2023届高考数学一轮复习-第7讲-第1课时-函数的零点与方程的根.doc

第7讲　函数的应用
第1课时　函数的零点与方程的根
考向预测
核心素养
利用函数零点存在定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围是高考的热点，各种题型均可能出现，中高档难度.
直观想象、
逻辑推理

[学生用书P59])

一、知识梳理
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系：

2．函数零点的判断
条件
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线．
(2)f(a)f(b)<0
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解
3.二分法

条件
(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断．
(2)在区间端点的函数值满足f(a)f(b)<0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．2个 B.3个
C.4个 D.5个
解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．
2．(人A必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在区间是(　　)
A．(1，2) B.(0，1)
C.(2，e) D.(e，3)
解析：选C.因为f(2)＝ln 2－2<0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在区间为(2，e)．
3．(人A必修第一册P144练习T2(3)改编)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点个数是________．
解析：因为函数f(x)的图象连续不断，且f(x)为增函数，f(0)＝－4<0，f(1)＝e0>0，所以函数f(x)有且只有1个零点．
答案：1

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．　(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、易错纠偏
1．(不会利用函数的图象致误)已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)
A．x1<x2<x3 B.x2<x1<x3
C．x2<x3<x1 D.x3<x1<x2
解析：选C.作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.

2．(忽视二次项系数为0致误)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________．
解析：(1)当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的取值为a＝0或a＝1.
答案：0或1
[学生用书P60]
考点一　函数的零点的判断(多维探究)
复习指导：结合函数的图象，判断方程根的存在性以及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．
角度1　函数零点所在区间的判断
(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)(一题多解)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
【解析】　(1)函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
(2)方法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线且f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
方法二

(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
【答案】　(1)A　(2)B
角度2　函数零点个数的判断
(1)(链接常用结论1)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　)
A．0 B.1
C.2 D.3
(2)(多选)(2022·河北高二月考)已知函数f(x)＝则方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0的根的个数可能为(　　)
A．1 B.2
C.3 D.4
【解析】　(1)因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．
(2)由f2(x)－mf(x)＋m－1＝0可得f(x)＝1或f(x)＝m－1，
函数f(x)的图象如图所示．

当0<m－1≤1或m－1≤－1时，即当1<m≤2或m≤0时，方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0只有一个实数根；
当m－1>1时，即当m>2时，方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0有三个实数根；
当－1<m－1≤0时，即当0<m≤1时，方程f2(x)－mf(x)＋m－1＝0有两个实数根．
【答案】　(1)B　(2)ABC

判断函数零点问题的策略
(1)利用零点存在定理：对图象连续不断的函数，根据区间端点对应函数值的正负判断零点；
(2)利用图象：画出函数图象，利用图象的交点判断零点个数；
(3)结合函数单调性判断零点个数．
|跟踪训练|
1．函数f(x)＝的零点个数为(　　)
A．3 B.2
C.1 D.0
解析：选B.由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
2．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．
解析：方法一(定理法)：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，根据零点存在定理可知，函数f(x)有唯一零点x0，且x0∈(2，3)，即n＝2.

方法二(图象法)：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
答案：2
考点二　函数零点的应用(多维探究)
复习指导：求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．
角度1　根据零点个数求参数
(1)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[1，0)　　　　 B.[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
(2)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】　

(1)令h(x)＝－x－a，
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
由图知－a≤1，所以a≥－1.

(2)画出函数f(x)＝
的图象，如图所示．由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0<m<1，即m∈(0，1)．
【答案】　(1)C　(2)(0，1)
角度2　根据零点范围求参数
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B.[2，＋∞)
C. D.
(2)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B.(1，2)
C.(0，3) D.(0，2)
(3)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)由题意知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1，2)内，
所以即
解得0<a<3，故选C.
(3)依题意可知m需满足
即
解得<m<.
【答案】　(1)D　(2)C　(3)

根据函数零点求参数的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
|跟踪训练|
1．(2022·浙江高三联考)设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为________．
解析：由题得f(0)＝30＋1＝2，所以f(f(0))＝f(2)＝log22＝1.
作出函数f(x)的图象，再作出直线y＝a，由题意及图象得实数a的取值范围为1<a≤2.

