2021届重庆市西南大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(教师版含解析).doc

西南大学附属中学校高2021级第一次月考
数学试题
一、单项选择题
1. 已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出集合、，再根据并集的运算法则计算可得；
【详解】解：因为，
所以，
所以
故选：C
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数在上是增函数，由，先比较，，的大小，即可得出的大小.
【详解】由是上的奇函数，则
又，
而，
所以
又在上是增函数，所以
所以即
故选：C
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．
3. 要得到的图像，只需将的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用二倍角公式进行化简，再利用诱导公式和图象变换进行求解．
【详解】易知,,则要得到的图象,只需将的图象向右平移个单位．
故选：D.
【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式和三角函数的图象变换等知识.本题的易错点在于确定平移的单位长度,如由变换为时,要注意将变形,即平移的单位仅相对于自变量而言．
4. 调查了100携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是( )
A. 最多人数是55 B. 最少人数是55 C. 最少人数是25 D. 最多人数是80
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意画出带药情况的图，然后再根据图，列出关系式，由此即可求出结果.
【详解】设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.
又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则，以上两种药都带的人数为y.
根据题意列出图，如下图所示：

由图可知，.
∴，∴.
∵，∴，故最少人数是55.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合交集中元素的个数问题，利用图解题是解决本题的关键，属于基础题．
5. 若函数在处取得极大值，则常数的值为( )
A. 3 B. 2 C. 3或2 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出，可求得实数的值，然后将实数的值代入导数，就函数是否在处极大值进行检验，由此可得出实数的值.
【详解】(1)，
，
由题意可得，整理得，解得或.
当时，，
令，或;令，,
此时，函数在处取得极小值，不符合题意，
当时，.
令，得或；令，得得.
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6. 函数的部分图像大致是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由得为奇函数排除选项A，由函数值的变化趋势可以排除选项D，求特殊点的函数的正负可排除C，得到答案．
【详解】函数的定义域为.
,所以为奇函数，故排除选项A.
由当且时，，故排除选项D.
由，故排除选项C.
故选：B
【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题．
7. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数单调性，分别求出和的值域，根据题中条件，得到的值域是值域的子集，进而可得出结果.
【详解】因为，
又在上单调递减；因此在上单调递减；
则在上单调递减；
若，则；
又是增函数，若，则，
因为，，使得，
所以是的子集；
因此，解得.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由函数单调性求值域，根据两函数值域之间的关系求参数，属于常考题型.
8. 定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为, 又由，得，所以，由构造函数的单调性,即可求解．
【详解】设，则,
, , 又，
所以, 在定义域上单调递增,
对于不等式可转化成，
, 又，,
, 而在定义域上单调递增, ，
故选A.
【点睛】本题考查构造函数，利用其导函数取得正负的范围得出构造函数的单调性区间，从而求解不等式的问题，此类问题的关键是根据已知条件构造出合适的新函数，并且分析其单调性和特殊点的函数值，属于中档题．
二、多项选择题
9. 已知函数的导函数的图像如图，则下列叙述正确的是( )

