备战2023年高考数学一轮复习-第3讲-第2课时-简单的三角恒等变换.doc

第2课时　简单的三角恒等变换

考向一　三角函数式的化简
例1　(1)已知0<θ<π，则
＝________.
答案　－cosθ
解析　由θ∈(0，π)得0<<，所以cos>0，
所以＝＝2cos.
又(1＋sinθ＋cosθ)
＝
＝2cos＝－2coscosθ.
故原式＝＝－cosθ.
(2)化简：－tan ＝________.
答案　
解析　原式＝－ 1＋·
＝·
＝·＝.
(3)化简：－2cos(α＋β)．
解　原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
　　三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．
　1.化简：·
＝________.
答案　
解析　原式＝tan(90°－2α)·＝·＝·＝.
2．化简：＝________.
答案　cos2x
解析　原式＝
＝＝＝＝cos2x.
多角度探究突破
考向二　三角函数式的求值
角度　　给角求值
例2　(1)求值：＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
答案　C
解析　原式＝
＝＝
＝＝
＝＝.
(2)求值：＝________.
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝
＝＝－4.
　　该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
　3.求值：－＝(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－4
答案　D
解析　－＝－
＝＝
＝＝－4.故选D.
4．(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)的值为(　　)
A．222 B．223
C．211 D．212
答案　A
解析　由结论知tan1°＋tan44°＝1－tan1°·tan44°，(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2.所以(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)＝222.故选A．
角度　　给值求值

　例3　(1)(2021·赣州模拟)若cos78°＝m，则sin(－51°)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　A
解析　∵cos78°＝m，∴cos(180°－78°)＝cos102°＝－cos78°＝－m，可得1－2sin251°＝cos102°＝－m，∴sin251°＝，解得sin51°＝ ，∴sin(－51°)＝－ .故选A．
(2)(2022·辽宁沈阳摸底)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案　
解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin2θ＝－，即sin2θ＝.因为cos＝>0，θ∈，所以0<θ<，2θ∈，根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝，由两角差的正弦公式，可得sin＝sin2θcos－cos2θsin＝×－×＝.
　　给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．
　5.若cos＝，则sin＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　D
解析　设β＝α＋，则α＝β－，所以2α－＝2β－.因为cos＝，所以cosβ＝，所以sin＝sin＝－cos2β＝1－2cos2β＝1－2×＝.故选D.
6．(2021·辽宁省本溪满族自治县高级中学模拟)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则等于(　　)
A．4 B．＋1
C．2 D．－1
答案　C
解析　由题意可知2sin18°＝m＝，
所以m2＝4sin218°.
则＝
＝＝＝2.
角度　　给值求角
　例4　(1)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A． B．
C．或 D．或
答案　A
解析　因为α∈，所以2α∈，又因为sin2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又因为β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，又因为α＋β∈，故α＋β＝.故选A．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________.
答案　－
解析　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，
∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
　　通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则
(1)已知正切函数值，则选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好．
　7.(2021·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于(　　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
答案　C
解析　由题意，得tanα＝＝＝＝＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C．
8．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β的值为________.
答案　
解析　∵0<β<α<，∴0<α－β<.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝.∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∵0<β<，∴β＝.
考向三　三角恒等变换的综合应用
例5　(1)(多选)(2022·江苏南京月考)已知函数f(x)＝sin－cos (0<ω<6)的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　BC
解析　f(x)＝sin＝sin.因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以ω＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝kπ＋，k∈Z，因为0<ω<6，所以ω＝或ω＝，故选BC．
(2) (2021·海口调研)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.

