2021全国高三(上)期中数学汇编：随机变量及其分布.docx

2021全国高三（上）期中数学汇编
随机变量及其分布
一、多选题
1．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，

则下列说法中正确的是（    ）
附：若随机变量X服从正态分布，则.
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
2．为了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（    ）附：若，则，.
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩的优秀率超过
二、填空题
3．设随机变量服从正态分布.若，则______.
4．已知，且，则的方差为________．
三、双空题
5．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
6．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是，则袋中的白球个数为_____，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝_____．
7．已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.

（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
四、解答题
8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
9．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
10．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
11．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）
12．甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲、乙两队比赛1场后，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
（2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率．
13．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，投不进球得0分；在区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出.已知参赛选手甲在区和区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响.
（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在区投篮的球数最多是多少个？
（2）若甲在区投3个球且在区投2个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率.
14．我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照分组，绘制成评分频率分布直方图，如下：

（1）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；
（2）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（直接写出结论）
15．甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、、．
（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；
（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率．
16．2021年7月18日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；
(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为A等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物竞赛的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
17．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
（1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93

①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；
②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：线性回归方程，
其中，.

76
83
812
526

18．在“五四青年节”到来之际，启东中学将开展一系列的读书教育活动.为了解高二学生读书教育情况，决定采用分层抽样的方法从高二年级四个社团中随机抽取12名学生参加问卷调查.已知各社团人数统计如下：

（1）若从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一个社团的概率；
（2）在参加问卷调查的12名学生中，从来自三个社团的学生中随机抽取3名，用表示从社团抽得学生的人数，求的分布列和数学期望.
19．1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金50元；若只有1个红球，则可获得20元购物券；若没有红球，则不获奖.
(1)若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金或购物券的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得现金为X元，求X的分布列和数学期望.
20．新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完.
(1)通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率为.已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，Y为当天销售这两类服装带来的总收益.求当时，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.
21．李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有两条路线（如图），路线上有三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为.
（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

22．一只不透明的口袋中有形状、大小完全相同的10个球，其中有两个球的编号为1，三个球的编号为2，三个球编号为3，两个球编号为4.
(1)甲有放回地从袋子中取3次，每次取一个球，求恰有两次取到2号球的概率；
(2)甲从袋子口一次取出三个球，以表示取出的三个球中的最小号码，写出的分布列及数学期望.
23．全国高中数学联赛试题设置如下：联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）．一试包括8道填空题（每题8分）和3道解答题（分别为16分、20分、20分），满分120分．二试包括4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面．前两道题每题40分，后两道题每题50分，满分180分．已知某一数学克赛选手在一试中每道填空题能够正确解答的概率均为，每道解答题能够正确解答的概率均为，在二试中前两道每题能够正确解答的概率均为，后两道每题能够正确解答的概率均为．假设每道题答对得满分．答错得0分．
(1)记该选手在二试中的成绩为，求；
(2)根据该选手所在省份历年的竞赛成绩分布可知，若一试成绩在100分（含100分）以上的选手，最终获得省一等奖的可能性为，一试成绩低于100分，最终获得省一等奖的可能性为．问该选手最终获得省一等奖的可能性能否达到，并说明理由．（参考数据：）
24．某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：

门店1
门店2
门店3
门店4
门店5
门店6
门店7
门店8
线下日营业额
9
6.5
19
9.5
14.5
16.5
20.5
12.5
线上日营业额
11.5
9
12
17
19
23
21.5
15
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）
（1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；
（2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；
（3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明）
25．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：

不适应寄宿生活
适应寄宿生活
合计
男生

女生

合计

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；
(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，其中．

