＝8时，维持交通秩序的总人数：4x＋18＝4×8＋18＝50，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的不等式，注意此题要联系实际情况，路口和人数都要取整数．
11．4≤k≤4062
【分析】
先根据新定义得到m=a+2b-2,n=3a+4b-2，k=9a+14b-2，再求出2≤a+2b≤6，0≤3a+4b≤2023，通过9a+14b=3（a+2b）+2（3a+4b）得到6≤9a+14b≤4064，故可得到k的取值．
【详解】
∵x&y＝ax＋by﹣2，m＝1&2，n＝3&4，k＝9&14，
∴m=a+2b-2,n=3a+4b-2，k=9a+14b-2
∵0≤m≤4，﹣2≤n≤2021，
∴0≤a+2b-2≤4，﹣2≤3a+4b-2≤2021，
∴2≤a+2b≤6，0≤3a+4b≤2023
∵9a+14b=3（a+2b）+2（3a+4b），6≤3（a+2b）≤18，0≤2（3a+4b）≤4046
∴6+0≤9a+14b≤18+4046
∴6≤9a+14b≤4064
∴4≤9a+14b-2≤4062
∴4≤k≤4062，
故答案为：4≤k≤4062．
【点睛】
此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是根据新定义表示出k的关系式，再根据不等式的解集变形求解．
12．3
【详解】
解不等式得；，
∵大于2.5的最小整数是3，
∴原不等式的最小整数解是3.
故答案是：3.
13．
【分析】
根据题意，可以得到关于的不等式，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查不等式的定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
14．a＞3
【分析】
根据点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于a的不等式组，从而可以得到a的取值范围．
【详解】
解：∵点A（2a＋4，6﹣2a）在第四象限，
∴，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组、点的坐标，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是（＋，−），列出相应的不等式组．
15．1（答案不唯一）
【分析】
先根据不等式的性质求出a的取值范围，然后从取值范围中找一个数即可．
【详解】
解：∵ax﹣2x＞b，
∴(a﹣2)x＞b．
∵x＜，
∴a-2<0，
∴a<2，
∴a的值可以是1（答案不唯一），
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
16．7
【分析】
求得x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程，通过解该方程即可求得a的值．
【详解】
解：2（x+3）＞1，
解得x＞-2.5，其最小整数解为-2，
所以x=-2是方程的解，
因此2×（-2）+a=3，
解得a=7．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据不等式的基本性质．
17．-1≤x＜2
【分析】
求不等式组中两个不等式解集的交集即为所求．
【详解】
解；不等式组的解集是-1≤x＜2，
故答案为：-1≤x＜2．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
18．（1）c，d；（2）；（3）或．
【分析】
（1）根据题意分别解出不等式（组），再判断a,b,c,d是否符合题意；
（2）根据题意，列出关于m的不等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，①不等式组无解；②不等式有解，满足题目中的定义，据此列出不等式组，即可求解．
【详解】
（1）由，解得：，故a不符合题意；
由，解得：，故b不符合题意；
由，解得：，故c符合题意；
由解得：，无解，故d符合题意；
故选：c，d；
（2）由，解得：，
∵关于的不等式被覆盖，
∴，即，
故填：；
（3）①无解，
即：，
解得：；
②有解，即，
解得：，
且不等式被覆盖，
即，
解得：，
∴；
综上所述，或，
故填：或．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式（组），解题关键是明确题意，根据题意列出不等式（组）．
19．（1）-1＜x＜3，-5＜x+y＜3；（2）a＝3，b＝-2．
【分析】
（1）仿照阅读材料即可先求出-1＜x＜3，然后即可求出x+ y的取值范围；
（2）先仿照阅读材料求出3x-y的取值范围，然后根据已知条件可列出关于a、b的方程组，解出即可求解．
【详解】
解：（1）∵x-y＝3，
∴x＝y+3.
∵x＞-1，
∴y+3＞-1，即y＞-4.
又∵y＜0，
∴-4＜y＜0①，
∴-4+3＜y+3＜0+3，
即-1＜x＜3②，
由①+②得：-1-4＜x+y＜0+3，
∴x+y的取值范围是-5＜x+y＜3；
（2）∵x-y＝a，
∴x＝y+a，
∵x＜-b，
∴y+a＜-b，
∴y＜-a-b.