①求l关于θ的函数关系式；
②当θ为何值时，l有最大值？并求出l的最大值．
解　①AB＝OA·sinθ＝sinθ，OB＝OA·cosθ＝cosθ，
AC＝OA·sin＝sin，
OC＝OA·cos＝cos，
所以l＝sinθ＋cosθ＋sin＋cos
＝sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ＋cosθ＋sinθ
＝sinθ＋cosθ
＝(sinθ＋cosθ)
＝(＋1)sin.
②由0<θ<，得<θ＋<，
当θ＋＝，即θ＝时，sin＝1，
lmax＝＋1，
所以当θ＝时，lmax＝＋1.
　　三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
　9.(2022·湖南岳阳摸底)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于(　　)
A． B．－
C． D．－
答案　B
解析　f(x)＝5cosx＋12sinx＝13＝13sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝，由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，所以cosθ＝cos＝cos＝－sinα＝－.
10.
(2021·太原市高三联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与池岸齐接(如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设θ＝∠BAC，则tan＝________.
答案　5
解析　设BC＝x，则AC＝x＋1，又AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，tanθ＝＝，∴tan＝(负根舍去)，tan＝5.
拼凑法在三角恒等变换中的妙用
1．(多选)(2021·湖北荆州模拟)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin＝，cos＝－，则cos(α＋β)可以为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案　CD
解析　∵α为第一象限角，且sin＝<，∴α＋∈，∴cos＝－＝－.∵β为第三象限角，且cos＝－，∴β－可能是第三象限角，也可能是第二象限角，当β－是第三象限角时，sin＝－＝－，故cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝－×－×＝；当β－是第二象限角时，sin＝＝，故cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝－×－×＝.
2．(2021·聊城二模)已知cos＝，α∈，则sin＝________.
答案　－
解析　因为cos＝，α∈，则α＋∈，且sin＝，所以sin＝sin＝－sin＝－2sincos＝－2××＝－.
答题启示
角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．
对点训练
1．若sin＝2cosαsin，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
答案　B
解析　∵sin＝2cosαsin，∴sinαcos－cosαsin＝2cosαsin，即sinαcos＝3cosαsin，∴tanα＝3tan，则＝＝＝＝＝.故选B.
2．(2021·郑州三模)在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cos＝，则x0＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由题意得cosα＝x0，因为α为第四象限角，即－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ<α－<－＋2kπ，k∈Z，因为cos＝，所以sin＝－，则x0＝cosα＝cos＝cos－sin＝×－×＝.故选A．

一、单项选择题
1．＝(　　)
A．－ B．1
C． D．2
答案　C
解析　原式＝
＝＝＝.
2．函数y＝cos2－sin2的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C． D．
答案　B
解析　∵y＝cos2－sin2＝cos＝－sin2x，∴函数的最小正周期为＝π.
3．函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)
A． B．－2
C．－ D．
答案　C
解析　y＝sin＋sin＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＝sin2x，所以y的最小值为－.
4．(2021·烟台模拟)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为(　　)
A． B．
C．－ D．
答案　D
解析　设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°，所以tanα＝tan(β－45°)＝＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝＝.故选D.
5．(2021·六盘水市一模)在直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边为x轴非负半轴．若点P是角α终边上的一点，则角α的值是(　　)
A． B．2kπ＋，k∈Z
C．2kπ＋，k∈Z D．2kπ±，k∈Z
答案　B
解析　由1＋cos>0，sin>0，可得点P在第一象限，又tanα＝＝＝tan，所以α＝2kπ＋，k∈Z.故选B.
6．(2022·广东茂名月考)若sin＝，且α∈，则cos＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　A
解析　由sin＝且α∈，得cos＝，cos＝cos＝－sin＝－2sincos＝－.故选A．
7. 已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P′，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为(　　)