26．小和小两个同学进行摸球游戏，甲、乙两个盒子中各装有6个大小和质地相同的球，其中甲盒子中有1个红球，2个黄球，3个蓝球，乙盒子中红球、黄球、蓝球均为2个，小同学在甲盒子中取球，小同学在乙盒子中取球.
(1)若两个同学各取一个球，求取出的两个球颜色不相同的概率；
(2)若两个同学第一次各取一个球，对比颜色后分别放入原来的盒子；第二次再各取一个球，对比颜色后再分别放入原来的盒子，这样重复取球三次.记球颜色相同的次数为随机变量，求的分布列和数学期望
27．某牛奶店每天以每盒元的价格从牛奶厂购进若干盒鲜牛奶，然后以每盒元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的牛奶作为垃圾回收处理．
（1）若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：盒，）的函数解析式；
（2）牛奶店老板记录了某天鲜牛奶的日需求量（单位：盒），整理得下表：
日需求量

频数

以这天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若牛奶店一天购进盒鲜牛奶，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及均值；
②若牛奶店计划一天购进盒或盒鲜牛奶，从统计学角度分析，你认为应购进盒还是盒？请说明理由．
28．为了推进新高考改革，某中学组织教师开设了丰富多样的校本选修课，同时为了增加学生对校本选修课的了解和兴趣，该校还组织高二年级300名学生参加了一次知识竞答活动，本次活动共进行两轮比赛，第一轮是综合知识小测验，满分100分，并规定得分从高到低排名在前20%的学生可进入第二轮答题，回答3个难度升级的题目A，B，C，分别涉及“体育健康”、“天文地理”和“逻辑推理”三个方面，答对A题得10积分，答对B题得20积分，答对C题得30积分.以下是300名学生在第一轮比赛中的得分按照，，，，，进行分组绘制而成的频率分布直方图如图所示：

（1）根据频率分布直方图估计学生在第一轮比赛中至少得到多少分才能进入第二轮比赛？
（2）若李华成功进入了第二轮比赛，并且他答对A题的概率为，答对B题的概率为，答对C题的概率为，设他在第二轮比赛中的所得积分为，求的的分布列和期望.
29．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
30．某押运公司为保障押运车辆运行安全，每周星期一到星期五对规定尾号的押运车辆进行保养维护，具体保养安排如下：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
保养车辆尾号
和
和
和
和
和
该公司下属的某分公司有押运车共3辆，车牌尾号分别为0，5，6，分别记为A，B，C．已知在非保养日，根据工作需要每辆押运车每天可能出车或不出车，A，B，C三辆车每天出车的概率依次为，，，且A，B，C三车是否出车相互独立；在保养日，保养车辆不能出车．
(1)求该分公司在星期四至少有一辆车外出执行押运任务的概率；
(2)设表示该分公司在星期一与星期二两天的出车台数之和，求的分布列及其数学期望．

参考答案
1．ACD
【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于对称，乙的图象关于对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，
故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，
故选项C正确；
若，则甲同学成绩高于80分的概率约为，
故选项D正确．
故选：ACD．
2．BC
【分析】由正态分布的期望、方差判断A、B正误，利用正态分布的对称性，结合特殊区间概率的求法求、即可判断C、D的正误.
【详解】A：由题设知，所以该校学生体育成绩的方差，错误；
B：由题设知，即该校学生体育成绩的期望为70，正确；
C：，所以该校学生体育成绩的及格率不到85%，正确；
D：，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%，故错误；
故选：BC.
3．0.4##
【分析】根据正态分布的对称性可求.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，
所以，
所以，所以.
故答案为：0.4.
4．.
【分析】结合二项分布的方差的计算公式求出，进而根据方差的性质即可求出结果.
【详解】因为，所以，且
则，因此的方差为，
故答案为：.
5．         
【分析】先确定对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.
【详解】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以，
随机变量，
，
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．     5    
【分析】根据至少得到一个白球的概率为，可得不含白球的概率为，结合超几何分布的相关知识可得白球的个数，以及随机变量的期望，得到答案．
【详解】依题意，设白球个数为，至少得到一个白球的概率是，则不含白球的概率为，
可得，即，解得，
依题意，随机变量，所以．
故答案为：5，．
【点睛】本题主要考查了超几何分布中事件的概率，以及超几何分布的期望的求解，其中解答中熟记超几何分布的相关知识，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
7．     ##.     ##.
【分析】由题设可知，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在天后仍能正常工作的概率.
【详解】由题设知：，
∴.
由题意，要使电路能正常工作的概率.
故答案为：，.
8．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（ⅰ）；（ⅱ）46.24
【详解】（Ⅰ）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，
∴=563-68×6.8=100.6.
∴关于的线性回归方程为，
∴关于的回归方程为.
（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当=49时，年销售量的预报值
=576.6，
年利润的预报值.
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值
，
∴当=，即时，取得最大值.
故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.
9．（1）（2）（3）
【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，
由于与互斥，故
所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故
，
．
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P

