2021届湖北省六校高三上学期10月联考数学试题(教师版含解析).doc

六校10月联考
高三数学试题
命题学校：鄂南高中 命题教师：高三数学组 审题学校：新洲一中邾城校区
考试时间：2020年10月15日 上午8∶00-10∶00 试卷满分：150分
第Ⅰ卷(共60分)
一、单选题：本大题共8个小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由或，则，代入即可得解
【详解】由或，
则，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查了集合的运算，考查了分式不等式，计算量不大，属于基础题.
2. 函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【详解】要使函数有意义，则，故函数的定义域为.
故选：C
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题．
3. 中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中条件，先得到，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】因为在中，，，
所以，
又，
由正弦定理可得，，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
4. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可转化为，使成立，求的最大值即可.
【详解】因为，使得不等式成立，
所以，使得不等式成立，
令，，
因为对称轴为，
所以，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题.
5. “开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过( )小时才可以驾车？(参考数据：)
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别
阈值()
饮酒后驾车

醉酒后驾车

A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，故根据的解可得正确的选项.
【详解】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，
令，故，
所以，
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基础题.
6. 已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为( )
A. 极大值为，极小值为0 B. 极大值为0，极小值为
C. 极小值为，极大值为0 D. 极小值为0，极大值为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
因为函数的图像与轴切于点，
则，且，
联立方程组，解得，即，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的极大值为，极小值为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
7. 如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为( )

A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作辅助线，利用向量数量积公式，可求得，，再利用向量的三角形法则，将求的最小值，转化为求得最小值，然后分类讨论与O的位置关系，可知在O右侧时，最小，再利用基本不等式求最值.
【详解】如图所示，作

，，，
可得，即，
利用向量的三角形法则，可知

若与O重合，则
若在O左侧，即在上时,
若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式(当且仅当，即为中点时取等号)
故选：C.
【点睛】本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.
8. 已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为，由，得，结合正弦函数的图像求得的范围，从而求得的范围.
【详解】

当时，
有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，

解得：
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题.
二、多选题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，每题有两个或以上的选项正确，全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选成全不选得0分)
9. 若函数(，且)的图像不经过第二象限，则需同时满足( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据指数型函数的图像分布，列式可解得.
【详解】因为函数 (,且)的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：

由图像可知函数为增函数，所以，
当时，，
故选：AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题.
10. 下列函数中，最小值是4的函数有( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
分析】
根据基本不等式，对各项逐个分析判断，经过计算即可得解.
【详解】对A，，可得 ，当时取等，故A正确，
对B，，，故B错误，
对C，， ，
当取等，故C正确，
对D，，，当时取等，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值时，注意变量的取值范围，关键是考查能否取等号，属于基础题.
11. 已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是( )
A. 当时，有3个零点 B. 当时，有2个零点
C. 当时，有4个零点 D. 当时，有1个零点
【答案】CD
【解析】
【分析】
令y＝0得，利用换元法将函数分解为f(x)＝t和f(t)＝﹣1，作出函数f(x)的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】令，得，设f(x)＝t，则方程等价为f(t)＝﹣1，
①若k＞0，作出函数f(x)的图象如图：∵f(t)＝﹣1，
∴此时方程f(t)＝﹣1有两个根其中t2＜0，0＜t1＜1，由f(x)＝t2＜0，此时x有两解，
由f(x)＝t1∈(0，1)知此时x有两解，此时共有4个解，
即函数y＝f[f(x)]+1有4个零点．
②若k＜0，作出函数f(x)的图象如图：∵f(t)＝﹣1，∴此时方程f(t)＝﹣1有一个根t1，其中0＜t1＜1，
由f(x)＝t1∈(0，1)，此时x只有1个解，即函数y＝f[f(x)]+1有1个零点．
故选：CD．