A． B．
C． D．
答案　B
解析　依题意得3sin＝＝sin＋cos，即2sin＝cos，则tan＝，所以tanx0＝＝.故选B.
8．(2021·郑州模拟)设α＝，若β∈，且tanα＝，则β＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　由tanα＝得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，即sin(α－β)＝cosα＝sin，因为β∈，α＝，所以α－β∈，－α∈，由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，所以2α－β＝，所以β＝.故选A．
二、多项选择题
9．当tan有意义时，下列等式成立的是(　　)
A．tan＝ B．tan＝
C．sinα＝ D．cosα＝
答案　ACD
解析　tan＝＝
＝，A成立；tan＝
＝＝，B不成立；sinα＝＝，C成立；cosα＝＝，D成立．
10．给出下列四个关系式，其中正确的是(　　)
A．sinαsinβ＝[cos(α＋β)－cos(α－β)]
B．sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
C．cosαcosβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
D．cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
答案　BD
解析　由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，两式相加可得sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，故B正确；两式相减可得cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，故D正确；由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，两式相减可得sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]，两式相加可得cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，故A，C错误．故选BD.
11．(2022·福建期末)已知函数f(x)＝sinx·sin－，则f(x)的值不可能是(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
答案　CD
解析　f(x)＝sinx·－＝sin2x＋sinx·cosx－＝·＋sin2x－＝＝sin∈，故选CD.
12．(2021·长沙质检)已知函数f(x)＝4cos2x，则下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝对称
D．f(x)的值域为[0,4]
答案　BD
解析　f(x)＝4cos2x＝2cos2x＋2，该函数的定义域为R.∵f(－x)＝2cos(－2x)＋2＝2cos2x＋2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，A错误；函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，B正确；∵f＝2cos＋2＝2，∴f既不是函数f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C错误；∵－1≤cos2x≤1，∴f(x)＝2cos2x＋2∈[0,4]，D正确．
三、填空题
13．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin2α的值是________.
答案　
解析　∵sin2＝2＝(1＋sin2α)，∴(1＋sin2α)＝，∴sin2α＝.
14．求值：sin50°(1＋tan10°)＝________.
答案　1
解析　sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1.
15．定义运算|　|＝ad－bc.若cosα＝，|　|＝，0<β<α<，则β＝________.
答案　
解析　由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，又cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.又0<β<，故β＝.
16．(2022·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sinα＋2cosα＝2，则tan＝________.
答案　
解析　解法一：3sinα＋2cosα
＝
＝＝2，
∴3tan＋1－tan2＝tan2＋1，
解得tan＝0或，又α∈(0，π)，
∴tan≠0，∴tan＝.
解法二：∵3sinα＋2cosα＝2，∴3sinα＝2(1－cosα)，∴6sincos＝4sin2，∴sin＝0，又0<α<π，∴0<<，∴sin≠0，cos≠0，∴2sin＝3cos，∴tan＝.
四、解答题
17．(2021·昆明市高考三诊一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝.
(1)求证：sinαcosβ＝5cosαsinβ；
(2)若已知0<α＋β<，0<α－β<，求cos2α的值．
解　(1)证明：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝，
∴2sinαcosβ＋2cosαsinβ＝1， ①
3sinαcosβ－3cosαsinβ＝1， ②
②－①得sinαcosβ－5cosαsinβ＝0，
则sinαcosβ＝5cosαsinβ.
(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
0<α＋β<，0<α－β<，
∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝.
18．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且cos2φ＋cosφ＝0.
(1)求ω和f的值；
(2)若f＝(0<α<π)，求sinα.
解　(1)∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为＝π，∴ω＝2.
再根据cos2φ＋cosφ＝2cos2φ－1＋cosφ＝0，
得cosφ＝－1(舍去)或cosφ＝，
∴φ＝，故f(x)＝sin，
故f＝sin＝－.
(2)∵f＝sin＝<，∴α＋为钝角，
故cos＝－＝－，
故sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝.
19. (2021·威海高三上学期期中)某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧PMQ(M为此圆弧的中点)和线段PQ构成．已知圆O的半径为12千米，M到PQ的距离为16千米．现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域R1为矩形ABCD，养殖区域R2为△AMB，且A，B均在圆弧上，C，D均在线段PQ上，设∠AOM＝α.

(1)用α分别表示矩形ABCD和△AMB的面积，并确定cosα的范围；
(2)根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在R1内养殖鱼类，在R2内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3∶2.求当α为何值时，能使年总产值最大．
解　(1)设矩形ABCD和△AMB的面积分别为S1，S2，由题意可得，矩形ABCD的边长分别为24sinα，4＋12cosα，所以S1＝96sinα(1＋3cosα)，
等腰三角形AMB的底与高分别为24sinα，12－12cosα，
所以S2＝144sinα(1－cosα)．
过P作PN∥OM交圆弧于点N，连接ON.

设∠MON＝α0，α0∈，易得cosα0＝＝，
因为C，D均在线段PQ上，所以0<α≤α0，
所以cosα0≤cosα<cos0，
即≤cosα<1.
(2)因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为3∶2，
所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3k,2k(k>0)，设年总产值为S，
则年总产值为S＝3k·96sinα(1＋3cosα)＋2k·144sinα(1－cosα)＝576k(sinα＋sinαcosα)．
设f(α)＝sinα＋sinαcosα，且0<α≤α0，
f′(α)＝cosα＋cos2α－sin2α
＝2cos2α＋cosα－1＝(2cosα－1)(cosα＋1)，
令f′(α)＝0，得α＝，
因为cosα0＝<，所以α0∈，
当α∈时，cosα>，f′(α)>0，f(α)在上单调递增；
当α∈时，cosα<，f′(α)<0，f(α)在上单调递减．
所以当α＝时，能使年总产值最大．