随机变量ξ的数学期望
考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．
10．（1）；（2）分布列答案见解析；（3）期望是，方差是.
【分析】（1）先根据该市的样本求得这位学生佩戴眼镜的概率和佩戴眼镜是角塑性眼镜的概率，再利用条件概率的计算公式计算即得结果；
（2）从8名学生选3个，男生人数X服从超几何分布，按照，k=0，1，2，写出分布列即可；
（3）依题意随机变量服从二项分布，利用公式计算期望和方差即可.
【详解】解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：

（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.
11．（1）0.3（2）见解析（3）服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【详解】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标的值小于60的概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为

0
1
2

故的期望.
（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【名师点睛】求分布列的三种方法：
（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；
（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
12．（1）分布列见解析，；（2）
【分析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，再由独立事件的概率公式求得每个的取值所对应的概率即可得分布列，然后由数学期望的计算公式，得解；
（2）设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，由两队积分相等，可推出，再分四种情况，并结合独立事件的概率公式，即可得解．
【详解】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以的分布列为

0
1
2
3

所以数学期望．
（2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，2，
因两队积分相等，所以，即，则，
所以（A）

．
13．（1）3；（2）
【分析】（1）先求出甲在区和在B区投一次得分的期望，设在区投次，计算出总的期望，列出不等式可求；
（2）可得甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有5种情况，分别求出概率，相加即可得出.
【详解】（1）甲在区进球的概率为，投进一球得2分，则在区投一次得分的期望为，
同理在B区投一次得分的期望为，
设在区投次，在B区投次，
则总的期望值，解得，
则甲选择在区投篮的球数最多是3个；
（2）由题可得甲在区投3个球，得分可能是0，2，4，6，在区投2个球，得分可能是0，3，6，
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：
A区2分B区0分，概率为，
A区4分B区0分，概率为，
A区4分B区3分，概率为，
A区6分B区0分，概率为，
A区6分B区3分，概率为，
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率为.
【点睛】关键点睛：本题考查概率的有关计算，解题的关键是正确找出所有的情况，并能争取利用概率公式计算.
14．（1）；（2）分布列见解析；期望为1；（3）．
【分析】（1）先求出学生的测试评分不低于分的频率，再求出此次抽取的学生人数；
（2）先求出学生的测试评分不低于分的名学生中，评分在的有人，在的有人，所以的可能取值为0，1，2，3．再求出对应的概率，即得X的分布列和数学期望；
（3）观察频率分布直方图，直接写出结论.
【详解】解：（1）由图知，学生的测试评分不低于分的频率．
设抽取的学生人数为，
所以．解得．
所以此次抽取的学生人数为．
（2）由图知，学生的测试评分在的频率，在的频率
所以，．
所以学生的测试评分不低于分的名学生中，评分在的有人，在的有人，
所以的可能取值为0，1，2，3．
；；
；．
所以的分布列为

3

所以的数学期望．
（3）．
【点睛】方法点睛：求随机变量的分布列一般分三步：（1）求随机变量的取值；（2）求随机变量对应的概率；（3）列表得到分布列.
15．（1）分布列见解析，期望为；（2）.
【分析】（1）由题意可知，，根据二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）分两种情况讨论，甲组康复两人乙组都未康复、甲组全部康复乙组康复一人，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）由题意可知，，
所以，，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，；
（2）设乙组中康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，
，，
则.
【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
16．(1)，中位数68.
(2)分布列见解析；期望.
(3)，当k=40时，最大
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案.
（2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望.
（3）先求得等级B的概率，代入公式，可得的表达式，计算分析，即可得答案.
（1）
由题意得：，
解得，
因为，
所以中位数在内，设中位数为x，
则，解得，
所以这名学生成绩的中位数为68.
（2）
，，三组数据频率比为，
所以从，，三组中分别抽取7人，3人，1人，
则可取0,1,2,3，
，，，，
则的分布列

