2017-2021北京重点校高一(上)期中数学汇编：指数函数的图像和性质.docx

2017-2021北京重点校高一（上）期中数学汇编
指数函数的图像和性质
一、单选题
1．（2021·北京八中高一期中）设，则a，b，c的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
2．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B． C． D．
3．（2021·北京市陈经纶中学高一期中）若，，，则、、的大小关系是（       ）
A． B．
C． D．
4．（2020·人大附中高一期中）若指数函数的图像与射线（）相交，则（       ）
A． B．
C． D．
5．（2019·北京·汇文中学高一期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（       ）

A． B． C． D．
6．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）若，，，则（       ）
A． B． C． D．
7．（2018·北京师大附中高一期中）若，则（       ）
A． B． C． D．
8．（2018·北京·北师大实验中学高一期中）已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2018·北京市十一学校高一期中）设，，，则（       ）．
A． B． C． D．
10．（2017·北京八中高一期中）设，，，则、、的大小关系是（       ）．
A． B． C． D．
11．（2017·北京八中高一期中）函数的图象向右平移一个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则．
A． B． C． D．
二、双空题
12．（2019·北京市第十一中学高一期中）设函数，则
① _____________；
②若有最小值，且无最大值，则实数a的取值范围是_____________．
三、填空题
13．（2021·北京市十一学校高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________.
①   ②   ③   ④   ⑤
14．（2019·北京·汇文中学高一期中）函数的定义域为_____．
15．（2018·北京市十一学校高一期中）函数y=的定义域是______．
四、解答题
16．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)用单调性的定义证明的单调性；
(3)若对于，不等式恒成立，求的取值范围.
17．（2019·北京市陈经纶中学高一期中）已知（且）在区间上的最大值与最小值之和为，，其中.
（1）直接写出的解析式和单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，若，使得对，都有，求实数的取值范围.
18．（2018·北京·首都师范大学附属中学高一期中）定义在上的奇函数，已知当时，．
(1)求在上的解析式；
(2)若使不等式成立，求实数m的取值范围．
19．（2018·北京师大附中高一期中）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）解不等式．
20．（2018·北京市十一学校高一期中）求下列各式的值．
（）．
（）．
（）设，求的值．

参考答案
1．D
【解析】
根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可.
【详解】
根据指数函数的单调性性质可知，函数在 R上为单调增函数

由题知，
，选项D正确.
故选：D.
2．B
【解析】
如图，作出直线得到，即得解.
【详解】

如图，作出直线得到，
所以.
故选：B
3．D
【解析】
利用指数函数比较、、三个数的大小关系，利用指数函数的单调性比较与的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】
，即，又，因此，.
故选：D.
4．D
【解析】
分和两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可
【详解】
当时，代入射线得，
若，指数函数的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当时，，所以，
若，则可知两图象在第一象限一定有交点，
综上，或，
故选：D
5．B
【解析】
由函数的图象可得，，从而可得的大致图象．
【详解】
由的图象可得，，
所以，，
故函数为增函数，相对向下平移大于1个单位
故选：B
6．C
【解析】
利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，利用幂函数在区间上的单调性可得出、的大小关系，从而可得出、、的大小关系.
【详解】
指数函数为减函数，所以，，即，
幂函数在区间上为增函数，所以，，即.
因此，.
故选：C.
【点睛】
本题考查指数幂大小的比较，考查了指数函数与幂函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
7．C
【解析】
根据指数函数的单调性得的大小关系和取值范围，构造函数，即可进行比较.
【详解】
指数函数单调递减，
，即，
所以，
所以指数函数是减函数，，，
考虑幂函数在单调递增，，即，
综上所述：.
故选：C
【点睛】
此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小.
8．B
【解析】
根据题意，先求f（x+1）的表达式，可得，进而分析可得f（x）单调递减，且其图象与y轴交点在（0，1）之下，比较选项可得答案．
【详解】
根据题意，可得，f（x）单调递减；
同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；
A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；
只有B的图象符合两点，
故选B．
【点睛】
本题考查指数函数的性质和函数图象的变化，掌握指数函数的性质是解题的关键．
9．B
【解析】
分析：分别根据对数函数和指数函数单调性判断大小.
详解：由对数函数和指数函数的性质可知：，，，
∴．
故选．
点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小时，常利用函数单调性，有时还需借助第三个数如0，1，进行比较大小.
10．D
【解析】
∵；，，
∵，
∴选择．
11．C
【解析】
函数关于轴对称的函数为，
将向左平移个单位对应的解析式为：，
∴，选择．
12．         
【解析】
①将代入对应解析式即可得到结果；
②分别求得在和时的值域，由有最小值，无最大值可构造不等式组求得结果.
【详解】
①；
②当时，；当时，；
有最小值，无最大值，，解得：，
即实数的取值范围为.
故答案为：；．
13．②③⑤
【解析】
根据奇偶函数的定义及常见函数的性质即得.
【详解】
对于①，为偶函数，故①错误；
对于②，为奇函数且值域为R，故②正确；
对于③，为奇函数且值域为R，故③正确；
对于④，为非奇非偶函数，故④错误；
对于⑤，为奇函数且值域为R，故⑤正确.
故答案为：②③⑤.
14．
【解析】
试题分析：要使原式有意义需满足，即
故函数的定义域为
考点：函数的定义域．
15．[0，+∞）
【解析】
根据偶次方根的被开方数大于等于零，得到不等式，再根据指数函数的性质解不等式即可得函数的定义域．
【详解】
解：由题意可得，
解不等式可得
所以函数的定义域是，
故答案为：
【点睛】
本题考查了求函数的定义域的最基本的类型：偶次根式型：被开方数大于（等于）0，还考查了指数不等式的解法．属于基础题．
16．(1)
(2)单调递增，证明见解析.
(3)
【解析】
（1）由奇函数列方程，可求出a；
（2）先判断在R上单减，利用单调性的定义可证明；
（3）利用为奇函数及在R上单增，将不等式转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.
(1)
解：∵为定义域为的奇函数，
∴，所以.经检验成立
(2)
解：由（1）知：，则在R上单增，下面进行证明：
任取，且，
∴