∵y＞2b，
∴2b＜y＜-a-b，
∴a+b＜-y＜-2b①，
2b+a＜y+a＜-b，
即2b+a＜x＜-b，
∴6b+3a＜3x＜-3b②
由①+②得：7b+4a＜3x-y＜-5b，
∵-2＜3x-y＜10，
∴ ，
解得：
即a＝3，b＝-2．
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解二元一次方程组，理解阅读材料，列出不等式和方程组是解题的关键．
20．（1）4件；6件 （2）2件 （3）见解析
【分析】
（1）设小明家此次购买医用口罩x件，消毒纸巾y件，根据总价=单价×数量结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买消毒水m件，则购买酒精喷剂（10-m）件，根据总价=单价×数量结合总价不超过360元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论；
（3）设可以购买医用口罩a件，消毒纸巾b件，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数即可得出各购买方案．
【详解】
解：（1）设购买的医用口罩有x件，消毒纸巾有y件．
根据题意，得
解得：
答：设购买的医用口罩有4件，消毒纸巾有6件．
（2）设购买消毒水m件．
根据题意，得49m＋32×(10－m)≤360．
解得m≤
∵m为整数，∴m最大取2．
答：消毒水最多购买2件．
（3）设购买的医用口罩有a件，消毒纸巾有b件．
根据题意，得 50a+20b=270．
∴b＝，
∵a、b为整数
∴a＝1，b＝11，a＝3，b＝6；a＝5，b＝1，
∴满足条件的购买方案一共有3种，分别是：
方案一医用口罩购买1件，消毒纸巾购买11件；
方案二医用口罩购买3件，消毒纸巾购买6件；
方案三医用口罩购买5件，消毒纸巾购买1件．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
21．（1）②；（2）；（3）的取值范围是．
【分析】
（1）分别求出方程的解，不等式组的解集，根据定义标准判断即可；
（2）确定不等式组的整数解，后根据整数解构造一元一次方程即可，答案不是唯一的；
（3）先求得方程的解，在计算出不等式组的解集，根据新定义，重新构造关于m的不等式组，求解即可．
【详解】
解：（1）解不等式组
得：，
方程①的解为；
方程②的解为；
方程③的解为，
不等式组的关联方程是②，
故答案为：②；
（2）解不等式组
得：，
所以不等式组的整数解为，
则该不等式组的关联方程为，
故答案为：；
（3）解不等式组
得：．
方程的解为，
方程的解为，
∵都是关于的不等式组的关联方程，
∴，
解得
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，新定义问题，熟练掌握解法，准确把握新定义是解题的关键．
22．（1）x<3；正整数解为1，2；（2）1≤x＜4；正整数解为1，2，3．
【分析】
（1）根据不等式的性质即可求解；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数．
【详解】
（1）＞1＋x
x+5＞2+2x
-x＞-3
∴x＜3
∴其正整数解为1，2；
（2），
解不等式①得，x＜4，
解不等式②得，x≥1，
所以，不等式组的解集是1≤x＜4，
所以，其正整数解为1，2，3，4．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
23．k≥﹣1
【分析】
先利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再根据已知列出关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】
解：解二元一次方程组，
①+②得：7x=7k+7，即x=k+1，
将x=k+1代入①中，得：y=﹣k，
∴二元一次方程组的解为，
∵二元一次方程组的解满足5x≥4y﹣4，
∴5（k+1）≥4(﹣k)﹣4，
解得：k≥﹣1，
故实数k的取值范围为k≥﹣1，
故答案为：k≥﹣1．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组、二元一次方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握它们的解法是解答的关键．
24．（1）A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元；（2）购进A种纪念品30件，B种纪念品10件
【分析】
（1）设A和B的进价分别为x和y，件数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解即可．
（2）获利=利润×件数，设购买A商品a件，则购买B商品（40-a）件，由题意可得到两个不等式，解不等式组即可．
【详解】
解：（1）设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元．由题意，
，解得：，
答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元．
（2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（40-a）件．
由题意，得，
解之，得：30≤a≤32，
∵a为正整数，
∴a=30或31或32，
当a=30时，总获利为220元，
当a=31时，总获利为218元，
当a=32时，总获利为216元，
∴当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，获得利润最大．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和不等式组求解．
25．（1）；（2）不等式组的正整数解是1、2．
【分析】
（1）用加减消元法即可求解；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．
【详解】
（1），
②①得，，解得，
把代入①，得，
原方程组的解是；
（2），解不等式①得，，解不等式②得：，
∴此不等式组的解集为：，
∴此不等式组的整数解是：1、2．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的解和一元一次不等式组的解，掌握加减消元法和正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
26．（1）x≤-2；（2）-3＜x≤2，-2，-1，0，1，2
【分析】
（1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【详解】
解：（1），
去分母，得2（2x-1）≤3x-4，
去括号，得4x-2≤3x-4，
移项，得4x-3x≤-4+2，
合并同类项，得x≤-2，
在数轴上表示不等式的解集为：

（2），
解不等式①，得x＞-3，
解不等式②，得x≤2，
所以不等式组的解集是-3＜x≤2，
所以不等式组的整数解是-2，-1，0，1，2．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能分别求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
27．x≥25，数轴表示见解析
【分析】
先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可.
【详解】
解：∵，
∴，
解得，
∴不等式的解集为：，
在数轴上表示不等式的解集如下：

【点睛】
本题主要考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法.
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