A 函数只有一个极值点
B. 函数满足，且在处取得极小值
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在内单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】
通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果.
【详解】由导函数的图像可得，当x<2时，，函数单调递增；当x>2时，，函数单调递减.所以函数的单调递减区间为,只有当x=2时函数取得极大值，无极小值.
故选: AC.
【点睛】本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题.
10. 下列说法正确的是( )
A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”
B. 设，，则“”的充分必要条件是“”
C. 对命题，，，若是的充分条件，是的必要条件，则是的必要条件
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】BC
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一判断真假，即可得解.
【详解】对于A. 命题“若，则”的否命题是“若，
则”，故A错误；
对于B. 设在上单调递增，
，所以，
故B正确；
对于C. 对命题，，，若是的充分条件，则，
是的必要条件，则，所以，
则，则是的必要条件，故C正确；
对于D. 命题“，”的否定是“，”，
故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查否命题和命题的否定，考查逻辑推理能力，属于中档题．
11. 设函数，，下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的图像为一条直线
B. 若，则
C. 若，，不等式的解集为
D. 当，时，不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数特征及单调性,依次对选项验证求解，即可得出结果.
【详解】对于A.当时，函数，则函数图像为一条去掉的直线，故A错误；
对于B. ，等价于，等价于，令，则在上为增函数，所以等价于，所以，则，故B正确；
C. 若，，则有不等式，解集为，故C错误；
D. 当，时，不等式，，即为：，求得解集为，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查函数的性质，及利用函数的单调性解不等式，考查逻辑推理能力，属于中档题.
12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A. 若为的跟随区间，则
B. 函数存在跟随区间
C. 若函数存在跟随区间，则
D. 二次函数存在“3倍跟随区间”
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根据“倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可.
【详解】对A, 若为的跟随区间,因为在区间为增函数,故其值域为,根据题意有,解得或,因为故.故A正确；
对B,因为函数在区间与上均为减函数,故若存在跟随区间则有,解得：.
故存在, B正确.
对C, 若函数存在跟随区间,因为为减函数,故由跟随区间的定义可知,
即,因为,所以.
易得.
所以,令代入化简可得,同理也满足,即在区间上有两根不相等的实数根.
故,解得,故C正确.
对D,若存在“3倍跟随区间”,则可设定义域为,值域为.当时,易得在区间上单调递增,此时易得为方程的两根,求解得或.故存在定义域,使得值域为.
故D正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解析式列式求解.属于难题.
三、填空题
13. 已知半径为的扇形面积为，则扇形的圆心角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用S扇形即可得出
【详解】设扇形的圆心角为α．
由解得α．
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式，熟记公式，准确计算是关键，属于基础题．
14. 若，且，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简得，平方求得，进而得到，再结合，即可求解.
【详解】由诱导公式，可得，
平方可得，
解得，
又因为，可得，所以，
又由，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
15. 设函数，若方程恰有4个不同的根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出的图像，通过数形结合，计算可得结果.
【详解】由已知作出的图像如图所示：
方程恰有4个不同的根等价于有四个不同的交点，
由图可知,,,则只需满足即可.
故答案为：

【点睛】本题考查方程的根的个数问题，通过数形结合转化为图像交点问题，考查分段函数图像的画法，属于中档题.
16. 为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律，西南大学附属中学高三数学兴趣小组以本班同学为实验对象(被试).通过记录口服该流感药物(小时)时被试血液中药物浓度(毫克l毫升)的方式获取试验数据.经多次实验发现，被试服用药物后，血液中药物浓度与时间成正比升高，当时药物浓度达到最高，此后，被试血液中药物浓度以每小时的比例下降.根据以上信息完成：
(1)从被试服用药物开始，其血液中药物浓度与时间之间的函数关系式为______.
(2)如果一位病人上午8：00第一次服药，为使其血液中药物浓度保持在以上，那么这位病人第三次服药时间最迟为______(每次服药时间均以整点为准).
【答案】 (1). (2). 14:00
【解析】
【分析】
由被试服用药物后，血液中药物浓度与时间成正比升高，可求得，，由已知，被试血液中药物浓度以每小时的比例下降.进而可得与时间之间的函数关系式，通过分析整点病人血液中药物浓度，依次对比即可得出结果.
【详解】(1)由题意可知，设，点代入解得：，即时，，
，血液中药物浓度以每小时的比例下降，即每小时下降,
设，点代入解得：，即，当时，.
所以，血液中药物浓度与时间之间的函数关系式为；
(2)第一次服药后，当时，，时，，时，，
为使其血液中药物浓度保持在以上，则当时，即11点第二次服药，
当时，即13点时，第一次服药在病人血液中药物浓度0，第二次服药在病人血液中药物浓度为7,当14点时，病人血液中药物浓度为，所以第三次服药最迟在14：00.
故答案为：；14：00.

