专题5-1-一元一次方程及等式的性质【十大题型】(浙教版)(原卷版).docx

专题5.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】
【浙教版】

【题型1 方程及一元一次方程的定义】 1
【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 2
【题型3 方程的解】 2
【题型4 列方程】 3
【题型5 利用等式的性质变形】 3
【题型6 等式的性质的应用】 3
【题型7 利用等式的性质解方程】 4
【题型8 方程的解中的遮挡问题】 5
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 5
【题型10 方程的解的规律问题】 5

【知识点1 方程及一元一次方程的定义】
（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．
方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．
（2）一元一次方程的定义：
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．
【题型1 方程及一元一次方程的定义】
【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100
C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850
【变式1-1】（2022秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（　　）
A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5
【变式1-2】（2022秋•盐城校级期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）3x+1=−2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-3】（2022•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．
①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1．

【题型2 利用一元一次方程的定义求值】
【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（　　）
A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2
【变式2-1】（2022秋•婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．12 D．−12
【变式2-2】（2022•江阴市校级期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是　　．
【变式2-3】（2022秋•鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝　　．
【知识点2 方程的解】
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
【题型3 方程的解】
【例3】（2022•温州期末）若关于x的方程mx＝4﹣x的解是整数，则非负整数m的值为　　　　．
【变式3-1】（2022•番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为x=12，则3a+5的值为　　　．
【变式3-2】（2022秋•锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5!•9!＝N！•12的N的值为 　　　．
【变式3-3】（2022春•黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3=m3+x的解满足|x|＝1，则m的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12
【题型4 列方程】
【例4】（2022秋•泗水县期末）一根细铁丝用去23后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为　　　　　．
【变式4-1】（2022秋•南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是　　　　　　　．
【变式4-2】（2022秋•雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 　　　　　　　　　．
【变式4-3】（2022秋•越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 　　　　　　　　　．
【知识点3 等式的性质】
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【题型5 利用等式的性质变形】
【例5】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2
【变式5-1】（2022•杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（　　）
A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则xc=yc D．若x2c=y3c，则2x＝3y
【变式5-2】（2022•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+15c，则下列结论正确的是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b）
【变式5-3】（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么a7=b4，其中正确的有（　　）
A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
【题型6 等式的性质的应用】
【例6】（2022•石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　）

A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0）
C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0）
D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0）
【变式6-1】（2022•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2022•芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 　　个这样的砝码．
【变式6-3】（2022•利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【题型7 利用等式的性质解方程】
【例7】（2022秋•饶平县校级期末）利用等式的性质解方程：
（1）5+x＝﹣2
（2）3x+6＝31﹣2x．
【变式7-1】（2022秋•柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：2−14x=3．
【变式7-2】（2022秋•盂县期中）用等式性质解下列方程：
（1）4x﹣7＝13
（2）3x+2＝x+1．
【变式7-3】（2022秋•三门县期中）利用等式的性质解方程：
（1）5﹣x＝﹣2
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x．
【题型8 方程的解中的遮挡问题】
【例8】（2022秋•玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1−x−●5，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　　　．
【变式8-1】（2022秋•红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 　　　．
【变式8-2】（2022秋•巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式8-3】（2022秋•郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为　　　．
【题型9 利用等式的性质检验方程的解】
【例9】（2022秋•雨花区期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解．
【变式9-1】（2022春•崇明区期末）x＝1 　　　方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”）
【变式9-2】（2022秋•雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）；
（2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2=−43）．
【变式9-3】（2022秋•莱山区期末）有下列方程：①13x＝1；②2x﹣3＝1；③23x−32=37；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x−2x=3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 　　　　．（填序号）
【题型10 方程的解的规律问题】
【例10】（2022春•卫辉市期中）一列方程如下排列：
x4+x−12=1的解是x＝2，
x6+x−22=1的解是x＝3，
x8+x−32=1的解是x＝4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　　　　　　．
【变式10-1】先阅读下列一段文字，然后解答问题．
已知：方程x−1x=112的解是x1＝2，x2=−12；方程x−1x=223的解是x1＝3，x2=−13；
方程x−1x=334的解是x1＝4，x2=−14；方程x−1x=445的解是x1＝5，x2=−15．
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x−1x=101011的解，并写出检验．
【变式10-2】（2022秋•莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是x4−（x﹣2）＝1，解为x=43；第2个方程是x5−（x﹣3）＝1，解为x=104；第3个方程是x6−（x﹣4）＝1，解为x=185，…，根据规律第7个方程x10−（x﹣8）＝1，解为 　　　　．
【变式10-3】（2022春•方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　；
（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？