0
1
2
3
P

期望
（3）
B等级的概率为，
所以，
所以，
即，
解得，
所以当k=40时，有最大值.
17．（1）不同的样本的个数为.
（2）①分布列见解析，.
②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.
【分析】（1）按比例抽取即可，再用乘法原理计算不同的样本数.
（2）名学生中物理和数学都优秀的有3名学生，任取3名学生，都优秀的学生人数服从超几何分布，故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算，并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.
【详解】（1）依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，
18名男同学中应抽取的人数为名，
故不同的样本的个数为.
（2）①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，
∴的取值为0，1，2，3.
∴，，
，.
∴的分布列为

0
1
2
3

∴.
②∵，.
∴线性回归方程为.
当时，.
可预测该同学的物理成绩为96分.
【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）从四个社团中抽取的人数分别为3，4，2，3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有种，这两名学生来自同一社团的取法共有，由此能求出这两名学生来自同一个社团的概率；
（2）12名学生中来自三个社团的学生共有10名，若从中任取3名，抽取社团的人数服从超几何分布，的取值为由此能求出X的分布列和数学期望．
【详解】（1）社团共有学生名，
抽取12名学生，抽取比例为.
则抽取的12名学生中，社团3名，社团4名，社团2名，社团3名.
则12名学生抽取2名学生，来自同一个社团的概率为 ：.
（2）12名学生中来自三个社团的学生共有10名，若从中任取3名，抽取社团的人数服从超几何分布，的取值为
，
,
，
，
则的分布列为

在该超几何分布中，
所以数学期望.
【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）通过对立事件的概率公式即可求得答案；
（2）X的所有可能取值为150，100，50，0，进而通过二项分布求概率的方法求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望.
(1)
根据题意，取出的小球没有白球，即获得现金或购物券的概率为.
(2)
X的所有可能取值为150，100，50，0，
一次抽奖抽到两次均为红球的概率为，其他情况概率为，
∴，，
，.
∴X的分布列如下：
X
150
100
50
0
P

∴X的数学期望为：.
20．(1)B类服装单件收益的期望更高
(2)n可取的最大值为3，（元）
【分析】（1）结合期望公式由单件总盈利减去成本即可计算；
（2）由题知B类服装的销售件数符合二项分布，求出对应，，……，的值，可确定的最大值；先列出这5件衣服总收益关于X的关系式，得，结合化简即可求解.
（1）
设A类服装､B类服装的单件收益分别为X1元，X2元，则
，
，
，故B类服装单件收益的期望更高；
（2）
由题意可知，，
，，
，，
.
因为，，
所以当时，n可取的最大值为3.
（元），
因为，
所以（元）.
21．（1）（2）（3）选择路线上班最好.
【详解】【试题分析】（1）走线路相当于次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生次和恰好发生次的概率，相加即可.（2）走线路，则遇到红灯次数的可能取值为，按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）线路是二项分布，利用公式计算出期望，由于的期望小，故选线路.
【试题解析】（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 
则　　，　　　　　  
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为.　　　  
（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2.　　　 　　 

. 
随机变量的分布列为：

0
1
2

所以.　　　　　　  
（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布～，所以.    因为，所以选择路线上班最好.
【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都为，所以可以看成是次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了.
22．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.
（2）首先确定随机变量，利用组合数以及古典概型的概率计算公式求出分布列，再由数学期望的计算公式即可求解.
(1)
由题意，每次取一个球，取到编号为2的概率为，
所以恰有两次取到2号球的概率为
(2)
由题意可得，
则；
；
；
所以的分布列如下：

所以
23．(1)
(2)最终获得省一等奖的可能性能达到
【分析】（1）利用可求概率.
（2）若该选择一试成绩不低于100，则解答题至少做对两道，据此