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专题66 递推法求解概率
【方法点拨】
在概率的背景下，得到递推关系，综合运用数列中的方法，诸如待定系数法、叠加法等求解通项公式进一步求解问题.
【典型题示例】
例1 （2022·江苏徐州期末·22改编）为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案．销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格（从第k格到第格），若掷出5，6点，汽车模型向前移动两格（从第k格到第格），直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第格的概率为．则= ；若有6人玩该游戏，每人一局，则这6人获得优惠券总金额的期望为 （结果精确到1万元）．
【分析】根据规则得到递推关系，使用待定系数法求得，即是以为首项，公比为的等比数列，求出，再使用叠加法求出通项公式.
【解析】由题意知，，．
汽车模型移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
①汽车模型先到第格，又掷出5，6点，其概率为；
②汽车模型先到第格，又掷出1，2，3，4点，其概率为．
所以，
则，且
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，．
所以
，．
所以．
设玩游戏的6人中有X人获得优惠券，则，
所以这6人获得优惠券总金额的期望值为（万元）．
【巩固训练】
1. 从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点的概率为，则的表达式为 .
2.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从到)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从到)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为= ，玩该游戏获胜的概率为 .
3. 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n站的概率为Pn，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．则玩该游戏获胜的概率为 ．
【答案或提示】
1.【解析】易得
到达点有两种情况：
① 从点按向量移动，即；
② ②从点按向量移动，即
数列是以为首项，为公比的等比数列.
又
2.【答案】，
【解析】棋子开始在第0站为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，.
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；
②第一次掷硬币出现反面，其概率为.
.
棋子跳到第站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；
②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.
.
故当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
.
以上各式相加，得，
获胜的概率为，
失败的概率.
3.【答案】
【解析】棋子开始在第0站是必然事件，所以P0＝1.
棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，所以P1＝.
棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；②前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，所以P2＝＋＝.
棋子跳到第n(2≤n≤99)站，包括两种情形，①棋子先跳到第n－2站，又掷骰子出现偶数点，其概率为Pn－2；
棋子先跳到第n－1站，又掷骰子出现奇数点，其概率为Pn－1.
故Pn＝Pn－2＋Pn－1(2≤n≤99，n∈N*)．
所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)．
又因为P1－P0＝－，
所以{Pn－Pn－1}(n＝1,2，…，99)是首项为－，公比为－的等比数列．
Pn－Pn－1＝－n－1＝n.
所以P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P1－P0)＋P0＝99＋98＋…＋＋1
＝＋1＝.
所以玩该游戏获胜的概率为.
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