【点睛】本题考查函数的实际应用，考查分析问题，解决问题的能力，属于中档题.
四、解答题：
17. 已知，求下列代数式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化解，即可求得所给式子的值.
(2)把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切的式子，从而求得它的值.
【详解】由，可得：，解得：.
(1)．
(2)

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题
18. 已知函数.
(1)求函数极值；
(2)设，求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)极大值，无极小值；(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先求函数的导数，由导数的正负确定函数的单调区间，然后求得函数的极值；
(2)分类讨论极值点与区间的位置关系，从而确定函数在上的单调性，进而求得函数的最大值.
【详解】(1) ，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数取得极大值，，无极小值；
(2)①当时，由(1)知，函数在区间上单调递增，函数的最大值；
②当时，由(1)知，函数在区间上单调递减，所以函数的最大值是；
③当时，时，由(1)知，函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数的最大值是，
所以函数在上的最大值为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，最值，重点考查分类讨论思想，计算能力，属于中档型.
19. 已知命题存在实数，成立
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)命题函数在区间内单调递增，如果是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)由题得，利用基本不等式求函数的最小值即得解；
(2)先求出命题为真时，，再根据是假命题求实数的取值范围.
【详解】(1)由题得存在实数，成立，所以，
因为，(当且仅当时取等)，
所以.
(2)函数在区间内单调递增，
当时，二次函数的对称轴为，
所以二次函数在区间内单调递增，
因为在区间内恒成立，
所以.所以.
当时，二次函数在区间内单调递减，
所以.
因为在区间内恒成立，
所以.所以.
综上所述，.
如果是真命题，则且，即.
如果是假命题，所以.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的能成立问题，考查对数型复合函数的单调性问题，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 已知函数.
(1)设是的极值点，求并讨论的单调性；
(2)当为奇函数时，证明恒成立.
【答案】(1) ,在上单调递减，在上单调递增;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导，得导函数，由题，则可得的值，当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间;
(2)当为奇函数时，求得，通过分析函数单调性，求得即可得证.
【详解】(1)，由是的极值点得，所以.于是，定义域为，，在上单调递增，且.因此，当时，； 当时，.
所以，在上单调递减，在上单调递增.
(2)由，
当为奇函数时，则，解得：.
当时，函数在单调递增，
又，故在有唯一实根，且.当时，；当时，；从而当时，取得最小值。由得：，，故.
综上：当为奇函数时， 恒成立.
【点睛】本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断，考查利用导数证明不等式问题，属于中档题.
21. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召开展网课学习.为检验网课学习效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.网课结束后进行考试，根据考试结果将这2000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：

成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
500

800
没有家长督促的学生

500

合计

2000
(1)完成以上列联表，并通过计算(结果精确到0.001)说明，是否有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；
(2)从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，再从8人中随机抽取3人做进一步调查，记抽到1名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得分，抽到3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望.
附：，.

0.100
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；(2)分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】
(1)根据已知数据计算的值，看是否大于的临界值，即可做出判定结论；
(2)利用超几何分布公式求出分布列，并利用期望的定义计算期望值.
【详解】解：(1)

成绩上升
成绩没有上升
合计
有家长督促的学生
500
300
800
没有家长督促的学生
700
500
1200
合计
1200
800
2000
，
因为，所以没有95%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.
(2)由题意知，从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人，
其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从这8人中随机抽取3人，
随机变量所有可能取的值为，，1，3，
则，，
，.
所以的分布列为

1
3

所以.
【点睛】本题考查独立性检验的应用和超几何分布列及其期望的应用，属基础题.
22. 已知函数，在点处的切线为.
(1)求，的值及函数的单调区间；
(2)若，是函数的两个极值点，证明.
【答案】(1)，单调减区间是和，单调增区间是；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据，，解得，，根据导数的符号，结合定义域可得函数的单调区间；
(2)根据题意将问题转化为有两个实根、，不妨设，则，结合函数的图象可知，要证，即证，即证，即证，根据函数的单调性以及，转化为证明，然后构造函数，利用导数证明即可.
【详解】(1)因为，所以，
由题意可知，，即，，
可解得，.
所以，则，
由，得，由得，由得；又的定义域为，所以的单调减区间是和，单调增区间是.
(2)由，是函数的两个极值点，得有两个变号零点，
令即，
当时，上述等式不成立；
当时，上式转化为，由(1)知的单调减区间是和，单调增区间是，且时，，则函数的图象大致如图所示；不妨设，则，

∴要证，即证，即证，即证，
∵，∴，由(1)知在上单调递增，
∴要证只需证，
又，故即证
令，
∴

又在上为增函数，
∴，
∴，在上单调递减，
∴，即
∴.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数研究函数的极值点，考查了利用导数证明不等式，考查了转化化归思想，函数与方程思想，属于难题.