2021北京初二(下)期中数学汇编：矩形的判定.docx

2021北京初二（下）期中数学汇编
矩形的判定
一、单选题
1．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ）

A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
2．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）下列命题中错误的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边相等
3．（2021·北京市第十七中学八年级期中）下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（       ）
A．若AC=BD，则▱ABCD是矩形 B．若AB=AD，则▱ABCD是正方形
C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
4．（2021·北京市第十七中学八年级期中）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所构成的四边形一定是（     ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．不确定
5．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（       ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
6．（2021·北京育才学校八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是(　　)

A．∠ABC＝90° B．∠BCD＝90° C．AB＝CD D．AB∥CD
7．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互 相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
二、填空题
8．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件____，使平行四边形ABCD是矩形．

三、解答题
9．（2021·北京市第四十三中学八年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE=AC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED的周长．

10．（2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中）求证：四个角都相等的四边形是矩形．
11．（2021·北京师范大学昌平附属学校八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE=CF，∠DEB=90°，求证：四边形DEBF是矩形

12．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接OE，若AD＝5，BE＝3，求线段OE的长．

13．（2021·北京市第十五中学南口学校八年级期中）下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°
求作：矩形ABCD．

作法：如图，
1．以点A为圆心，BC长为半径作弧；
2．以点C为圆心，AB长为半径作弧；
3．两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
4．连接AD，CD．
所以四边形ABCD是矩形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：
∵AB=①________，BC=②_________，
∴四边形ABCD是平行四边形(③________________________________)(填推理的依据)
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形． (④________________________________)(填推理的依据)
14．（2021·北京市昌平区第二中学八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点B作BE∥AC，且使得BE=12AC，连接EC，ED．

（1）求证：四边形BECO是矩形
（2）若AC=2，∠ABC=60°，求DE的长．
15．（2021·北京市第一六一中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）．
（1）点C的坐标是 ；直线AC的表达式为 ．
（2）点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿x轴向左运动，两点同时出发．过点M，N作x轴的垂线分别交直线OC，AC于点P，Q，猜想四边形PMNQ的形状（点M，N重合时除外），并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当点M运动 秒时，四边形PMNQ是正方形（直接写出结论） ．

16．（2021·北京师范大学附属实验中学分校八年级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

17．（2021·北京·和平街第一中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．

18．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，在▱ABCD中，AC=8，BD=12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．

（1）求证；四边形AECF为平行四边形；
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
19．（2021·北京房山·八年级期中）如图，在□ABCD中，∠ABD=90°，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE=2，∠DAB=30°，求AF的长．

20．（2021·北京广渠门中学教育集团八年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF.
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）求四边形ACEF的周长.

21．（2021·北京·北大附中八年级期中）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF.

（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长.
22．（2021·北京市第十七中学八年级期中）如图，在□ABCD中，M是BC的中点，∠MAD＝∠MDA．求证：四边形ABCD是矩形．

参考答案
1．D
【分析】
根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
2．B
【分析】
根据矩形和平行四边形的判定与性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
A．矩形的对角线相等，正确；
B．对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
D．平行四边形的对边相等，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了命题与定理，熟练掌握矩形和平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．
3．A
【分析】
由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵▱ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；
∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；
∵▱ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；
∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．
4．A
【分析】
根据四边形对角线互相垂直以及三角形中位线平行于第三边说明四个角都是直角即可求解．
【详解】
解：如图：E、F、G、H分别为各边中点
∵EF∥GH∥DB，EF=GH=12BD
EH∥FG∥AC，EH=FG=12AC，
∵DB⊥AC.
∴EF⊥EH，EF⊥FG, HG⊥EH
∴四边形EFGH是矩形
故选A．
.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用和矩形的判定，其中掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．
5．D
【分析】
利用矩形的判定方法进行判断即可.
【详解】
解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键.
6．C
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质结合矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠OCB=90°，∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠BCD＝90°，BO＝DO，
∴OC=OB=OD，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；
D、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AB//CD，∠BAD＝90°，