∵为增函数，，∴，
∴，∴，
∴在R上单增.
(3)
解：∵为奇函数，
∴对任意，不等式恒成立可化为：
对任意恒成立，
又在R上单增，不等式等价于对任意恒成立，即恒成立.
记，，只需
，所以，
所以的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：（1）函数奇偶性的应用：①一般用或；②有时为了计算简便，我们可以对x取特殊值: 或；
（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；
（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.
17．（1），减函数；（2）；（3）.
【解析】
（1）分和两种情况讨论函数在区间上单调性，得出，可解出实数的值，并判断出函数的单调性；
（2）由，可得出对任意的实数恒成立，由参变量分离法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
（3）由题意可得，求出函数在区间上的最大值，然后分与的大小关系，求出函数在区间上最大值，然后解出不等式即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，函数在区间上为增函数；
当时，函数在区间上为减函数.
由题意可得，即，
且，解得，，则函数为减函数；
（2）由（1）可得，由，即，即，即对任意的恒成立，即.
，，，因此，实数的取值范围是；
（3）函数在区间上单调递减，则.
由题意可得，.
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
当时，且当时，，则，解得，此时；
当时，且当时，，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用指数型函数的最值求参数，同时也考查了二次不等式在某区间上恒成立，以及函数不等式与全称命题、特称命题的综合问题，转化为函数的最值求解是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
18．(1)
(2)
【解析】
（1）结合奇函数在原点有意义时，有，即可求出的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；
（2）参变分离后构造函数，根据函数的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.
(1)
（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，
所以，
又，
所以，，
即在上的解析式为.
(2)
因为时，，
所以可化为，整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，
故实数的取值范围是.
19．（1）；（2）详见解析；（3）或.
【解析】
（1）由指数函数的定义域可得解；
（2）由可知函数为偶函数；
（3）利用对数函数的单调性可知，得，从而得解.
【详解】
（1）易知函数，.
所以定义域为.
（2）由，从而知为偶函数；
（3）由条件得，得，解得或.
所以不等式的解集为：或.
【点睛】
本题主要考查了指数型函数的定义域，奇偶性及解指数不等式，属于基础题.
20．（1）-7（2）0（3）1．
【解析】
分析：（1）根据
化简求值，（2）根据化简求值，（3）根据化简求值.
详解：
解：（），
，
，
，
，
．
（），
，
，
，
．
（）设，则，，，
∴，
，
．
点睛：本体考查指数运算法则、对数运算法则以及指对数式相互转换，考查基本求解能力.

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