答案：1　1<a≤2
2．若函数f(x)＝4x－2x－a在x∈[－1，1]上有零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝－，
因为x∈[－1，1]，所以2x∈，所以－∈.
所以实数a的取值范围是.
答案：
[学生用书P327(单独成册)]
[A　基础达标]
1．(2022·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)
A．1 B.2 C.3 D.4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.
2．函数f(x)＝ln x－的零点所在区间的大致范围是(　　)
A．(1，2) B.(2，3)
C.和(3，4) D.(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)f(3)＜0.故选B.
3．已知函数f(x)＝e－x＋x2－3x＋1，则函数f(x)的零点个数为(　　)
A．3 B.2
C.1 D.0
解析：选B.

由e－x＋x2－3x＋1＝0，得e－x＝－x2＋3x－1，在同一平面直角坐标系内画出y＝e－x和y＝－x2＋3x－1的图象，如图所示．
由图可知y＝e－x和y＝－x2＋3x－1的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.
4．(2022·内蒙古月考)已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－1，0) B.{－1}∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞) D.(0，1)
解析：

选B.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．故选B.
5．(多选)已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝k，则下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C．1<x4<2 D.0<k<1
解析：

选BCD.作出函数f(x)图象如图所示．
由图可知，x1＋x2＝－2.
当y＝|log2x|＝1时，有x＝，2，
所以<x3<1<x4<2；
由f(x3)＝f(x4)，得|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
由图可知0<k<1，故选BCD.
6．(2022·新疆第一次适应性检测)设a∈Z，函数f(x)＝ex＋x－a，若x∈(－1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为________．
解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的．由零点存在定理知若x∈(－1，1)时，函数有零点，需要满足解得－1<a<e＋1，因为a是整数，故可得a的可能取值为0，1，2，3.
答案：4
7．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________．
解析：

函数f(x)的图象大致如图，
则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋a－2<0，所以－2<a<1.
故实数a的取值范围是(－2，1)．
答案：(－2，1)
8．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的所有零点所构成的集合为________．
解析：由题意知f(f(x))＝－1，所以f(x)＝－2或f(x)＝，则函数y＝f(f(x))＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值．令f(x)＝－2，解得x＝－3或x＝；令f(x)＝，解得x＝－或x＝.
从而函数y＝f(f(x))＋1的零点构成的集合为.
答案：
9．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得函数f(x)的图象与y＝x－a的图象有3个交点．画出函数f(x)和y＝x－a的图象如图所示．

根据图象易知，要使函数f(x)和y＝x－a的图象有3个交点，则－<－a≤0，即0≤a<.
答案：0≤a<
10．(2022·长沙质检)设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围．
解：

(1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)因为f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，
且－1＝1－，所以＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围为(0，1)．
[B　综合应用]
11．(多选)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝－log2x，0＜a＜b＜c，f(a)f(b)f(c)＜0，实数d是函数f(x)的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是(　　)
A．d＜a B.d＞b
C.d＞c D.d＜c
解析：选ABD.由y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)＝－log2x在定义域(0，＋∞)上是减函数，当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d＞c不可能成立．
12．已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为________．
解析：将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的部分图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝对称，由图可知，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12.

答案：12
13．已知函数f(x)＝则f＝________，若f(x)＝ax－1有三个零点，则a的取值范围是________．
解析：f＝－log2＝，
所以f＝f＝＋3＝；

x＝0显然不是函数f(x)＝ax－1的零点，则当x≠0时，由f(x)＝ax－1有三个零点知＝a－有三个根，即函数y＝＝与函数y＝a－的图象的交点有三个，如图所示，则由图可知当x<0时，两个函数只有一个交点，则当x>0时，函数y＝a－与函数y＝x＋有两个交点，则存在x使a－>x＋成立，即a>x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时，等号成立，即a>4.
答案：　(4，＋∞)
14．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点．作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围是.
[C　素养提升]
15．已知函数f(x)＝则f(－1)＝________，若函数y＝f(f(x)＋m)有4个零点，则实数m的取值范围是________．
解析：f(－1)＝2×(－1)＋4＝2；
令f(x)＋m＝t，则f(t)＝0，
所以或所以t＝－2或t＝1，
即f(x)＋m＝－2和f(x)＋m＝1各有2个零点，
即f(x)＝－m－2和f(x)＝1－m各有2个零点；
作出函数f(x)的图象，如图所示．

由图象可得
所以－3≤m<－1.
答案：2　[－3，－1)
16．偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝，若直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，求k的取值范围．
解：

因为直线kx－y＋k＝0(k>0)，即k(x＋1)－y＝0(k>0)过定点(－1，0)．因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象及直线k(x＋1)－y＝0(k>0)如图所示，则由图易得AB＝＝，AC＝＝，tan∠BAx＝＝，tan∠CAx＝＝，则要使直线kx－y＋k＝0(k>0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点，所以k的取值范围是.