∴∠ADC＝90°，
∴∠ODA+∠ODC=90°，∠OAD+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
即对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质．关键是熟练掌握矩形的判定定理．
7．C
【详解】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选C
8．∠ABC＝90°（答案不唯一）
【分析】
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”填空．
【详解】
解：添加条件：∠ABC＝90°．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）．
故答案是：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．
9．（1）详见解析；（2）16.
【分析】
（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；
（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC．
∵CE∥BD，
∴四边形BCED是平行四边形．
∴CE=BD．
∵CE=AC，
∴AC=BD．
∴□ABCD是矩形．
（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，
∴∠DAB=90°，BC=AD=3，
∴BD=AB2+AD2=42+32=5．
∵四边形BCED是平行四边形，
∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．
【点睛】
本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
10．详见解析
【分析】
先画出图形，写出已知、求证，先求出四边形是平行四边形，再求出∠A=90°，根据矩形的判定推出即可．
【详解】
已知：四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】
本题考查了四边形内角和定理，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
11．证明见解析
【分析】
平行四边形ABCD，可知AB=CD，AB∥CD；由于AE=CF ，可得BE=DF，BE∥DF，知四边形DEBF为平行四边形，由∠DEB=90°可知四边形DEBF是矩形．
【详解】
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
∵AE=CF，BE=AB−AE，DF=DC−CF
∴BE=DF
∵BE=DF，BE∥DF
∴四边形DEBF为平行四边形
又∵∠DEB=90°
∴四边形DEBF是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．
12．（1）见解析   （2）25
【分析】
（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得出结论；
（2）根据已知条件得到AE=4，CE=8，求得AC=45，从而得出答案．
【详解】
解:（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
即AF∥EC，
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，四边形AECF为矩形，且BE=3，AD=5，
∴AB=BC=AD=5，DF=BE=3，
∴AE=AB2−BE2=52−32=4，
CE=BE+BC=8，
∴AC=AE2+EC2=45，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴OA=OC，
∵四边形AECF为矩形，
∴点O是对角线AC与EF的交点，
∴OE=OC=12AC=25．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理．正确识别图形是解题的关键．
13．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据作法要求画图即可；
（2）根据作图的过程和矩形的定义解答即可．
【详解】
解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作矩形；

（2）证明：
∵AB=①CD，BC=②AD，
∴四边形ABCD是平行四边形(③两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形． (④有一个角是直角的平行四边形是矩形)
故答案为：①CD，②AD，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点睛】
本题考查了按要求作图和矩形的判定，属于基础题型，正确理解题意、熟知矩形的定义是解题的关键．
14．（1）见解析；（2）13
【分析】
（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=12AC，推出BE=OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，又由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB=12BD，OC=12AC=1，AB=BC，易证△ABC是等边三角形，得出BC=AC=2，由勾股定理求出OB=3，则BD=23，由矩形的性质得出BE=OC=1，∠DBE=90°，再由勾股定理即可得出结果．
【详解】
（1）证明：

∵菱形ABCD
∴OC=12AC，BD⊥AC
∵BE=12AC
∴BE=OC
又BE//AC，即BE//OC
∴四边形AECF为平行四边形
又∵BD⊥AC     ∴∠BOC=90°
∴四边形BECO是矩形
（2）解：∵菱形ABCD
∴BD平分∠CBA，OC=12AC，BD⊥AC
∵AC=2，∠ABC=60°
∴OC=1，∠CBO=30°
∴BC=2，BO=DO=3
∴BE=OC=1，BD=23
在Rt△DBE中，DE=BD2+BE2=13
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
15．（1）点C的坐标为（2，6），直线AC的表达式为y＝﹣x+8；（2）四边形PMNQ是矩形，理由见解析；（3）87或8
【分析】
（1）由点A、B的坐标知，OA＝8＝BC，故点C（2，6），即可求解；
（2）PQ＝8﹣3x﹣x＝8﹣4x，而MN＝8﹣3x﹣x＝4x＝PQ，即可求解；
（3）四边形PMNQ是正方形，则MN＝QN，即8﹣4x＝|3x|，即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，点A（8，0），B（10，6）．
∴BC＝OA＝8，BC//OA，
∴点C（2，6），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，
将A（8，0），C（2，6）代入得，
8k+b=02k+b=6，
解得k=−1b=8，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，
故答案为：（2，6）；y＝﹣x+8；
（2）四边形PMNQ是矩形，理由如下：
设点M（x，0），则P（x，3x），点N（8﹣3x，0），点Q（8﹣3x，3x），