【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.
【详解】对于A，写出数列的前6项为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，，，……，，可得：，故C正确.
对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
第Ⅱ卷(共90分)
三、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)
13. 已知向量与的夹角为，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算，再将展开，将已知条件代入即得结果.
【详解】依题意，，
故，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题.
14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数的平方关系可求，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简即可．
【详解】根据题意，且，，
化简.
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的平方关系，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15. 等差数列中，为其前项和，若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用等差数列的求和公式证得是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式求解.
【详解】等差数列中，记首项为，公差为，利用等差数列求和公式，可得，
又
所以是首项为，公差为等差数列，
由，，得，
所以的公差为
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.
16. 若存在两个正实数，使等式成立，(其中)则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解.
【详解】，
设且，
设，
那么，
恒成立，
所以是单调递减函数，
当时，，当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以在时，取得最大值，，即，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 在① ② ③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由(若选择多个，则按第一个条件评分)
问题：已知的内角，，的对边分别为，，，若，________，求的最大值
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】
选择条件①，利用两角和与差的正弦化简，可求得，再利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值；选择条件②，利用正弦定理化简，可求得，与①一样可求的最大值；选择条件③，利用正弦定理化简，可求得，与①一样可求的最大值；
【详解】若选择条件①，，三角形存在.
，
化简可得：
∵，∴，∴
由余弦定理可知，
，
利用基本不等式，当且仅当时等号成立，
，
综上.
若选择条件②，，三角形存在.
由正弦定理可得
化简可得
∵，∴，∴，
同理条件①可得
若选择条件③，，三角形存在.
由正弦定理得：
化简得：
∵，∴，∴
同理条件①可得
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.
18. 数列中，为其前项和，且．
(1)求，；
(2)若，求数列的其前项和．
【答案】(1)；；(2).
【解析】
【分析】
(1)由，得，进而得，再由即可得解；
(2)由，利用错位相减法即可求和.
【详解】(1)当时，，则，
则，当时，
当时，适合上式，则，
(2)由(1)可知，
则

两式相减得
，
∴.
【点睛】本题主要考查了利用求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题.
19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．

(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；
(Ⅱ)以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.
【详解】(Ⅰ)连接交于点，连接，则为中点，
为的中点，所以，
平面平面，
所以平面；

(Ⅱ)设菱形的边长为，
，
，则.
取中点，连接.
以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，
以方向为轴，建立如图所示坐标系.

，，，
，，
设平面的法向量为，
由，
得，令，则
，
平面的一个法向量为
，
即二面角的余弦值为.
【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；(4)将空间位置关系转化为向量关系；(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
20. 已知函数是偶函数，函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)设，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)根据偶函数的定义，求的值，根据奇函数若在原点有意义，则必满足，求的值，从而求得；
(2)求参数的恒成立问题转化为求最值问题，本题形如恒成立，转化为恒成立，即转化为求，从而求得的取值范围.
【详解】(1)由是偶函数，得
即
化简得：，故
由为奇函数，且定义域为，所以，
即，经检验，符合题意；
综上，可得
(2)∵，∴
又对恒成立，
即对恒成立，下面求，
又，在区间上是增函数

又在区间上是增函数，

由题意，得
所以实数的取值范围是：．
【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数，及函数恒成立求参数问题，在解函数恒成立问题时，往往转化为最值问题求解，考查学生的转化与化归思想与计算能力，属于中档题.
21. 已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
【答案】(1)；(2)是定值，为，理由详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由得动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为6的椭圆可得答案；
(2)直线斜率存在取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用韦达定理结合向量可得答案.
【详解】是定值，为，理由如下：
(1)设、、三点到直线的距离分别为、、，为的中点，
∵直线与圆相切，∴
∴
∴动点轨迹是以、为焦点，长轴长为6的椭圆
∴，，，
所以动点的轨迹.
(2)①当斜率为0时，，，不妨取，，
∴，，则，
，，则，∴．
②当斜率不为0时，
设，、，则．
则
由，同理可得
由，得，
∴，，
∴，
综上，为定值．
【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，求动点轨迹的问题及椭圆与向量的结合求定值的问题.
22. 已知函数
(Ⅰ)若，求函数的最小值；
(Ⅱ)若函数对任意的恒成立，求正实数的最值范围；
(Ⅲ)求证：，．(为自然对数的底数)
【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据题意，先得函数定义域，再对函数求导，根据函数单调性，即可求出函数最值；
(Ⅱ)对函数求导，得到，分别讨论，两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，以及函数的大致范围，即可得出结果；
(Ⅲ)先由(Ⅱ)知，时，，，取，，得，，推出，，进而可证明结论成立.
【详解】(Ⅰ)当时，由题意可得，函数的定义域为，

随变化，，的变化情况如下：

0

0

极小值

所以当时，；
(Ⅱ)由
当时，，∴恒成立，即在上单调递增，所以恒成立，符合题意；
当时，，
若，则，即在上单调递减，此时，不符合题意；
综上：；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，时，，
取，，则，，，…，
即，，，…，
上式个式子相乘得：，
即，
所以.
【点睛】本题主要考查导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.