∴PQ＝|8﹣3x﹣x|＝|8﹣4x|，
又∵MN＝|8﹣3x﹣x|＝|8﹣4x|，
∴MN＝PQ，
又∵PQ//MN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，
又∵∠PMN＝90°，
∴四边形PMNQ是矩形．
（3）∵四边形PMNQ是正方形，
∴MN＝QN，
即8﹣4x＝|3x|，
解得：x＝87或8，
故答案为：87或8．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形和正方形的性质以及矩形的判定等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
16．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【分析】
(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=12AB=12AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【详解】
解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=12AD=5
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，AF=AE2−EF2=52−42=3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=12AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
17．（1）见解析；（2）23
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；
（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠CAD＝∠ACB＝90°．
又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，
∴四边形ACED是矩形．

（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，AB＝CD．
∴AB＝AE．
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠BFE＝90°，∠FBE=12∠ABE=30° ，
在Rt△BFE中，BF=BE×cos∠FBE=4×32=23．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
18．（1）见解收析；（2）当t=2或t=10时，四边形AECF为矩形
【分析】
(1)由题意证明△BEC≌△DFA，△BEA≌△DFC，得出CE=AF，AE=CF，即可证明.
(2)根据矩形的判定只需要让一个角是直角的平行四边形即可得出矩形,由此思路计算即可.
【详解】
（1）在▱ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠FDA．
由题意知，BE=DF．
在△BEC与△DFA中，
BE=DF∠EBC=∠FDABC=DA，
∴△BEC≌△DFASAS，
∴CE=AF，
同理可得△BEA≌△DFC,
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）当t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．理由如下：
由平行四边形的性质知OE=OF，O4=OC，要使∠EAF是直角，
只需OE=OF=OA=12AC=4，
则∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠EAF=90°．
此时BE=DF=12BD−EF=1212−8=2或BE=2DF=12−2=10．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和矩形的判定,关键在于灵活运用条件.
19．（1）见解析（2）27
【分析】
（1）根据矩形的判定即可求解；
（2）根据题意作出图形，根据直角三角形的性质及勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥BE,AB=DC,
又BE=AB,
∴DC=BE,
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ABD=90°，
∴平行四边形BECD是矩形；
（2）如图，作FG⊥AE于G点，

∵CE=2，∠DAB=30°，
∴∠CBE=30°，FG=1，BE=23
∴AB=23
∵F为BC中点，∴G为BE中点，
∴AG=AB+BG=33
∴AF=AG2+FG2=27
【点睛】
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形判定与性质.
20．（1）见解析；（2）2+23
【分析】
（1）由DE=AD，DF=CD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACEF是平行四边形，继而由四边形ABCD为菱形，可以推导得到AE=CF，问题即可得到证明；
（2） 由三角形ADC为等边三角形，得到AC=AB=1，利用矩形的性质可得∠ACE=90º，继而可得∠AEC=30º，根据30度角的直角三角形的性质可得AE=2AC=2，继而根据勾股定理求得CE长，根据矩形的周长公式即可得答案.
【详解】
(1)∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴DE=AD=DF=CD ，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形，
(2)∵菱形ABCD，
∴∠ADC=∠B=60º，AD=AB=1，
∵AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=1，∠CAD=60º，
∵矩形ACEF，
∴∠ACE=90º，
∴∠AEC=30º，
∴AE=2AC=2，CE=AE2−AC2=3 ，
∴四边形ACEF的周长为：2(AC+CE) =2+23.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
21．（1）见解析；（2）245
【分析】
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【详解】
（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=12AB•AF=12BF•AE．
∴AE=AB•AFBF=6×810=245．
22．证明过程见解析
【详解】
试题分析：根据题意首先求出△ABM和△DCM全等，从而得出∠B＝∠C，然后根据AB∥CD得出∠B＝90°，从而得出矩形.
试题解析：∵∠MAD＝∠MDA，∴AM＝DM． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．
又BM＝CM，∴△ABM ≌△DCM． ∴∠B＝∠C．       ∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°．     ∴∠B＝90°．   
∴平行四边形ABCD是矩形．
考点：矩形的判定
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